2 地球体与地图投影

第1节 地球体

一、地球体的基本特征 （一）地球体的量度 公元前3世纪

 希腊学者亚里士多德认为大地是个球体。  埃拉托色尼对地球大小作了第一次估算。  这个角度约是圆周的1/50  这个角度约是圆周的1/50

弧度圆周角＝弧长圆周长

地球周长＝亚历山大到赛伊尼的子午线长50(这个角度约是圆周的1/50)

公元724—725年

张遂（一行）组织测量计算得子午线上的纬度1°的地面距离约132 km，比现代测量值约长21 km

公元827年

 阿拉伯回教主Al Mamum （阿尔曼孟）推算出1°子午线弧长，比现代测量值只差1%。 17世纪后

 牛顿论证地球是一个椭球体。

 清康熙年间天文–大地测量，实证地球不是正圆球。  法国1735年测量论证地球是椭球。 现代天文测量

 地球是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。

—— 地球体的自然表面

地球的自然表面并不光滑平顺，珠穆朗玛峰（8 844.43 m）与马里亚纳海沟（11 034 m）之间的高差约达20 km。 由于地球的自然表面凸凹不平，形态极为复杂，难以成为测量与制图的基准面。应寻求一种与地球自然表面非常接近的规则曲面，来代替这种不规则的曲面。

（二）地球体的物理表面

地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近似的不规则椭球体。

寻找一种与地球自然表面非常接近的规则曲面，来代替这种不规则的地球面

与重力方向相垂直，可有无数个曲面，每个曲面上重力位相等，重力位相

等的面被称为重力等位面，即水准面。

理想水准面：它是一个无波浪、无潮汐、无水流、无大气压变化，处于流体平衡状态的静止海平面。它没有棱角，没有褶皱

大地水准面：以理想水准面作为基准面向大陆延伸，穿过陆地、岛屿，最终形成的封闭曲面。

( 它实际上是一个起伏不平的重力等位面，是逼近于地球本身形状的一种形体，称大地体)

在实际测量中以似大地水准面代替大地水准面，两者在海洋上完全重合，在陆地上只在山区有2～4 m的差异。

各国也往往选择一个平均海水面代替大地水准面，以其作为统一的高程基准面。

大地水准面的意义：

 地球形体的一级逼近

 可用重力学理论进行研究  可使用仪器测得海拔

（三）地球体的数学表面

地球椭球体：假想将大地体绕短轴(地轴)飞速旋转，以形成一个表面光滑的球体表面。

它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。

地球椭球体 基本参数:

长半轴（赤道半径） a 短半轴（极半径） b 椭球体的扁率 α= (a-b) / a 第一偏心率 e2 = (a2-b2)/a2 第二偏心率 e 2 = (a2-b2)/b2 WGS [world geodetic system] 84椭球体: a = 6 378.137 km b = 6 356.7523 km α = 1/298.257 224

赤道直径 = 12 756.3 km 极轴直径 = 12 713.5 km 赤道周长 = 40 075.1 km

地球表面积 = 510 064 500 km2

总地球椭球：与大地体吻合最好的旋转椭球称为总地球椭球，也叫总椭球或平均椭球，大地测量在确定这个总地球椭球时，要其达到与大地体最密合的4个条件：

1. 地球椭球体中心和地球的质心重合； 2. 地球椭球体的短轴和地球的地轴重合；

3. 地球椭球体起始大地子午面和起始天文子午面重合； 4. 在确定参数a、α时要满足在全球范围的大地水准面差距的平方和为最小。

二、地理坐标 （一）天文经纬度

表示地面点在大地水准面上的位置

天文纬度 ： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角 天文经度λ：是过观测点子午面与本初子午面间的两面角。 通常应用天文测量和天文台授时的方法解决。

（二）大地经纬度

表示地面点在参考椭球面上的位置。 大地经度 λ （L）：参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东正西负。

