弹塑性力学习题集(有图)

弹塑性力学习题集

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殷绥域 李同林 编

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中国地质大学·力学教研室

二○○三年九月

目 录

》

弹塑性力学习题 ………………………………………………………………（1）

第二章 应力理论·应变理论………………………………………………（1）

；

第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程…………………………………（6） 第四章 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法 ………………………（8） 第五章 平面问题的直角坐标解答 ………………………………………（9） 第六章 平面问题的极坐标解答…………………………………………（11） 第七章 柱体的扭转………………………………………………………（13）

]

第八章 弹性力学问题一般解·空间轴对称问题………………………（14） 第九章* 加载曲面·材料稳定性假设·塑性势能理论…………………（15） 第十章 弹性力学变分法及近似解法……………………………………（16） 第十一章* 塑性力学极限分析定理与塑性分析 ………………………（18） 第十二章* 平面应变问题的滑移线场理论解 …………………………（19）

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附录一 张量概念及其基本运算·下标记号法·求和约定 ……………（21）

习题参考答案及解题提示 …………………………………………………（22）

前 言

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弹塑性力学是一门理论性较强的技术基础课程，它与许多工程技术问题都有着十分密切地联系。应用这门课程的知识，能较真实地反映出物体受载时其内部的应力和应变的分布规律，能为工程结构和构件的设计提供可靠的理论依据，因而受到工程类各专业的重视。

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《弹塑性力学习题集》是专为《弹塑性力学》（中国地质大学李同林、殷绥域编，研究生教学用书。）教材的教学使用而编写的配套教材。本习题集紧扣教材内容，选编了170余道习题。作者期望通过不同类型习题的训练能有助于读者理解和掌握弹塑性力学的基本概念、基础理论和基本技能，并培养和提高其分析问题和解决问题的能力。鉴于弹塑性力学课程理论性强、内容抽象、解题困难等特点，本书对所编习题均给出了参考答案，并对难度较大的习题给出了解题提示或解答。

本习题集的编写基本取材于殷绥域老师编写的弹塑性力学习题集，由李同林老师重新修编，进一步充实而成。书中大部分内容都经过了多届教学使用。为保证教学基本内容的学习，习题中带“*”号的题目可酌情选做。由于编者水平所限，错误和不妥之处仍在所难免，敬请读者指正。

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编 者 2003年9月

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弹塑性力学习题

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第二章 应力理论·应变理论

2—1 试用材料力学公式计算：直径为1cm的圆杆，在轴向拉力P = 10KN的作用下杆横截面上的正应力及与横截面夹角30的斜截面上的总应力P、正应力和剪应力，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。

2—2 试用材料力学公式计算：题2—2图所示单元体主应力和主平面方位（应力单位MPa），并表示在图上。说明按弹塑性力学应力符号规则有何不同。

；

题2—2图 题2—3图

2—3 求题2—3图所示单元体斜截面上的正应力和剪应力（应力单位为MPa），并说明使用材料力学求斜截面应力的公式应用于弹塑性力学计算时，该式应作如何修正。

2—4 已知平面问题单元体的主应力如题2—4图(a)、(b)、(c)所示，应力单位为MPa。试求最大剪应力，并分别画出最大剪应力作用面（每组可画一个面）及面上的应力。

.

题2—4图

2—5* 如题2—5图，刚架ABC在拐角B点处受P力，已知刚架的EJ，求B、C点的转角和位移。（E为弹性模量、J为惯性矩）

2—6 悬挂的等直杆在自重W的作用下如题2—6图所示。材料比重为，弹性模量为E，横截面积为A。试求离固定端z处一点c的应变z与杆的总伸长l。

2—7* 试按材料力学方法推证各向同性材料三个弹性常数：弹性模量E、剪切弹性模量G、泊松比v之间的关系：

题2—5图

题2—6图

GE

2(1v)2—8 用材料力学方法试求出如题2—8图所示受均布载荷作用简支梁内一点的应力状态，并校核所得结果是否满足平衡微分方程。

>

题2—8图

2—9 已知一点的应力张量为：

508050ij075MPa

30(对称)试求外法线n的方向余弦为：nx应力和剪应力。

…

111，ny，nz的微斜面上的全应力P，正2222—10 已知物体的应力张量为：

308050MPaij030 110(对称)试确定外法线的三个方向余弦相等时的微斜面上的总应力P，正应力和剪应力。

2—11 试求以主应力表示与三个应力主轴成等倾斜面（八面体截面）上的应力分量，并证明当坐标变换时它们是不变量。

2—12 试写出下列情况的应力边界条件。

;

题2—12图

2—13 设题2—13图中之短柱体，处于平面受力状态，试证明在尖端C处于零应力状态。

)

题2—13图 题2—14图

2—14* 如题2—14图所示的变截面杆，受轴向拉伸载荷P作用，试确定杆体两侧外表面处应力z（横截面上正应力）和在材料力学中常常被忽略的应力x、zx之间的关系。

2—15 如题2—15图所示三角形截面水坝，材料的比重为，水的比重为1，已求得其应力解为：xaxby, ycxdyy,xydxay，其它应力分量为零。试根据

直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。

2—16* 已知矩形截面高为h，宽为b的梁受弯曲时的正

My12M应力z试求当非纯弯时横截面上的剪应力公y，

Jbh3式。（利用弹塑性力学平衡微分方程） 题2—15图

>

12602—17 已知一点处的应力张量为：ij6100MPa，试求该点的最大主应力及

000其主方向。

2—18* 在物体中某一点xyzxy0，试以yz和zx表示主应力。

2—19 已知应力分量为xyzxy0,yza,zxb,计算主应力1、2、3并求2的主方向。

2—20 证明下列等式：

12(1) J2I2I1 ;

3！

1(3) I2(iikkikik);

2J2Sij; (5) Sij

(2) J3I3(4) J2(6)

123I1I2I1; 3271SijSij; 2J2Sij. ij12—21* 证明等式：J3SikSkmSmi。

32—22* 试证在坐标变换时，I1为一个不变量。要求：(a) 以普通展开式证明； (b) 用张量计算证明。

5382—23 已知下列应力状态：ij303MPa，试求八面体单元的正应力8与剪

8311应力8。

!

