中考数学试题(含答案解析)

数学试题卷

14．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ．

17．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出．．．．．．．．一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)．(1)如图1，．AC＝BC；(2)如图2，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．

18．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个． (1)先从袋子中取出m(m>1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格：

ABAC图1（第13题）图2PClOP（第14题）ABOAOB图2DC图1BC(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的概率等于

4，求m的值． 520．(1)如图1，纸片□ABCD中，AD＝5，S□ABCD＝15．过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为( ) A．平行四边形

B．菱形

C．矩形

D．正方形

(2)如图2，在(1)中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．①求证：四边形AFF'D是菱形；②求四边形AFF'D的两条对角线的长．

yADADCABBE图1CE'EF图2E'F'OPx

21．如图，已知直线y＝ax＋b与双曲线yk(x0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(A与Bx不重合)，直线AB与x轴交于点P(x0，0)，与y轴交于点C．(1)若A，B两点坐标分别为(1，3)，(3，y2)．求点P的坐标；(2)若b＝y1＋1，点P的坐标为(6，0)，且AB＝BP，求A，B两点的坐标；(3)结合(1)，(2)中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系(不要求证

22．甲、乙两人在100米直道AB上练习匀速往返跑，若甲、乙分别在A，B两端同时出发，分别到另一端点掉头，掉头时间不计，速度分别为5m/s和4m/s．

(1)在坐标系中，虚线表示乙离端的距离s(单位：m)与运动时间t(单位：s)之间的函数．．A．．图象(0≤t≤200)，请在同一坐标系中用实线画出甲离A端的距离s与运动时间t之间的函数图象(0≤t≤200)； (2)根据(1)中所画图象，完成下列表格：

(3)①直接写出甲、乙两人分别在第一个100m内，s与t的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；②求甲、乙第6此相遇时t的值．

23．如图，已知二次函数L1：y＝ax2－2ax＋a＋3(a>0)和二次函数L2：y＝－a(x＋1)2＋1(a>0)图像的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．(1)函数y＝ax2－2ax＋a＋3(a>0)的最小值为 ；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是 ；(2)当EF＝MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状(直接写出，不必证明)；(3)若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A(m，0)，当△AMN为等腰三角形时，求方程－a(x＋1)2＋1＝0的解．

24．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．特例探索(1)如图1，当∠ABE＝45°，c＝22时，a＝ ，b＝ ； 如图2，当∠ABE＝30°，c＝ 时，a＝ ，b＝ ；

CCyEMNFOxAEP45°图1CEDGFEPFEP30°FABA图2BA图3B归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，

B FCc2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式拓展应用(3)如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝25，AB＝3．求AF的长．

中考数学解析

14.解析：如图，分三种情况讨论：

图（1）中，∠APB=90°，

∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2, 又∠AOC=60°, ∴△APO是等边三角形，

∴AP=2；

图（2）中，∠APB=90°，

∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2,

又∠AOC=60°, ∴∠BAP=30°,

在Rt△ABP中，AP=cos30°×4=23 .

CPOACABOB(1)CP(2)AOB 图（3）中，∠ABP=90°, ∵BO=AO=2 , ∠BOP=∠AOC=60°, ∴PB=23, ∴AP=4+(23)=27 ∴AP的长为2，23或27 17.解析：如右图所示.

(3)22P))图1，∵AC=BC,∴AC=BC,

)∴点C是AB的中点，连接CO，

交AB于点E，由垂径定理知， 点E是AB的中点， 延长CE交⊙O于点D， 则CD为所求作的弦；

C图1DOEBBAPlAOEDCF图2 图2，∵l切⊙O于点P, 作射线PO，交BC于点E，则PO⊥l, ∵l∥BC , ∴PO⊥BC,

由垂径定理知，点E是BC的中点，连接AE交⊙O于F，则AF为所求作的弦. 18. 解析：(1)若事件A为必然事件，则袋中应全为黑球，∴m=4, 若事件A为随机事件，

则袋中有红球，

∵m>1 ，∴m=2或3.

事件A m的值 必然事件 4 随机事件 2、3

（2）

m+64=， ∴m=2 . 105

20.解析：(1) 由平移知：AE//DE′, ∴四边形AEE′D是平行四边形，又AE⊥BC, ∴∠AEE′=90°,

∴四边形AEE′D是矩形，∴C选项正确.

(2) ① ∵AF//DF′, ∴四边形AFF′D是平行四边形，∵AE=3, EF=4 ,∠E=90°, ∴AF=5, ∵S□ABCD=AD·AE=15, ∴AD=5 , ∴AD=AF , ∴四边形AFF′D是菱形. ② 如下图， 连接AF′, DF ，

在Rt△AEF′中， AE=3, EF′=9, ∴AF′=310 在Rt△DFE′中， FE′=1, DE′=AE=3, ∴DF=10 ∴四边形AFF′D两条对角线的长分别是310和10 .

