2017届高考数学(文)一轮对点训练：6-3-1等比数列的概念及运算.doc

1.已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( ) A．21 B．42 C．63 D．84 答案 B

解析 解法一：由于a1(1＋q2＋q4)＝21，a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.

解法二：同解法一求出q2＝2，由a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝42，故选B. 2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 答案 D

解析 根据等比数列性质，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则am，ak，an成等比数列，故选D.

3．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( ) A．n(n＋1) B．n(n－1) nn＋1nn－1C. D.

22答案 A

解析 ∵a2，a4，a8成等比数列，

∴a2a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)， 4＝a2· 将d＝2代入上式，解得a1＝2，

nn－1·2 ∴Sn＝2n＋＝n(n＋1)，故选A.

2

4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，公比q＝2，Sk＋2－Sk＝48，则k等于( ) A．7 B．6 C．5 D．4 答案 D

1－2kk解析 ∵Sk＝＝2－1，

1－2∴Sk＋2＝2k2－1，

＋

由Sk＋2－Sk＝48得2k2－2k＝48,2k＝16，k＝4.

＋

故选D.

5．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝

________.

答案 1

解析 设数列{an}的公差为d，则a1＝a3－2d，a5＝a3＋2d，由题意得，(a1＋1)(a5＋5)＝(a3＋3)2，即(a3－2d＋1)·(a3＋2d＋5)＝(a3＋3)2，整理，得(d＋1)2＝0，∴d＝－1，则a1＋1＝a3＋3，故q＝1.

6．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.

答案 11

解析 设数列{an}的公比为q，由an＋2＋an＋1－2an＝0，得anq2＋anq－2an＝0，显然an≠0，1×[1－－25]所以q＋q－2＝0，又q≠1，所以q＝－2，所以S5＝＝11.

1－－2

2

7．设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3. (1)求{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn. 解 (1)因为2Sn＝3n＋3， 所以2a1＝3＋3，故a1＝3， 当n>1时，2Sn－1＝3n1＋3，

－

此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n1＝2×3n1，

－

－

即an＝3n1，

－

3，n＝1，所以an＝n－1

3，n>1.

1

(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝. 3 当n>1时，bn＝31nlog33n1＝(n－1)·31n.

－

－

－

1所以T1＝b1＝；

3

1－－－

当n>1时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×31＋2×32＋…＋(n－1)×31n]，

3所以3Tn＝1＋[1×30＋2×31＋…＋(n－1)×32n]，

－

－

两式相减，得

2－－－－2Tn＝＋(30＋31＋32＋…＋32n)－(n－1)×31n

3

1n

21－3－＝＋31n －1－(n－1)×31－3

－

136n＋3＝－， 62×3n

136n＋3

所以Tn＝－. 124×3n经检验，n＝1时也适合． 136n＋3

综上可得Tn＝－.

124×3n8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1. 1

(1)证明an＋2是等比数列，并求{an}的通项公式；

1113

(2)证明＋＋…＋<.

a1a2an2

11

an＋. 证明 (1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝322

1133

又a1＋＝，所以an＋2是首项为，公比为3的等比数列．

2223n－113n

an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝. 22212 (2)由(1)知＝n.

an3－1

11－

因为当n≥1时，3n－1≥2×3n1，所以n≤－. 3－12×3n111111

于是＋＋…＋≤1＋＋…＋n－1 a1a2an33133

1－n<. ＝322

1113所以＋＋…＋<.

a1a2an2

2

9.已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ

3为实数，n为正整数．

(1)对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列； (2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．

242

λ－32＝λλ－4，解 (1)假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a2＝a1a3，即3944

故λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．∴对任意实数λ，数列{an}都不是等比99数列．

(2)∵bn＋1＝(－1)n1[an＋1－3(n＋1)＋21]

＋

＋2＝(－1)n13an－2n＋14

2

＝－(－1)n(an－3n＋21)

3

2

＝－bn，

3

又b1＝－(λ＋18)，∴当λ＝－18时，b1＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列； 当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0， bn＋12

则bn≠0，∴＝－(n∈N*)．

bn3

2

故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列．

3