2—24* 一点的主应力为：175a,250a,350a，试求八面体面上的全应力

P8，正应力8，剪应力8。

2—25 试求各主剪应力1、2、3作用面上的正应力。

2—26* 用应力圆求下列(a)、(b) 图示应力状态的主应力及最大剪应力，并讨论若(b)图中有虚线所示的剪应力时，能否应用平面应力圆求解。

题2—26图

。

2—27* 试求：如(a) 图所示，ABC微截面与x、y、z轴等倾斜，但xy0,yz0,zx0,试问该截面是否为八面体截面如图(b) 所示，八面体各截面上的8指向是否垂直棱边

,

题2—27图

2—28 设一物体的各点发生如下的位移： ~

ua0a1xa2ya3z

vb0b1xb2yb3zwc0c1xc2yc3z

式中a0,a1,a2为常数，试证各点的应变分量为常数。

2—29 设已知下列位移，试求指定点的应变状态。

(1) u(3x220)102,v(4yx)102，在（0，2）点处。

(2) u(6x215)102,v(8zy)102,w(3z22xy)102，在（1，3，4）点处。 —

2—30 试证在平面问题中下式成立：

xy xy 2—31 已知应变张量

620103ij240 000试求：（1）应变不变量；（2）主应变；（3）主应变方向；（4）八面体剪应变。

2—32 试说明下列应变状态是否可能存在：（式中a、b、c为常数）

c(x2y2)cxy0(1) ijcxycy20

00012axy0(ax2by2)212220axy(azby) (2) ij2112222(axby)(azby)022c(x2y2)cxyz0(3) ijcxyzcy2x0

0002—33* 试证题2—33图所示矩形单元在纯剪应变状态时，剪应变xy与对角线应变oB之

间的关系为oB1（用弹塑性力学转轴公式来证明） xy。2^

题2—33图

2—34 设一点的应变分量为x1.0104，y5.0104，z1.0104，

xyyz1.0104，zx3.0104，试计算主应变。

2—35* 已知物体中一点的应变分量为

10424ij45310

231

试确定主应变及最大主应变的方向。

2—36* 某一应变状态的应变分量xy和yz=0，试证明此条件能否表示x、y、z中

<

之一为主应变

2—37 已知下列应变状态是物体变形时产生的：

xa0a1(x2y2)x4y4,

yb0b1(x2y2)x4y4,xyc0c1xy(x2y2c2),zzxyz0.

试求式中各系数之间应满足的关系式。

<

2—38* 试求对应于零应变状态（ij0）的位移分量。

2—39* 若位移分量ui和ui所对应的应变相同，试说明这两组位移有何差别

2—40* 试导出平面问题的平面应变状态（xzxzy0）的应变分量的不变量及主应变的表达式。

2—41* 已知如题2—41图所示的棱柱形杆在自重作用下的应变分量为：

'

zzE,xyzE;xyyzzx0;

试求位移分量，式中为杆件单位体积重量，E、为材料的弹性常数。

xyzxy0, 2—42 如题2—42图所示的圆截面杆扭转时得到的应变分量为：

zyx,zxy。试检查该应变是否满足变形连续性条件，并求位移分量u、v、w。设

在原点处u0v0w00,dz在xoz和yoz平面内没有转动，dx在xoy平面内没有转动。

/

题2—42图

题2—41图

第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程

3—1 试证明在弹性变形时，关于一点的应力状态，下式成立。

1(1) 88; (2) k （设0.5）

G]

之3—2* 试以等值拉压应力状态与纯剪切应力状态的关系，由应变能公式证明G、E、

间的关系为：

1 G2(1)113—3* 证明：如泊松比，则GE，，k, e0，并说明此时上述

23各弹性常数的物理意义。

3—4* 如设材料屈服的原因是形状改变比能（畸形能）达到某一极值时发生，试根据单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态确定屈服极限s与s的关系。

3—5 试依据物体单向拉伸侧向不会膨胀，三向受拉体积不会缩小的体积应变规律来

1证明泊松比的上下限为：0。

2|

23—6* 试由物体三向等值压缩的应力状态来推证：KG的关系，并验证是否

3E与K符合。

3(12v)3—7 已知钢材弹性常数E1= 210Gpa，v1= ，橡皮的弹性常数E2=5MPa，v2= ，试比较它们的体积弹性常数（设K1为钢材，K2为橡皮的体积弹性模量）。

3—8 有一处于二向拉伸应力状态下的微分体（10,20,30），其主应变为11.7104，20.4104。已知 = ，试求主应变3。

3—9 如题4—9图示尺寸为1×1×1cm的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。设钢块不变形，试求：在压力P = 6KN的作用下铝块内一点应力状态的三个主应力及主应变，铝的弹性常数E=70Gpa，= 。

3—10* 直径D = 40mm的铝圆柱体，无间隙地放入厚度为= 2mm的钢套中，圆柱受轴向压力P = 40KN。若铝的弹性常数E1 = 70GPa，1 = ，钢的E = 210GPa，试求筒内一点处的周向应力。

]

题3—9图 题3—10图

、

3—11 将橡皮方块放入相同容积的铁盒内，上面盖以铁盖并承受均匀压力p，如题3—11图示，设铁盒与铁盖为刚体，橡皮与铁之间不计摩擦，试求铁盒内侧面所受到橡皮块的压力q，以及像皮块的体积应变。若将橡皮块换块刚体或不可压缩体时，其体积应变又各为多少

—

13—12 已知畸变能UodSijeij，求证

21Uod。

23—13* 已知截面为A，体积为V的等直杆，受到轴向力的拉伸，试求此杆的总应变能U及体变能UV与畸变能Ud，并求其比值：KVUV, U

题3—11图

Ud随泊松比的变化。 U3—14 试由应变能公式根据纯剪应力状态，证明在弹性范围内剪应力不产生体积应变，且剪切弹性模量G0。

$

3—15* 各向同性体承受单向拉伸（10, Kd，试确定只产生剪应变的截面位置。 230）

3—16 给定单向拉伸曲线如题3—16图所示，s、E、E均为已知，当知道B点的应变为时，试求该点的塑性应变。

3—17 给定下列的主应力，试由Prandtl-Reuss，

P:dPLevy-Mises理论求：d1P:d2由3和d1:d2:d3。

P:PИльющин理论求1P:23。

题3—16图

(a) 13, 2， 3。 (b) 12, 2， 30。

3—18* 已知一长封闭圆筒，平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p的作用，而产生塑性变形，材料是各向同性的，如忽略弹性应变，试求周向、径向和轴向应变增量之比。

