集合与简易逻辑、函数与导数测试题(含答案)

时间：100分钟 满分：130分

1,2,3,4,5,6,7,8，A2,5,8，B1,3,5,7，那么(1．若集合UUA)B等于（ ）

1,3,7 C .2,8 D. 1,3,4,5,6,7,8 A.5 B . 2．函数f(x)x3log26x的定义域是（ ）

A．x|x6 B．x|3x6 C．x|x3 D．x|3≤x6 3．已知p:225,q:32,则下列判断中，错误的是 （ ）

A．p或q为真，非q为假 B． p或q为真，非p为真 C．p且q为假，非p为假 D． p且q为假，p或q为真 4．下列函数中,既是偶函数又在(,0)上单调递增的是 ( ) A．yx3 B．ycosx C．ylnx D．y5．对命题的否定正确的是 （ ） “x0R,x02x040”2 A．x0R,x02x040 B．xR,x22x40

21 2x C．xR,x22x40 D．xR,x22x40

116．为了得到函数y3()x的图象，可以把函数y()x的图象

33A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 7．如图是函数yf(x)的导函数f(x)的图象，则下面判断正确的是 yA．在区间（－2,1）上f(x)是增函数 －3 -2 B．在（1,3）上f(x)是减函数

O 1 2 3 4 5 xC．在（4,5）上f(x)是增函数 D．当x4时，f(x)取极大值 8. 若函数f(x)x为奇函数，则a的值为 （ ）

(2x1)(xa)123A． B． C． D．1

2349.已知定义域为R的函数f(x)在区间(4,+∞)上为减函数，且函数y=f(x+4)为偶

1

函数，则（ ）

A．f(2)>f(3) B．f(3)>f(6) C．f(3)>f(5) D． f(2)>f(5) 10.已知a>0且a≠1，若函数f（x）= loga（ax2 –x）在[3，4]是增函数，则a的取

值范围是（ ）

A．（1，+∞） B．[,)(1,)1164

C．[,)(1,)1184

D．[,)1164

10x}, 11. 用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，f(x)min{2x,x2，(x0) , 则f(x)的最大值为 （ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

(x0)x 12. 若函数f(x)=,若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是

ln(x1) (x0) A．（-∞，-1）∪（2，+∞） B．（-2,1）

C．（-∞，-2）∪（1，+∞） D．（-1,2）

二、填空题（每小题4分，共16分）

213．已知命题p:x2x30,命题q:11,若qp为真，x的取值范围3x是 14. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，

已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______。

15. 函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)

为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：

①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)

2aab,ab16、对于实数a和b，定义运算“﹡”：ab2， 设f(x)(2x1)(x1)，

bab,ab且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的

取值范围是_________________.

2

三、解答题

217. 命题p:“x[1,2],x2a0”，命题q:“x0R,x02ax02a0”，

若“p且q”为假命题，求实数a的取值范围。

18. 已知p:1x12，q:x22x1m20m0，若p是q的充分而不3必要条件，求实数m的取值范围．

2xb19.已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数。

2a（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围；

3

20. 已知函数yx33ax23bxc在x＝2处有极值，且其图象在x＝1处的切线

与直线6x＋2y＋5＝0平行．

(1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值的差

21. 设关于x的函数f(x)mx2(2m24m1)x(m2)lnx，其中m为实数集

R上的常数，函数f(x)在x1处取得极值0.

（1）已知函数f(x)的图象与直线yk有两个不同的公共点，求实数k的取值范围；

（2）设函数g(x)(p2)xp2， 其中p0，若对任意的x[1,2]，总x有2f(x)g(x)4x2x2成立，求p的取值范围.

4

答 案

题号 答案

1 B 2 D 3 C 4 D 5 C 6 D 7 C 8 A 9 B 10 A 11 C 12 B 13、 ( 1 , 2 ] 14、y' 15、 

17、A＝{x|x≥3，或x≤－3}． B＝{x|－1＜x≤7}．

xcosxsinx 2x1 16、 ②③ 2又由|x－2|＜4，得－2＜x＜6，∴C＝{x|－2＜x＜6}．

(1)A∩B＝{x|3≤x≤7}，如图(甲)所示．A∪C＝{x|x≤－3，或x＞－2}，如图(乙)所示．

(2)∵U＝R，B∩C＝{x|－1＜x＜6}， ∴∁U(B∩C)＝{x|x≤－1或x≥6}， ∴A∩∁U(B∩C)＝{x|x≥6或x≤－3}．

18. 解:若P是真命题．则a≤x2,∵x∈[1,2],∴a≤1; 若q为真命题,则方程x2+2ax+2-a=0有实根, ∴⊿=4a2-4(2-a)≥0,即,a≥1或a≤-2, p真q也真时 ∴a≤-2,或a=1

若“p且q”为假命题 ，即 a(2,1)(1,)

19、解：由x22x1m2≤0得1m≤x≤1mm0．

所以“q”：AxRxm1x或m1m，05

．

由1x1：B≤2得2≤x≤10，所以“p”xRx310x或2．

由p是q的充分而不必要条件知

m0，B⊆A1m≥2，0m≤3故m的取值范围为0m≤3

1m≤10.(1)证明：

f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)， ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=－x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．

(2)解：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是

增函数，又由(1)f(x)是奇函数．

f(k·3x)＜-f(3x-9x-2) =f(-3x+9x+2)， k·3x＜-3x+9x+2，

32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R都成立．令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．

令f(t)=t－(1+k)t+2,其对称轴x2

1k 21k0,即k1时,f(0)=2>0,符合题意； 21k当0时,对任意t>0,f(t)>0恒成立

2当

1k02(1k)2420综上所述,所求k的取值范围是(,122) 解得1k12212+12a3b021、(1)∵y3x6ax3b，由题意得， 36a3b3

2解得a＝－1，b＝0，

则yx33x2c，y3x26x 解y3x26x>0，得x<0或x>2； 解y3x26x<0，得0∴函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)可知函数在x＝0时取得极大值c，在x＝2时取得极小值c－4， ∴函数的极大值与极小值的差为c－(c－4)＝4.

6

22（Ⅰ）f(x)2mx(2m24m1)m2 因为函数f(x)在x1处取得极值0 x22f(1)2m(2m4m1)m22mm10得：解得m1… 22f(1)m(2m4m1)2m3m10则f(x)(2x1)(x1)1(x(0,))令f(x)0得x1或x（舍去）

x2当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.

所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)上单调递减. 所以当x1时，函数f(x)取得极大值，即最大值为f(1)ln11210 所以当k0时，函数f(x)的图象与直线yk有两个交点

（Ⅱ）设F(x)2f(x)g(x)4x2x22lnxpxp2 x若对任意的x[1,2]，2f(x)g(x)4x2x2恒成立， 则F(x)的最小值F(x)min0 ()

2p2px22x(p2)F(x)p2 2xxx2x2 （1）当p0时,F'(x)0,F(x)在[1,2]递增 2x所以F(x)的最小值F(1)20，不满足()式 所以p0不成立

'p(x1)(x（2）当p0时F'(x)①当1p0时，1p2)px2

21，此时F(x)在[1,2]递增，F(x)的最小值pF(1)2p20，不满足()式

②当p1时，1121，F(x)在[1，2]递增， p所以F(x)minF(1)2p20，解得p1 ，此时p1满足()式

2]递增，F(x)minF(1)0，p1满足()式 ③当p1时，F(x)在[1，综上，所求实数p的取值范围为p1

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