大地纬度  （B）：参考椭球面上某点的法线与赤道平面的夹角。北正南负。 大地高： 指某点沿法线方向到参考椭球面的距离。

• 法截面 ：含A点法线AL 的平面所裁成的截面。

• 法截弧 ：法截面和地面的交线形成的弧段称为法截弧。 • 子午圈截面 ：

含A点法线AL和椭球旋转轴PP1的法截面。 子午圈曲率半径 M。

• 卯酉圈截面 ：

含A点法线AL且垂直子午圈截面的法截面。卯酉圈曲率半径 N 。 子午圈曲率半径 M (A点上所有截弧的曲率半径中的最小值） 式中：a 为椭球长半径， e 为第一偏心率，

当椭球选定后，a 、e 均为常数；  为纬度。 可知： M 随纬度而变化。 a(1e2)3 M(1e2sin2)2 卯酉圈曲率半径 N (A点上所有截弧的曲率半径中的最大值）： aN1可知： N 随纬度而变化 (1e2sin2)2

a(1e2)12

RMN平均曲率半径 R ： 1e2sin2

子午圈曲率半径与卯酉圈曲率半径除在两极相等外，同一点上卯酉圈曲率半径均大于子午圈曲率半径。 纬圈的半径 r：

acos rNcos122(1esin)2

子午线弧长：

即椭圆的弧长。在子午线上任取一点A，其纬度为 A，取与A点无限接近的一点A’，其纬度差值为d 。因为弧AA’甚小，可以把它看成以 M（该弧的曲率半径）为半径的圆周。

（三）地心经纬度

地心坐标系统

——原点与地球中心重合 参心坐标系统

——原点与参考椭球中心重合 地心经度：等同大地经度。

地心纬度：指参考椭球面上观测点和椭球质心或中心连线与赤道面之间的夹角。

第2节 大地测量系统 一、中国的大地坐标系统

1980年至今：1980西安坐标系 参考椭球体： GRS(1975)

大地原点：陕西省泾阳县永乐镇 GRS—75 椭球参数 a = 6378 140 m b = 6356 755 m f = 1/298.257

参考椭球体 大地原点坐标

大地原点

大地控制网 和 大地点坐标

（一）平面控制网 1. 三角测量

以大地原点为基础，在地面上选择一系列控制点，并建立起一系列三角形，组成三角锁和三角网。 天文经纬度天文方向角

大地原点

三角锁的起始边——基线端点

大地测量

三角形各内角

余弦定理

各三角形边长及三角形顶点坐标

1. 三角测量

国家平面控制网含三角点、导线点共154 348个，构成1954北京坐标系、1980西安坐标系两套系统

（二）高程控制网 海拔（绝对高程）：地面点对似大地水准面（海平面）的高度 1985国家高程：72.260 4 m 1956年黄海高程：72.289 m 高程起算基准面： 黄海平均海水面

国家水准原点：山东青岛

三、全球定位系统

GPS —— global positioning system 卫星定位优势：

 无需通视及觇标  提供三维坐标  定位精度高  观测时间短  全天候作业  操作简便

目前的卫星定位系统  美国： GPS

 俄罗斯： GLONASS （格鲁纳斯）  欧盟： GALILEO（加利略）  中国：北斗卫星导航系统

GPS：由24颗卫星组成，分布在20 200 km高空6个等间隔的轨道上。

 一般情况下可见到6～8颗，全天在地球上任何地点都能进行GPS 定位。

GLONASS：由24颗工作卫星和3颗备份卫星组成，均匀地分布在3个近圆形的轨道面上，每个轨道面8颗卫星，轨道高度19 100 km。

GALILEO：星座由30颗卫星组成。卫星采用中等地球轨道，均匀地分布在高度约为2.3万km的3个轨道面上，星座包括27颗工作卫星，另加3颗备份卫星。 北斗卫星导航系统：(BeiDou（COMPASS）Navigation Satellite System)

—— 中国自主研发、独立运行、正在建设中的全球卫星导航系统。2012年，系统将首先具备覆盖亚太地区的服务能力；2020年前后，整个系统将具备覆盖全球的定位、导航和授时服务能力。 北斗一号：卫星导航试验系统：