ADEF

E'F'

21.解析：(1) 把A(1,3)代入y=

k3得：k=3， 把B(3,y2)代入y=得：y2=1，∴B(3,1). xxììïa+b=3ïa=-1 把A(1,3),B(3,1)分别代入y=ax+b得：í，解得：í，

ïïî3a+b=1îb=4 ∴yAB=-x+4 ，令yAB=0，得x=4， ∴P(4,0) (2) ∵AB=PB, ∴B是AP的中点，由中点坐标公式知：x2= ∵A,B两点都在双曲线上，∴x1y1=x1+6y,y2=1， 22x1+6y1?，解得x1=2， ∴x2=4 . 22 作AD⊥x于点D（如右图）, 则△PAD∽△PDO，

yy14ADPD==， 又b=y1+1， ∴，即

b6COPOC ∴y1=2 ，∴y2=1. ∴A(2,2),B(4,1) (3) 结论：x1+x2=x0.

理由如下：∵A(x1,y1),B(x2,y2)，∴íABODPxìïax1+b=y1，

ïîax2+b=y2

∴y=xy-xyy2-y1xy-xyx-1221 令y=0，得x=1221 ，∵x1y1=x2y2，

y2-y1x2-x1x2-x1∴x=x1y2-x2y1(y2-y1)(x1+x2) =x1+x2 ， 即x1+x2=x0 =y2-y1y2-y122.解析：（1）如下图：

s/m10080604020甲———乙------O20406080100120140160180200t/s

（2）填表如下： 两人相遇次数 （单位：次） 两人所跑路程之和 (单位：m) 1 2 3 4 … n 100 300 500 700 … 100（2n-1） (3) ① S甲=5t (0≤t≤20) ,S乙=-4t+100 (0≤t≤25). ② 5t+4t=100创(62-1) , ∴ t=五、(本大题共10分)

23.解析：（1）∵y=ax2-2ax+a+3=a(x-1)2+3， ∴ymin=3；

∵M(1,3),N(-1,1) ，∴当x<1时，L1的y值随着x的增大而减小，当x>-1时， L2 的y值随着x的增大而减小， ∴x的取值范围是-1（2）∵M(1,3),N(-1,1)， ∴MN=22，

∵E(0,a+3),F(0,-a+1)，∴EF=a+3-(1-a)=2a+2， ∴2a+2=22 ，a=2-1

如图，∵yMN=x+2， ∴A(0,2)，

∴AM=2,AN=2，∴AM=AN ∵a=2-1，∴E(0,2+2),F(0,2- ∴AE=2,AF=2， ∴AE=AF ∴四边形ENFM是平行四边形， 已知EF=MN，

∴四边形ENFM是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）

11001100 , ∴第六次相遇t的值是.

99yE2)

NOAFMx

（3）∵M(1,3),N(-1,1)，A(m,0)，

22 ∴MN=22,AM=(1-m)+9,AN=(1+m)+1 2① 当AM=MN时，有(1-m)+9=22，∴(1-m)2=-1，等式不成立； 22② 当AM=AN时，有(1-m)+9=(1+m)+1 ∴m=2； 2③ 当MN=AN时，有(1+m)+1=22，∴m1=7-1,m2=-7-1(舍去）

∴A(2,0)或A(7-1,0)， ∵y=-a(x+1)2+1的对称轴为x=-1， ∴左交点坐标分别是（-4,0）或（-7-1，0），

∴方程-a(x+1)2+1=0的解为 x1=2,x2=-4,x3=7-1,x4=-7-1.

yEMNOFAx

24. 解析：（1）如图1，连接EF,则EF是△ABC的中位线， ∴EF=

C1AB=2, 2EPF ∵∠ABE=45°,AE⊥EF ∴△ABP是等腰直角三角形， ∵EF∥AB ，∴△EFP也是等腰直角三角形， ∴AP=BP=2 ，EP=FP=1, ∴AE=BF=5, ∴a=b=25.

如图2，连接EF,则EF是△ABC的中位线. ∵∠ABE=30°,AE⊥BF,AB=4, ∴AP=2, BP=23,

A图145°BC1 ∵EF//AB, ∴PE=3,PF=1,

2 ∴AE=7, BF=13 ∴a=213 , b=27. 222 (2) a+b=5c

EPFA图230°B2222 如图3，连接EF， 设AP=m ,BP=n.,则c=AB=m+n

C

11111AB, ∴PE=BP=n , PF=AP=m, 2222212122222 ∴AE=m+n , BF=n+m ,

44 ∵EF// ∴b2=AC2=4AE2=4m2+n2, a2=BC2=4BF2=4n2+m2 ∴a2+b2=5(m2+n2)=5c2 （3）

PEPA图3FBMAOBFENDGCQ

如上图，延长EG,BC交于点Q, 延长QD,BA交于点P,延长QE,BE分别交PB，PQ于点M,N,

连接EF. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC, AB//CD,

∵E,G是分别是AD,CD的中点，∴△EDG≌△QCG≌△EAM, ∴CQ=DE=5, DG=AM=1.5，

∴BM=4.5.

∵

CDCQ35，∴，∴BP=9, ∴M是BP的中点； ==BPBQBP35∵AD//FQ, ∴四边形ADQF是平行四边形，∴AF∥PQ,

∵E,F分别是AD，BC的中点，∴AE//BF, ∴四边形ABFE是平行四边形，∴OA=OF, 由AF∥PQ得：

OABA31OAOFOFBF51===, ∴, ∴PN=QN, ∴N是PQ的中====,

PNBP93PNQNQNBQ353点；

∴△BQP是“中垂三角形”， ∴PQ2=5BQ2-BP2=5?(35)2∴PQ=12, ∴AF=

92=144,

1PQ=4 3