*

3—19 已知薄壁圆筒承受轴向拉应力z求屈服时剪应力z及扭矩的作用，若使用Mises条件，试2应为多大并求出此时塑性应变增量的比值：drP:dP:dzP:dzP。

s3—20 薄壁圆筒，平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p作用，设r0，且材料是1不可压缩的，，讨论下列三种情形：

2（1）管的两端是自由的；（2）管的两端是固定的；（3）管的两端是封闭的。 分别对Mises和Tresca两种屈服条件，讨论p多大时管子开始屈服。已知材料单向拉伸试验s值。

3—21* 按题3—20所述，如已知纯剪试验s值，又如何 ,

3—22 给出以下问题的最大剪应力条件与畸变能条件：

（1）如s已知，受内压作用的封闭薄壁圆筒。设内压为q，平均半径为r，壁厚为t。材料为理想弹塑性。

（2）如s已知，受拉力p和弯矩M作用的杆。杆为矩形截面，面积b×h。材料为理想弹塑性。

13—23 设材料为理想弹塑性，，当材料加载进入塑性状态，试给出筒单拉伸时

2的Prandtl-Reuss增量理论与全量理论的本构方程以及塑性应变增量之间与应变分量之间的比值。

3—24 设已知薄壁圆管受拉伸与扭矩，其应力为z，z，其它应力为零。若使

3保持为常数的情况下进入塑性状态，试分别用增量理论与全量理论求圆管中的应力值。

|

3—25 已知某材料在纯剪时的曲线f()，问(,)曲线是什么形式 3—26* 由符合Mises屈服条件的材料制成的圆杆，其体积是不可压缩的，若首先将杆

K拉至屈服，保持应变不变，再扭至，式中R为圆杆的半径，K为材料的剪切屈服极

GR限，试求此时圆杆中的应力值。

第四章 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法

4—1 设某一体力为零的物体的位移分量为：试求位移函数w(z)。 ww(z)，uv0，

Myxy0是两端受弯矩M作用的单位厚度狭长4—2* 试证明应力分量xy，J矩形板的弹性解，并设lh。见题4—2图。 \\

题4—2图 题4—4和题4—5图

4—3 已知平面应力问题的应变分量为：xAxy, yBy3, xyCy2D，试证此应变分量能满足变形谐调条件。

4—4 题4—4图所示的受力结构中，1、2两杆的长度l和横截面积F相同，两杆材料的本构关系为：(a) E ； (b) A*；试求载荷P与节点C的位移之间的关系。

4—5 按上题4—4的条件，材料为理想弹塑性，并设a45，试求该静定结构的弹性极限载荷Pe与塑性极限载荷Ps。

;

第五章 平面问题的直角坐标解答

5—1 已知平面应力问题的应变分量为：xAxy, yBy3, xyCy2D。试由平

衡微分方程求出该弹性体所承受的体力分量Fx及Fy。

5—2 给出函数axy，试问：（1）检查是否可以作为应力函数；（2）如以为应力函数，求出应力分量的表达式；（3）指出在图示矩形板边界上对应着怎样的边界面力。

（

题5—2图 题5—3图

a13a22，yy能否做为应力函数若能，试求应力分量（不计体力）

62并画出如题5—3图所示板条上的面力，指出该应力函数所能解的问题。

5—4 试分析下列应力函数对一端固定直杆可解什么样的平面问题：

xy3q23Fxyy  24c3c25—3* 试检查

'

题5—4图 题5—5图

5—5* 悬臂梁(cyc,0xl)沿下边界受均匀剪力S作用，而上边界和x = l的

端边界不受载荷作用时，可用应力函数：

xyxy2xy3ly2ly3S 44c4c24c4c2

求出应力解答。并说明，此解答在哪些方面必须用圣维南原理解释。

5—6* 已求得三角形坝体的应力场为：xaxby，ycxdy，xyyxdx

ayx，xzyzz0，其中为坝体材料的容重，1为水的容重。试根据边界条件

求常数a、b、c、d的值。

，

5—7* 很长的直角六面体在均匀压力q的作用下，放置在绝对刚性和光滑的基础上，不计体力，试确定其应力分量和位移分量。

5—8 如题5—3图所示的两端简支梁，全梁只承受自重的作用，设材料的比重为，试检验应力函数Ax2y3By5Cy3Dx2y能否成立，并求出各系数及应力分量。

题5—6图 题5—7图

&

5—9* 上端固定悬挂的棱柱杆，设其内部应力为：zg(l2)yzzxp, xyxy A0。试求此杆所受的体力及侧面和上、下端面所受的外载荷。A是杆的横截面积。

题5—9图 题5—10图

`

ax3 5—10 设图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的比重为p，试用纯三次式：bx2ycxy2dy3的应力函数求解应力分量。

5—11* 设有矩形截面的柱体，在一边侧面上受均匀剪力p如题5—11图所示，若柱

的体力不计，试求应力分量。

5—12* 图中的悬臂梁受均布载荷q = 100KN/m作用，试求其最大应力： （1）用应力函数

2q221yxxy(xy)tg  4x214.

（2）用材料力学求解，并比较以上结果。

n试问函数f(y)应满足什么样的条件 )，l25—14* 如图所示梁的上部边界作用着载荷：q(x)q0sinax,(a)，试求梁内的应

l力分量。

5—13* 设应力函数为：f(y)sinax,(a

'

题5—11图 题5—12图

题5—14图 题5—15图

;

5—15* 由于考虑材料的塑性性质，试求受弯杆件承载能力增加的百分比，设杆件的截面为：(a) 正方形；(b) 圆形；(c) 内外半径比为a/b的圆环；(d) 正方形沿对角线受弯；(e) 工字梁；其尺寸如图所示。

