高三数学试题

 高三数学试题 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，4}，则（∁UA）∩（∁UB）=（ ） A．{1} B．{5} C．{2，4} D．{1，2，3，4} 2．若函数y=f（x）的反函数图象过点（1，5），则函数y=f（x）的图象必过点（ ） A．（1，1） B．（1，5） C．（5，1） D．（5，5） 3．若向量a与b不共线，a•b≠0，且c＝a−(a•a/a•b)b，则向量a与c的夹角为( )A．0 B．6 C．3 D．2 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（ ） A．63 B．45 C．36 D．27 5．若θ∈(34，54)，则复数（cosθ+sinθ）+（sinθ-cosθ）i在复平面内所对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．若函数y=f（x）的图象按向量a平移后，得到函数y=f（x+1）-2的图象，则向量a=（ ） A．（-1，-2） B．（1，-2） C．（-1，2） D．（1，2） 7．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α B．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β C．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ D．若m⊥β，m∥α，则α⊥β xy20yx1满足约束条件xy70，则x8．已知变量x，y的取值范围是（ ） A．[9/5,6] B．(−∞，9/5]∪[6，+∞) C．（-∞，3]∪[6，+∞） D．[3，6] 9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ） A．1/22 B．1/11 C．3/22 D．2/11 10．设p，q是两个命题：p：log0.5(|x|−3)＞0，q：x2−5/6x+1/6＞0，则p是q的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．设P为双曲线x2−y2/12=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为（ ）A．63 B．12 C．123 D．24 12．已知f（x）与g（x）是定义在R上的连续函数，如果f（x）与g（x）仅当x=0时的函数值为0，且 f（x）≥g（x），那么下列情形不可能出现的是（ ） A．0是f(x)的极大值，也是g(x)的极大值 B．0是f(x)的极小值，也是g(x)的极小值 C．0是f(x)的极大值，但不是g(x)的极值 D．0是f(x)的极小值，但不是g(x)的极值 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．已知函数f(x)＝acosx(x0)在点x=0处连续，则a=______ 2x1(x1)14．设椭圆x225+y216＝1上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足OM=0.5（OP+OF），则|OM|=_________． 15．若一个底面边长为62，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________ ． 16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列,记第i个数为ai(i=1,2,…,6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，则不同的排列方法有_______种（用数字作答）． 三、解答题17．已知函数f(x)＝sin(ωx+6)+sin(ωx−6)−2cos2X2，x∈R（其中ω＞0） （I）求函数f（x）的值域；（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=-1有

且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．

18．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=a，D，E分别为棱AB，BC的 中点，M为棱AA1上的点，二面角M-DE-A为30°． （I）证明：A1B1⊥C1D；（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离． 19．某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为C＝q3/3−3q2+20q+10(q＞0)．该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示： 市场情形 概率 价格p与产量q的函数关系式 好 0.4 p=164-3q 中 0.4 p=101-3q 差 0.2 p=70-3q 设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量ξq，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润．（Ⅰ）分别求利润L1，L2，L3与产量q的函数关系式； （Ⅱ）当产量q确定时，求期望Eξq，试问产量q取何值时，Eξq取得最大值． 20．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设圆M的方程为（x-4-7cosθ）2+（y-7sinθ）2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求CE•CF的最大值和最小值． 