由4颗卫星组成，具备中国及其周边地区的导航定位及通讯能力。 北斗二号：卫星导航定位系统：

正在建设中，将分两阶段完成： 2012年形成亚太区域覆盖，2020年实现全球覆盖。整个系统由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成。目前，已成功发射9课卫星。

GPS在大地测量领域主要完成了：

 建立和维持了全球统一的地心坐标系统。  在局部大地网之间进行了联测和转换。

 与水准测量、重力测量相结合，研究与精化大地水淮面。  测量全球性的地球动力参数——四维大地测量。  建立新的城市、矿山等控制测量系统。

第 3 节 地图投影(在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法，称为地图投影。)

如何将地球表面（曲面）展开成平面？

1:用机械的方法将它展开成平面 2:用透视法将球面投射到平面上 3:用数学方法将球面转换为平面 二、地图投影的变形

一）投影变形的性质 长度(距离)变形 角度(形状)变形 面积变形

二） 变 形 椭 圆

三）长 度 比

四）角 度 变 形 五）面 积 比

三、地图投影的分类

1. 几何投影 将地球经纬网透视投影到平面或几何面上。 2. 非几何投影 不借助辅助投影面，通过数学解析方法得到

一）按地图投影的构成方法分类 1:方 位 投 影

正轴方位投影 (投影面与地轴垂直)

横轴方位投影 (投影面与地轴平行)

斜轴方位投影 (投影面与地轴斜交)

纬线呈同心圆

经线为同心圆半径

2:圆柱投影

正轴：圆柱轴与地轴重合 横轴：圆柱轴与地轴垂直 斜轴：圆柱轴与地轴斜交

正轴圆柱投影：

纬线是一组彼此平行的直线。

经线是一组垂直于纬线的直线，且经线间隔相等。

等变形线与纬线平行

3:圆 锥 投 影

正轴：圆锥轴与地轴重合 横轴：圆锥轴与地轴垂直 斜轴：圆锥轴与地轴斜交

正轴圆锥投影，纬线为同心圆圆弧，经线为它的半径，且经线之间的夹角与经差成正比。

4:. 非几何投影

正轴伪方位投影

纬线：投影为同心圆。

经线：除中央经线投影成直线外，其余经线均投影成对称于中央经线的曲线，且交于纬线的共同圆心。

伪圆柱投影

纬线：平行直线。

经线：中央经线投影成直线，其余经线均投影成对称于中央经线的曲线。

伪圆锥投影

在圆锥投影基础上，规定纬线仍为同心圆弧，除中央经线仍为直线外，其余经线则投影成对称于中央经线的曲线。

多圆锥投影

借助多个圆锥表面与球体相切设计而成的投影。

纬线为同轴圆弧，其圆心位于中央经线上，中央经线为直线，其余经线则投影成对称于中央经线的曲线。

二）按地图投影变形性质分类

1. 等角投影：投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面 上相应两线段夹角相等。

2. 等积投影：投影面与椭球面上相应区域的面积相等。 3. 任意投影：投影图上，长度、面积和角度都有变形， 既不等角又不等积。

4. 等距投影：在特定方向上没有长度变形的任意投影。

1. 等角投影

条件：a=b 。

长度变形：μ随方向改变而改变。 角度变形：ω=0（最大角度变形）。 面积变形：随纬度增大而增大。 适用：交通图、风向图、洋流图等

2. 等积投影

条件：P = ab =1。

长度变形：长轴越长短轴越短。 角度变形：变形很大。

面积变形：无变形，P =1。

适用：自然地图和社会经济地图等

3. 等距投影

条件：a=1或 b=1。

长度变形：一个主方向不变形。 角度变形：有变形。 面积变形：有变形。

等距投影属于任意投影，在正轴投影中，通常使经线长度比m=1。

任意投影适用：对各种变形精度要求不高的一般参考图和中学教学图等。

不同变形性质投影的变形规律

墨卡托投影

—— 正轴等角圆柱投影,由荷兰地图学家墨卡托（Mercator Gerardus,1512—1594）于1569年所创设，故又名墨卡托投影

特点：不仅保持了方向和相对位置的正确，而且使等角航线在图上表现为直线。这一特性对航海

具有重要的实用价值。

高斯-克吕格投影

条件：

1．中央经线和赤道投影为互相垂直的直线，且为投影的对称轴； 2．具有等角投影的性质；

3．中央经线投影后保持长度不变。

UTM投影

条件：

1．中央经线和赤道投影为互相垂直的直 线，且为投影的对称轴； 2．具有等角投影的性质；

3．中央经线投影后长度比为 0.999 6。

五、地图投影的选择 一）投影选择的依据

1．制图区域的地理位置、形状和范围 位置:

两极地区：正轴方位投影。

赤道附近：横轴方位投影或正轴圆柱投影。 中纬度地区：正轴圆锥投影或斜轴方位投影。 形状: 中纬度地区

沿纬线方向延伸的长形地带：单标准纬线正轴圆锥投影。 沿经线方向略窄、沿纬线方向略宽的地区：双标准纬线正轴圆锥投影。

沿经线方向南北延伸的长形地区：多圆锥投影。 2．比例尺

 大比例尺地形图，对精度要求高，宜采用变形小的投影，如分带投影。

 中、小比例尺地图范围大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等积、任意投影的多种选择。 我国

大比例尺地形图：各项变形都很小的地图投影，如高斯-克吕格投影。

中小比例尺的省区图：各种正轴圆锥投影。 3．地图内容

 要求方向正确的地图：等角投影。

 要求保持面积对比关系的正确：等积投影。  为使时区的划分表现得清楚：正轴圆柱投影。

 中小学的教学用图：各种变形都不太大的任意投影，如等距投影。 4．出版方式

 单幅图：考虑位置、形状、范围，比例尺和内容。  系列图：选择同一变形性质的投影。

 地图集：应尽量采用同一系统的投影，再根据个别内容的需要， 在变形性质上适当变化。 二）世界地图投影的选择

主要类型：多圆锥投影、圆柱投影和伪圆柱投影。 具体方案：

等差分纬线多圆锥投影 正切差分纬线多圆锥投影 墨卡托（Mercator）投影 摩尔威特（Mollweide）投影 古德（Goode）投影 1. 多圆锥投影

多圆锥投影经纬线除中央经线和赤道以外均投影成曲线。 角度变形和面积变形都比较适中，尤其中纬度地区变形更小

2. 圆柱投影

 SOM投影：将空间斜圆柱相切于卫星地面轨迹，卫星地面轨迹成为该投影的无变形线，其长度比近似于1。  SOM投影必须随卫星的空间运动而摆动。

 在SOM投影上，卫星地面轨迹为直线，卫星成像扫描线与卫星地面轨迹相垂直，地面影像直接投影在SOM投影面上。

3. 伪圆柱投影 ⑴ 桑森（Sanson）投影 投影特点： P = 1 无面积变形 n = 1 纬线长度比为1 m0 = 1 中央经线长度比为1 m > 1 经线长度比 >1

适合编制位于赤道附近南北延伸地区的地图。

⑵ 摩尔威特（Mollweide）投影

投影特点： P = 1 无面积变形 S90 = Searth / 2

赤道长度= 中央经线 x 2 常用于编制世界地图 及东、西半球地图

⑶ 古德（Goode）投影

在纬度±40°之间区域用桑森投影。 在纬度±40°以外区域采用摩尔威特投影。 投影特点： 分瓣、组合投影； 变形减小且均匀； 大陆完整，大洋割裂； 大洋完整，大陆割裂； 常用于编制世界地图。

三）区域地图投影的选择

1. 方位投影 2. 圆锥投影

圆锥投影随纬度变化而变化，与经度无关。距标准纬线愈远变形愈大。 标准纬线外侧：正变形（ μ >1）。标准纬线之间：负变形（μ <1）。 等积圆锥投影 P= mn =1 μ =1

3. 伪圆锥投影 彭纳投影

中央经线与中央纬线没有变形； 纬线呈同心圆弧，长度比 n =1；

中央经线为直线，长度比 mλ=1；

其余经线对称于中央经线；每一条纬线上的经线间隔相等； 距离这两条线愈远，其变形愈大。

第4节 地图比例尺

（三）图解比例尺