5—16 设截面为2b×2h，跨度为l的悬臂梁受均匀布载荷，梁为理想弹塑性材料，试用初等理论假设求弹性与塑性极限载荷，并计算弹塑性分界线方程与梁的塑性段长度。

|

题5—16图

第六章 平面问题的极坐标解答

6—1 试判断题6—1图中所示的几种不同受力情况是平面应力问题还是平面应变问题是否是轴对称问题

6—2* 考察函数c是否可作为极坐标的应力函数，其中c为常数。若可以作为应力函数，则在ra及rb的环形边界上对应着怎样的边界条件

6—3 在极坐标中取AlnrCr2，式中A与C皆为常数。 |

（1）检查可否为应力函数

（2）写出应力分量的表达式。

（3）在ra和rb的边界上对应着怎样的边界条件

6—4* 试求题6—4图中给出的圆弧曲梁内的应力分量，选取应力函数f(r)sin。

￥

题6—1图

题6—4图 题6—5图

6—5 试确定应力函数cr2(cos2cos2)中的常数c值，使满足题6—5图中的条件：在面上0, rs，在面上，0, rS，并证明楔顶端没有集中力与力偶作用。

'

6—6 试求内外径之比为1/2的厚壁圆筒在内外压力相等（即p1p2）时的极限荷载，并根据平面应力与平面应变问题分别讨论之。

6—7 试用Tresca条件求只有外压力作用（p10,p2p）时的厚壁筒的应力分布和塑性区应力公式。

6—8 楔形体在两侧面上受均布剪力q（题6—8图所示）作用，试求应力分量。取应力函数：

r2(Acos2Bsin2CD)

6—9* 薄壁圆管扭转时，壁内剪应力为0，若管壁上有一圆孔，试证孔边上的最大正应力为max40。

…

6—10* 如题6—10图所示，在半平面体边界的区间aya上受到匀布载荷p的作用，试求半平面体中的应力x、y和xy。

题6—8图 题6—9图

\\

题6—10图

第七章 柱体的扭转

7—1* 试用半逆解法求圆截面柱体扭转问题的解。

7—2 试证柱体扭转时，任一横截面上边界点处的剪应力方向与边界切线方向重合。 …

7—3 一等截面直杆，两端受扭矩Mr，取杆的中心轴线为z轴，变形满足下式： uzy， vzx,w0。证明杆的横截面必为一圆形。

7—4 试证明A(r2a2)既可以用来求解实心圆截面柱体，也可求解圆管的扭转问题，并求出用G表示的A。

2134a2227—5* 函数mxy(x3xy)，试问它能否作为题7—5图所示的

a27高度为a的正三角形截面杆件的扭转应力函数若能，求其应力分量。坐标如图所示。

题7—5图 题7—6图

[

7—6 试比较边长为2a的正方形截面杆1与面积相等的圆截面杆2承受同样大小扭矩作用时所产生的最大剪应力与抗扭刚度。

7—7 试求题7—7图（a）、(b)所示截面形状的柱体受扭矩作用下的扭转刚度KT。 7—8* 试求具有相等尺寸的无缝和有缝薄壁圆形管[如题7—8图（a）、（b）所示]在相同扭矩作用下的最大剪应力之比与扭转刚度之比。

~

题7—8图 题7—9图

7—9* 试比较截面积相等的槽形薄壁杆件与正方形管状薄壁杆件[如题7—9图（a）、（b）所示]的最大剪应力之比及抗扭刚度之比（R）。

7—10 求边长为2c的等边三角形截面柱体的极限扭矩。

7—11* 试求外半径为b，内半径为a的圆筒的塑性极限扭矩。 】

7—12 已知空心圆柱内外半径之比为a:b。试求此圆柱受扭时，塑性极限扭矩M。比弹性极限扭矩M。提高了多少比值试给出0,1/2时所提高的值。

第八章 弹性力学的一般解·空间轴对称问题

8—1 试用位移法基本（Lame）方程推导出平面应变问题的协调方程： ~

1FxFy 2(xy) 1xy8—2 已知等直杆纯弯曲时的位移分量为

M uxyyzzyu0

EJM v(x2y2z2)zxxzv0

2EJM wyzxyyxw0

EJ~

证明它们满足位移法基本（Lame）方程和相应的边界条件。

8—3* 当体力为零时，应力分量为：

—

xay2(x2y2);xy2axy y2ax(y2x2);yz0

za(x2y2);zx0

式中a0，试检查它们是否是弹力问题的解

8—4 如题8—4图假定地基岩层在自重作用下只能向下位移，不能侧向移动。试求地下岩体所受的铅直压力x和侧向压力y。

题8—4图 题8—5图

】

8—5 设应力分量为xaxby, ycxdy, xyexfy, zyzzx0，试求怎样的应力分布可作弹性应力解的条件。

8—6 试证明在集中力P作用的弹性半空间体内，应力分布有下述特点：设有在原点与边界面相切的球（如题8—6图），则在球面相截的所有水平面上的点的总应力p指向坐标

3P原点，且其大小等于p。

2d28—7* 当布氏硬度计的钢球压入钢质零件的平表面时，设p10N，钢球直径为10mm，如不计钢球自重，试求所产生的最大接触压力q0，相对位移和接触圆的半径a。

8—8* 已知半径为R2 = 50mm的凹球面与半径为R1 = 10mm的球面接触，受到压力p = 10N的作用，材料均为钢制，试求接触面的半径a，球中心的相对位移，最大压应力q0，最大拉应力max和最大剪应力max。

8—9 已知如图8—9所示的半无限弹性体的边界面上，承受垂直于界面的集中力P的作用，试用位移法 & 法求位移及应力公式。

第九章* 加载曲面·材料稳定性假设·塑性势能理论

)

9—1 试证在比例加载下Lode应力参数及应力状态特征角保持不变。

9—2* 设123，证明0.816s0.943。

max3S39—3* 试证Lode应力参数。

S1S39—4 在平面应力状态时，1所对应的应力状态有哪些形式并作应力圆说明。

9—5* 薄壁管在拉伸—扭转试验时，应力状态为1, 230, xy,

yzzx0，如知简单拉伸的屈服极限s，推导Tresca和Mises条件在平面内的屈

服曲线。

2222627J29—6* 试证明Tresca条件可以写成下列形式：4J2336kJ296kJ264k0，式中ks/2或ks。

9—7* 将Mises屈服条件用：（1）第一、第二应力不变量（I1、I2）表示；（2）主应力偏量Si表示。

9—8 物体中某点的应力状态

00100ij2000 0MPa

03000该物体在单向拉伸时屈服极限为s= 190MPa，试用Tresca和Mises屈服条件来判断该点是处于弹性状态还是处于塑性状态。如主应力方向均作相反的改变（即同值异号）则对被研究点所处状态的判断有无变化

9—9 求如题9—9图Tresca条件所示D点处的流动法则（即d1p:d2p:d3p）。

9—10 已知主应力123，并当两种特殊情况：(a) 12；(b) 23。试列出Tresca和Mises条件，并比较之。

》

; 第十章 弹性力学变分法及近似解法

10—1 试证：

<

V1ij(uijuji)dVijnjuidsijjuidV

sV210—2 试给出平面应力状态极坐标系的单位体积应变能表达式。

10—3 设有图示悬臂梁右端受P作用，如取挠曲线为：wax2bx3, 试求a、b的值。

题10—3图 题10—4图

'

10—4 试给出题10—4图的余能表达式（不计均布力q引起的偏心弯矩）。 10—5 题10—5图所示中点受集中力P作用的简支梁，设位移函数vCsin梁的挠曲线方程，最大挠度，及其与材料力学解的比较。

xl，试求

题10—5图 题10—6图

:

10—6 试用卡氏第二定理求题10—6图示三杆桁架中A点的位移。已知杆的拉压刚度为EA。

10—7* 试用虚功原理求题10—7图所示梁的挠度曲线。设

xwa1sinl

;

题10—7图

10—8* 已知一简支梁，跨度为l，承受均布载荷q的作用，抗弯刚度EJ为常数，设 x3x w(x)a1sina2sinll试用虚位移原理系数a1、a2及梁的最大挠度。

10—9* 已知如题10—9图所示两端固支梁，跨度为l，抗弯刚度EJ为常数，中点受集

2x中力P作用，试用最小势能原理求wmax，设位移函数w2cos。

2l]

题10—9图 题10—10图

10—10 已知如题10—10图所示的一端固定，一端自由的压杆，截面抗弯刚度EJ为常数，试用Ritz法确定端顶受临界压力Pcr的近似值。设位移函数为vc1x3c2x2c3xc4。

x10—11* 上题10—10如设位移函数va1cos，求临界压力Pcr。

2l10—12* 已知如题10—12图示一端固定，一端自由的压杆，长度为l，截面抗弯刚度EJ为常数。试用Ritz法求在自重q (N/mm)作用下的临界载荷qcr。设位移函数

xwa1cos。

2l[

10—13 试用最小余能原理求题10—13图所示超静定梁AB的支座反力，已知梁的抗弯刚度EJ，其载荷为两个集中力P，跨度为2l，中点有支点C。

10—14* 如题10—14图示，载荷为均布荷载q，跨度为l。求中间支点C的支座弯矩Mc。

题10—12图 题10—13图 题10—14图

10—15 已知如题10—15图所示的桁架ABC，AB和BC杆的截面面积均为A。在B点作用力P，材料具有非线性弹性的应力应变关系k，式中k为常数（拉压时均适用）。试用卡氏第二定理求结点B的水平位移H及垂直位移V。

、

题10—15图 题10—16图

10—16* 矩形薄板不计体力，三边固定，一边受有均布压力q，如题10—16所示。设应力函数为：

,

qx2qa2x2y2y3A1A232222bab 

试用应力变分法求解应力分量（计算应变能时，取泊松比 = 0）。

第十一章 塑性力学极限分析定理及塑性分析

11—1 两端固定等截面梁受均布载荷作用（题11—1图），塑性弯矩为M，试确定极限荷载。

题11—1图 题11—2图

11—2 试用静力法和机动法求出一端固定，一端简支如题11—2图所示离固定端l1处受集中力的极限载荷。

11—3* 试用静力法和机动法求出一端固定，一端简支如题11—3图所示简支端半梁受均布载荷的极限载荷。

—

题11—3图 题11—4图

11—4* 试用机动法求题11—4图示连续梁的极限载荷，设pql ,梁为等截面，极限弯矩为M。

第十二章 理想刚塑平面应变问题

12—1 设有均匀受拉应力状态的自由边界，如题12—1图所示，试画出其滑移线场的形式。

$

题12—1图 题12—2图

12—2 试求图示直角边坡的滑移线场及极限荷载q0。

12—3 如图所示滑移线，试证明在D点的曲率半径R为常数。 '

12—4 试求题12—5图示斜坡的滑移场及极限荷载q0。

题12—3图 题12—4图

12—5 求图中有无限窄切口的长条板的极限荷载P0（滑移线场如图所示）。

，

题12—5图 题12—6图

12—6 通过一方形硬模进行无磨擦挤出工艺过程，截面尺寸收缩率50%，中心扇形区由直的径向射线和圆周线组成，如图所示。用进入的速度V及极坐标r、来表达沿这两族滑移线的速度分量。

]

题12—7图

12—7 绘出下列题12—6图中所示圆弧形边界附近的滑移场。

12—8 有平头冲模，压入空腔内挤出材料，接触面为光滑面，求滑移场、极限荷载及速度场。已知冲头以P的压力及V的速度向下运动。

12—9 有截锥楔体，顶面宽度为2a，顶角为2，受均匀分布压力q作用，接触面为光滑面。求：1）滑移场，标出、线及中心角度数；2）求极限荷载p0；3）作速度图，设AB面以V的速度向下运动。

题12—8图 题12—9图

附录一 张量概念及其运算·下标记号法·求和约定

附—1 由张量求和约定展开下列各式：

—

(1) ijij (5) ii

2(2) ij

(3) aijbici (7) ijj

(4) ijij (8) 'ij

(6) 'i

附—2 证明下式成立

(1) ijjkkmim

(2) aijjkaik (4)

2ij(3) ijmkkjmij,k

mm2ii

附—3* 试展开方向余弦关系式，并说明其几何意义： \"

(1) njnj1 (2) likljkij

\"

习题参考答案及解题提示

>

第二章 应力理论·应变理论

2—1 =127MPa, P= 110MPa, = , （弹塑性力学中该剪应力为负值） 2—2 1，2，1与x的交角058.3。弹性力学与材料力学主方向计算的结果一致。

2—3 6.8MPa，（弹塑性力学中该剪应力为正值）

2—4* (a)、(b)、(c) max30MPa。最大剪切面为：

pa3pa2pa3pa2bpa22—5* xB , B, xc, yc, c3EJ2EJ3EJ2EJ2EJ(lz)Wl2—6 x,l,(WAl)

E2EA2—7* 参见一般材料力学教材。

2—8 满足X0，不满足Y0的平衡微分方程。 .

2—9 n26，n108.7，Pn111.8 （应力单位：Mpa）

2—10 Pnnn0

2—11 （a）xyTcosa,yTsina

（b）xsinxycosTcosa,xysinycosTsina （c）xxyctg,yxytg &

（d）xxyctg(hy),yyztg(hy)（e）x(hy),xy0 （f）y0边界；y

qxz,xq,xy0；

lxyxctga，y(lx)tga边界：

yxytga。

2—12 提示：分别列出尖角两侧AC与BC自由面的应力边界条件。

2—14* zxztga,xztg2a。

2—15 a0,b1,cctg21ctg3,d1ctg2。

3QdM222—16* 当上、下表面xy，式中。 (h4y)Qh0时，可求得xy3ydx2bh22—17 1，1与x轴间的夹角040.27，或139.63，24.92MPa。

222—18* 1yz，20, 31。 zx2—19 1a2b2，20, 3a2b2； ；

ab3的主方向 ,,0。

a2b2a2b2

2—22* (b) 提示：应用ijijliiljj及likljkij来计算iiii。 2—23 8，8。

2—24* P859.5a,825.0a,854.1a。

2331122—25 1:。 ;2:;3:222[

2—26* （a）174,234,max54 (MPa)； （b）170,260,360 (MPa)；

（b）图有时，不能用平面应力圆计算。

2—27* （a）按定义不为八面体面。(b) 8指向不一定垂直棱边，其方向由主应力的大小来决定。

040120310203211102400(2)2—29 (1)ij； 。 ij00031124}

0.01,I22105,I30； 2—31 （1）I1 （2）22.764103,37.236103；

（3）1(0,0,1), 2(0.53,0.86,0), 3(0.86,0.53,0)； （4）85.96103。

2—32 （1）为可能应变状态。（2）、（3）为不可能应变状态。 ！

2—34 16.00104,23.00104,32.00104。

2—35* 112.2104,24.95104,33.17104，1的方向余弦（, , ）。 2—36* y是主应变。

2—37 c14,a1b12c20

2—38* 提示：如求u，要根据几何方程对du积分，因为uu(x,y,z)，所以要先计uuuuuuudxdydz。即udu，其中如计算又要先,,xyzxyzxuuuuuuudx求它的偏导数,,，即dydz，xyxzxxxyxzxxx算u的偏导数：

依次进行才可得u。同样方法再求v、w。答案为：

-

uu0yzzy vv0zxxz

ww0xyyx式中u0、v0、w0为物体沿x、y、z轴方向的刚性平移，x、y、z为物体绕x、y、z轴的刚性转动。它们都是积分常数，由位移约束条件来确定。

2—39* 两组位移之间仅相差一个刚性位移。

12xy, I2xyxy0。 2—40* I1,I32xy11xy1222设()(xy)2xy；20。xyxy23222（

 

2—41* 提示：由几何方程积分

wzxzEzvyyEzuzxE引用式（a），由xy2Eyz 得vc2(x,z)

Exz得uc3(y,z)Ec3(y,z)c2(x,z)uu0 0，得

yxyx得wc1(x,y)z2 (a)

(b)

式（b）表明c2,c3与z无关（由于对z轴的对称性，u、v与z关系相同，如有z项，上式不为零）且仅是c2为x，c3为y的一次函数。故c2a1xb1,c3a1yb2，又

|

yzzxyc1(x,y)wv0得1yzEyxc1(x,y)wu0得0xzExd(x2y2)得：c1  (c)

由（c） dc12E2E (x2y2)a3xb3yd1，于是得位移表达式为：

Evzya1xb1 (d) 

E22wz(xy2)a3xb3yd12E2E式（d）线性部分为刚性位移。设上端位移边界条件xy0,zl处，① u = v = w = 0，②

vuv微线段dx不发生绕z轴的转动：0，③微线段dz不发生绕y和x轴转动：0和0，

xzzl2于是有a1b1b2a3b30,d1代入式（d）可得位移：

2Ev2 uxz,vyz,wz(x2y2)l2。

EE2E 2─42* uyz,vzx,w0。

uzxa1yb2\"

第三章 弹性变形·塑性变形·本构方程

3—4* s0.577s 3—7

：

K16.3103，钢的体积弹性模量数值大。 K23—8 30.9104

3—9* 10,2，360MPa，13.76104，20，37.64104 3—10* 提示：先利用钢套与铝柱侧向应变相等计算出相互侧向压力：q = ，再由薄壁筒公式求出钢套周向应力：= 28MPa。

p(1)(12)3—11 12q,3p,qp，e,

1E1p(12)1，换成刚体时E，e0。换成不可压缩体时,e0。 max2(1)2

2x3—13* U2EV,

Uv122xV,6E

Ud12xV; 3E1Kv(12);

3Kd）

2(1)。 33—15* 提示：注意本题应力状态为单向应力状态，而由于横向变形的产生，所对应的应变状态为三向应变状态，可用应力与应变圆对应关系计算。所求截面与横坐标轴x方

1向余弦为： cos2a0

1

E3—16 p(s)1

E3—17 （a）1∶0∶-1 （b）1∶0∶-1； 3—18 d:dr:dz1:1:0 ！

23—20 提示：对于（2）情形，两端固定，因径向内压力会促使薄壁圆筒涨开并缩短，故轴向为拉应力。

t2st答案：Mises：（1）ps （2）和（3）均为：p

r3rtTresca：（1）、（2）和（3）均为：ps

r3ts2ts3—21* Mises （1）p；Mises （2）（3）与Tresca（1）（2）（3）均为：p

rr。

qr3—22 （1）Tresca、Mises：s

2tpp6M6M（2）Tresca、Mises：2s 设2

bhbhbhbh1113—23 增量：1sp, 23(sp); d1p:d2p:d3p1::

222111全量：1,23;1:2:31::

222式中为单拉时的总应变，s

3—24 0.707s，0.408s。

(

3—19 zs; drp:dp:dzp:dzp1:1:2:6

2E。

3—25 提示：根据纯剪计算,，代换f()的函数形式。答案：3f(3)。 3—26* z

|

schl,zs3thl。

第四章 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法

4—1 wCzD， （无刚性平移时DC）。

4—2 (a) p*

2EF2AFmcos2 ； (b) pcosn1。 lln4—5 peps2sF

第五章 平面问题的直角坐标解答

5—1 提示：本题为平面应力问题，因为z0，不能由三维Lame公式解，可由平面

应力问题广义Hooke定律，计算应力分量再求解。

)

EyE2答案： Fx； [A(1)C]F(Ax3By) y221145—2 （1）满足0，能作为应力函数；（2）应力分量为x0,y0,xya。

5—3* 为偏心距ec的拉伸解。

l2a25—4 悬臂梁在自由端受拉力2cq及集中力F弯曲的解。 5—5* xl,xydy0。

c{

5—6 a0,b1,cctg21ctg3,d1ctg2。 5—7* 提示：取应力函数：ay,zq,yxy2a1h2120,uqx,

Ev(1)qx E125—8 x2hl2h24y2382xyh25y；

4y234y2y12y； xy12x。 22hh5—9* FxFy0, Fzg，为上端悬挂，下端受拉力p的解。 >

5—10 xpxctga2pyctg2a,ypy,xypyctga。

5—11* 提示：假设纵向纤维互不挤压，由x0代入40选取应力函数

(Ax3Bx2CxD)yExF;

2py3xxxx0; y1; xyyxp32。

hhhh5—12* 提示：计算应力分量后检验边界条件，要求45。弹性力学解：

maxmaxmaxmax-100KN/m2，xy233KN/m2，x366KN/m2，yx300 KN/m2，材料力学解：

maxxy150 KN/m2。 ：

5—13* 提示：将代入40，得a4f(u)2a2f(y)f(4)(y)0,f(y)Achay BshayCychayCyshay

5—14*

(acchacshac)chayayshayshacxq0sinaxsh2ac2ac

(acshacchac)shayaychaychacq0sinaxsh2ac2ac

yq0xy…

(acchacshac)chayayshayshacsinaxsh2ac2ac

(acshacchac)shayaychaychacq0sinaxsh2ac2acacchacshayaychayshacq0cosaxsh2ac2ac

acshacchayayshaychacq0cosaxsh2ac2acMs1100% ； 15—15* k（a）k50%；

M2s161316(b) k（c）k127.2%~69.8%； 169.8%；

3143（d）k = 1 = 100% ； （e）k = 24% 。

8bh24bh25—16 qs2s, qs2s，弹塑性段交界线为一椭圆方程：

3ll22qlx12l0.184l。 1 1，塑性段长度：x3h4sbh3《

第六章 平面问题的极坐标解答

6—1 （a）平面应力轴对称问题，（b）非平面非轴对称问题，（c）平面应变非轴对称问题，（d）（拟）平面应变非轴对称问题。

c6—2* （1） 满足40能作为应力函数；（2）应力分量为： 0,2；

r%

cc （3）边界面力为：(r)ra2,(r)rb2, 绘于题6—2图中。

ab6—3 （1）满足40，可以作为应力函数；

AA（2）应力分量为：r22C,22c,r0；

rrAA（3）边界面力为：(r)ra22c,(r)rb22c；

ab所给函数实际上是厚壁筒在内、外压作用下的解。

;

ppa2b2a2b2a2b2a2b2sin；r3r3sin； r3答案：rNrNrrra2b2a2b2br3cos；式中Na2b2(a2b2)ln。 rrra6—5 提示：关于楔顶没有集中力与力偶的证明，可设其有集中力与力偶作用，再按截面法取楔顶半径为r的弧形段，建立该段的外力（矩）与内力（矩）的平衡方程，证明它

S们为零。答案：c

2sin2a6—6 平面应力问题：pss，由于圆筒内外压力相等，各点为均匀受压状态，由弹性状态转变为塑性状态，不出现弹塑性状态。

pN

r平面应变问题：由于22vpp，为三向等值挤压状态，不出现塑性极限状态。 ~

6—7 提示：注意厚壁圆筒受外压作用时，在内孔壁ra处，材料首先发生屈服。

aa答案：rsln;sln1;r0

rrcos2cos26—8 提示：注意问题的对称性。答案： rqctg；qctg；

sinsinsin2。 rqsin6—10*

pyayax(ya)x(ya)xtg1tg12

xxx(ya)2x2(ya)2yxy

p1yax(ya)x(ya)1yatgtg xxx2(ya)2x2(ya)2x2(ya)2x2(ya)22 222x(ya)x(ya)p2第七章 柱体的扭转

7—1* 提示：参考材料力学的解答，设柱体的轴线为z轴，则假定xyzxy0，位移分量：uyz,vxz,w0。

7—2 提示：可以利用柱体侧面的自由边界条件进行。 a7—5* 提示：截面的边界方程为：x,3可作为扭转应力函数。

yx3153MT2a时;当m4332a322x(xy)。 2a应力分量为：zx7—6

1max2max153MT153MT3xyy; zyaa4a4KT11.356,0.886。

KT27—7 （a）KT7—8* 7—9*

amaxbmaxamaxbmaxG2(b1t12b3t3); (b) KT。 3Ka3R2,2。 3RKbKTb3a22,。 3RKTb4223ka 37—11* 提示：若柱体截面有对称形的孔，沙堆比拟法可推广使用。根据复连通域截面要求，外边界取为零，内边界取为一个不为零的常数，故此题可考虑与沙堆相应的按

2圆台（截头圆锥）进行计算。Msk(b3a3)

33kb2mb347—12 Me(1), Ms(13)，塑性极限扭矩比弹性极限扭矩提

237—10 Ms

高比值为k。当0时:k111133.3%; 当时：k24.4%。 3245

第八章 弹性力学的一般解·空间轴对称问题

8— 1 提示：将Lame方程式第一、二式分别对x、y求导并相加，且由3Ke =,

32 即可得证。 ,K2()38—3* 应力分量满足平衡方程，但不满足协调方程，因而所给应力状态是不可能的。

8—4 由题意u = u (x), vw0, 可由Lame方程计算，且边界条件有(u)x00, (x)x0；xpgx， y1pgx。 (Fxpg)

8—5 a+ f +Fx0,edFy0,Fx0;式中Fx.FyFz为体力分量。

yzr8—6 提示：按tg可知全应力p指向坐标原点o。全应力p的大小可由

Zz水平面的正应力x与剪应力xr合成计算得到。

8—7 q01010N/mm2 max0.133;(1)P8—9 u2EP r2,a9.5×104mm,a0.069mm

q0169.9N/mm2

8— 8 a = ，a = ×102mm,q0548N/mm2,

q072.9N/mm2; msx0.31;rz(1)P2(1)z2r3; 3(12); w2ERR(Rz)RR12z3zr2P1;(12) 3; 5R(Rz)2R(Rz)RRP3z3P3rz2 z; rz.

2R52R5

第九章 加载曲面·材料稳定性假设·塑性势能理论

9—2* 提示：利用《弹塑性力学》书例9—1的结果。

2SS1S29—3* 提示：由式2，并引用 SiiS1S2S30

S1S29—4 单向压缩、双向等拉。

9—5* Tresca与Mises分别为242s2与232s2的椭圆曲线。 9—6* 提示：注意下列关系式

1122 J2(S1S2)2(S2S3)2(S3S1)2=(S12S2S3)(S1S2S2S3S3S1)

62122222233J2S12S2S2S3S3S1； J3(S13S2S3)；

33333322S13S2S2S3S3S13J3J2。

3229—7* （1） I123I2s2; （2）(S12S2S3)s2

29—8 按Tresca屈服条件，该点处于塑性状态。按Mises屈服条件，该点处于弹性状态



（该点的应力状态处于主应力空间中Tresca正六方柱面之外，Mises圆柱面之内）。若改变所有应力分量的符号，将不改变对该点所处弹性或塑性状态的判断。

9—9 d1p：d2p：d3p1：(1)：

9—10 (a)、（b）情况下Tresca与Mises条件均为13s

第十章 弹性力学变分法及近似解法

10—2 U0(ij)E12222r rr22(12)10—3 提示：已知位移函数，可用最小势能原理解。aq2l2lN1N2,式中N1N2ql。 10—4 Uc2EA3plp。 ,b2EJ6EJ2pl32pl3pl210—5 V =4。（比材料力学解答偏小%) sin,Vmax4l48EJEJEJpl110—6 =

EA12cos310—7* 提示：此题为杆受纵横弯曲的解。可参照一般材料力学书籍。

2Ql31sinx w4

lEJpl212EJ4ql44ql4968ql410—8* a15。 ,a3,wmaxEJ2345EJ2345EJpl310—9* wmax 42EJa10—10 提示：（1）先根据位移边界条件，可得v3(3lx2x3)；（2）杆弯曲后

2l长度不变，而长度ds与其水平投影dx之差为（见题10—10图）：

2d22 ds－dx = dxddx = dx11;

dxdv<< 1, 故由二项式定理可得： dx21dd11。于是梁的原长OA与挠曲线

2dxdx22211da5EJdx。弦长OA之差AA, 其值为：答案： 3(3lx2x3), pcr2。

20dx2l2l10—11* Pcr2EJ4l3(此解为精确解）

2d2w1110—12* 提示：的计算见10—10题提示。如用UEJdx2dx, 2021Mdx7.89EJ7.83EJ8.28EJU,q;此题精确为q 如用qcr; crcr02EJl3l3l3

10—13 RARB511p,Rcp。 168ql210—14* Mc

3210—15 Hp2l5p2l22;v22。 AKAK10—16* 提示：当体力为零；v0; U12E(xy2xy)dxdy

222601,AA1 26a2a4361602214bbqx23qa2yqy22qxyx2A1A;qA;A1； 2y1xybb3b2b2A1=

第十一章 塑性力学极限分析定理及塑性分析

。

l2(4ll1)M511—2 完全解， ps。

(2ll1)l1M11—3 * 完全解， qs19.22s。

l11—4* 提示：（1）连续梁中任一跨度内形成塑性机构时，全梁到达极限状态。因此，要对跨度逐段加以讨论。（2）BC跨度的约束和一端固定另一端自由的梁完全相同。此题BC跨度的左端可看作弹性约束端，但在采用刚性理想塑性模型时，在截面屈服之前是刚性固定的。答案：ps

11—1 完全解， qs16Ms6M。 l第十二章 理想刚塑平面应变问题

12—1 均匀受拉应力状态的自由边界AB上的滑移线场形式如题12—1图所示。

题12—1图 题12—2图

12—2 此问题的滑移线场如题12—2图所示，其极限载荷q02k。

12—4 极限载荷p02hy2kh(2)；若采用Tresca条件：p05.1415hs；若采

用Mises条件：p05.9384hs。

 12—5 斜坡的滑移线场如题12—4图所示，其极限载荷为q0k2。

3

题12—4图 题12—8图

2； uVcos。Vsin 12—7 沿、两族滑移线的速度分量分别为：u 212—8 滑移线场如题12—8图所示，其极限载荷p0为：p02n4ak(1)。其

VV0。const；u速度场为：1）在AAB区：u； u。 2）在ABC区：u22V0。 3）在ACD区：u；u2

题12—9图

12—9 2）极限载荷：p02n4ak(1)。

0；② 扇形ABC区：2V，u 3）速度场可分为三个区：① ΔABC区：u0；③ ΔACD区：u0。 2V，u2V ，uu

附录一 张量概念及其运算·下标记号法·求和约定

222222yz2(xyyzzx) （注意ijji） 附—1 （1） ijijx222222222x（2） ij、xy、xz、yx、y、yz、zx、zy、z2

（3） aijbjcja11b1c1a12b1c2a13b1c3

a21b2c1a22b2c2a23b2c3

a31b3c1a32b3c2a33b3c3

（4） ijijxxyyzz2(xyxyyzyzzxzx)

（注意ijji,ijji） i123 xixyz（6） 'i 即、、

xiyxziji1i2i3（7） ijj xjx1x2x3（5） ii即：

yxyyzxxyxzzxzyz; ; 。 xyzxyzxyz2（8）'ij

xixj222222222, , , , , 即：2，。 , , 22xyxzyxyyzzxzyxz22n2附—3* （a）nxynz1为空间一直线与x、y、z轴的方向余弦关系式。

（b）likljkij（注意liklki,ljklkj）

222l12l131, （i）当ij, ij1;l1kl1k1,l2kl2k1,l3kl3k1，即：l11222222l21l22l231, l31l32l331为空间三直线与x、y、z轴的方向余弦

关系式。

（ii）当ij,ij0;li1lj1li2lj2li3lj30，即：l`11l21l12l22l13l230,

l21l31l22l32l23l330, l31l11l32l12l33l130为空间三直线相互垂直对x、y、z轴的方向余弦关系式。