21．已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x∈R满足条件：an=bn，f(bn)=g(bn+1)(n∈N*)． （I）若f(x)≥tx+1，t≠0，t≠2，g(x)=2x，f(b)≠g(b)，liman存在，求x的取值范围； x（II）若函数y=f(x)为R上增函数，g(x)=f-1(x),b=1,f(1)＜1,证明对任意n∈N*，an+1＜an（用t表示）． 22．已知函数f（x）=2t2-2（ex+x）t+e2x+x2+1，g（x）=0.5 f′（x）． （I）证明：当t＜22时，g（x）在R上是增函数；（II）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减函数；（III）证明：f(x)≥1.5 ． 1解：CuA={2，4，5}，CuB={1，5}，（CuA）∩（CuB）={5}，故选B 2解：根据反函数定义知反函数图象过（1，5），原函数与反函数的图象关于y=x对称，（1，5）的对称点为（5，1），就是说原函数图象过点（5，1），故选C 3解：∵a•c＝a2−(a2/a•b)a•b=a2 −a2=0,∴向量a与c垂直，故选D． 4解：由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S9-S6成等差，∴S9-S6=45, ∴a7+a8+a9=45故选B． 5解：取θ=π得，（cosθ+sinθ）+（sinθ-cosθ）i=-1+i，则复数在第二象限，故选B 6解：设a=（h，k）则由移公式得：函数y=f（x）的图象平移后对应的解析式为：y=f（x-h）+k 则x−h＝x+1, k＝−2, ∴h＝−1, k＝−2 ,a=（-1，-2），故选A 7解：对于选项D，若m∥α，则过直线m的平面与平面α相交得交线n，由线面平行的性质定理可得m∥n，又m⊥β，故n⊥β，且n⊂α，故由面面垂直的判定定理可得α⊥β．故选D 8解：约束条件x−y+2≤0, x≥1, x+y−7≤0对应的平面区域如下图示： 三角形顶点坐标分别为（1，3）、（1，6）和（5/2，9/2），y/x表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（5/2，9/2）时取最小值9/5，故y/x的取值范围是[9/5，6]故选A． 9解：从中任取两个球共有C12=66种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的取法有C6-C3=12种取法，∴概率为12/66＝2/11，故选D． 10解：p：∵0＜|x|-3＜1，∴3＜|x|＜4，∴-4＜x＜-3或3＜x＜4， q：(−∞，1/3)∪(1/2，+∞)，结合数轴知p是q的充分而不必要条件，故选A 11解：因为|PF1|：|PF2|=3：2，设|PF1|=3x，|PF2|=2x，根据双曲线定义得|PF1|-|PF2|=3x-2x=x=2a=2，所以|PF1|＝6，|PF2|＝4，|F1F2|＝222213，(213)2＝52＝62+42，△PF1F2为直角三角形，其面积为0.5×6×4＝12，故选B． 12解析：根据题意和图形知,结合函数的图象分析： 由上述三个图可得A，B，D可能．当0是f（x）的极大值时，不是g（x）的极值是不可能的，选C． 13解：∵f(x)＝acosx(x0)在点x=0处连续，∴limf(x)＝limf(x)＝f(0)＝a＝−1，故答案为-1． 2x0x0x1(x1)2214解：由椭圆x+y＝1得a=5，b=4，根据勾股定理得c=3，则左准线为x＝−25，左焦点F（-3，0），设P（x，y），25163因为P到左准线的距离为10，列出|x+25|/31022=10， 解得x=5或x=-55（舍去）；又P在椭圆上，则将x=5代入到椭圆方程中求出y=±82， 3333所以点P（5，±82）；由点M满足OM=0.5（OP+OF），则得M为PF中点， 33242根据中点坐标公式求得M（-3，±3），所以|OM|＝2故答案为2． 15解：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径， 4由；(2R)＝(6)+(6)＝12得R=3，球体积为3πR3＝43π, 故答案为：43π 22216解：由题意知本题是一个分步计数问题分两步：（1）先排a1，a3，a5，当a1=2，有2种；a1=3有2种；a1=4有1种，共有5种；（2）再排a2，a4，a6，共有A3=6种，∴不同的排列方法种数为5×6=30，故答案为：30 17解：（I）解：f(x)＝3/2sinωx+1/2cosωx+3/2sinωx−1/2cosωx−(cosωx+1) =2(3/2sinωx−1/2cosωx)−1=2sin(ωx−π/6)−1 由−1≤sin(ωx−π/6)≤1，得−3≤2sin(ωx−π/6)−1≤1可知函数f（x）的值域为[-3，1]． （II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f（x）的周期为π，又由ω＞0， 得2π/ω＝π，即得ω=2．于是有f(x)＝2sin(2x−π/6)−1，再由2kπ−π/2≤2x−π/6≤2kπ+π/2(k∈Z)， 解得kπ−π/6≤x≤kπ+π/3(k∈Z)．B1所以y=f（x）的单调增区间为[kπ−π/6，kπ+π/3](k∈Z). 18题 18解：（I）证明：连接CD，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∴CD为C1D在平面ABC内的射影．∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点，∴AB⊥CD，∴AB⊥C1D∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D （II）解：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC又∵AF∥CE，CE⊥AC∴AF⊥DE∵MA⊥平面ABC，∴AF为MF在平面ABC内的射影∴MF⊥DE∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA=30°在Rt△MAF中，AF＝0.5BC＝0.5a，∠MFA=30°，∴AM＝3/6a作AG⊥MF，垂足为G，∵MF⊥DE，AF⊥DE，∴DE⊥平面AMF，∵平面MDE⊥平面AMF，∴AG⊥平面MDE, 在Rt△GAF中，∠GFA=30°，AF＝0.5a，∴AG＝0.25a，即A到平面MDE的距离为0.25a, ∵CA∥DE，∴CA∥平面MDE，∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为0.25a． 19解：（Ⅰ）根据所给的表格中的数据和题意写出L1＝(164−3q)•q−(q/3−3q2+20q+10) =−q/3+144q−10(q＞0)．同理可得L2＝−q/3+81q−10(q＞0)．L3＝−q/3+50q−10(q＞0)． （Ⅱ）由期望定义可知Eξq=0.4L1+0.4L2+0.2L3 =0.4*(−q/3+144q−10)+0.4*(−q/3+81q−10)+0.28*(−q/3+50q−10)=−q/3+100q−10． 可知Eξq是产量q的函数，设f(q)＝Eξq＝−q/3+100q−10(q＞0)， 得f′（q）=-q+100．令f′（q）=0解得q=10，q=-10（舍去）． 由题意及问题的实际意义可知，当q=10时，f（q）取得最大值，即Eξq最大时的产量为10． 2220解：（Ⅰ）解法一：设A，B两点坐标分别为(y1/2，y1)，(y2/2，y2)， 3

3333333332由题设知y1=y2=12，所以A(6，2223)，B(6，−23)或A(6，−23)，B(6，2223)． 设圆心C的坐标为（r，0），则r＝2/3×6＝4，所以圆C的方程为（x-4）+y=16． 解法二：设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知x1+y1=x2+y2 又因为y1=2x1，y2=2x2，可得x1+2x1=x2+2x2．即（x1-x2）（x1+x2+2）=0 由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上 22222222设C点的坐标为（r，0），则A点坐标为(3/4r,所以圆C的方程为（x-4）+y=16． 223/2r)，于是有(3/2r)2＝2×3/2r，解得r=4， （Ⅱ）解：设∠ECF=2α，则CE•CF＝|CE|•|CF|•cos2α＝16cos2α＝32cos2α−16． 在Rt△PCE中，cosα＝x/|PC|＝4/|PC|，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|-1=7-1=6，所以0.5≤cosα≤2/3，由此可得−8≤CE•CF≤−16/9．则CE•CF的最大值为−16/9，最小值为-8． 21解：（I）由题设知an+1＝tbn+1+1, an＝2bn+1，得an+1＝0.5tan+1． 又已知t≠2，可得an+1+2/(t-2)＝0.5t(an+2/(t-2)．由t≠0，t≠2，f（b）≠g（b）， 可知a1+2/(t-2)＝tb+t/(t-2)≠0，0.5t≠0， 所以{an+2/(t-2)}是等比数列，其首项为tb+2/(t-2)，公比为0.5t． 于是an+2/(t-2)＝(tb+2/(t-2))(t/2)xn−1，即an＝(tb+2/(t-2))(t/2)xn−1−2(t-2)． 又liman存在，可得0＜|t/2|＜1，所以-2＜t＜2且t≠0.liman＝2/(t-2)． （II）证明：因为g（x）=f（x），所以an=g（bn+1）=f（bn+1），即bn+1=f（an）． 下面用数学归纳法证明an+1＜an（n∈N）． （1）当n=1（2）时，由f（x）（3）为增函数，且f（1）＜1（4）， 得a1=f（b1）=f（1）＜1（5），b2=f（a1）＜f（1）＜1（6），a2=f（b2）＜f（1）=a1（7）， 即a2＜a1，结论成立． （8）假设n=k（9）时结论成立，即ak+1＜ak（10）．由f（x）（11）为增函数，得f（ak+1）＜f（ak）（12），即bk+2＜bk+1（13），进而得f（bk+2）＜f（bk+1）（14），即ak+2＜ak+1（15），这就是说当n=k+1（16）时，结论也成立．根据（1）和（2）可知，对任意的n∈N（17），an+1＜an（18）． 22解：（I）证明：由题设易得g（x）=e-t（e-1）+x，g'（x）=2e-te+1．又由2e+e−≥22，且t＜22得t＜2e+e，xx-1-1**2xx2xxx-xte＜2e+1，即g'（x）=2e-te+1＞0．由此可知，g（x）在R上是增函数． （II）因为g'（x）＜0是g（x）为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时g'（x）=2e-te+1＜0，即t＞2e+e在闭区间[a，b]上成立即可．因为y=2e+e在闭区间[a，b]上连续，故在闭区间[a，b]上有最大值，设其为k，于是在t＞k时，g'（x）＜0在闭区间[a，b]上恒成立，即g（x）在闭区间[a，b]上为减函数． （III）设F（t）=2t-2（e+x）t+e+x+1，即F(t)＝2(t−(e+x)/2)2+0.5(e−x)2+1， xx2x2xx2xxx-xx-x2x2x2x易得F(t)≥0.5(e−x)2+1．令H（x）=e-x，则H'（x）=e-1，易知H'（0）=0．当x＞0时， xxxH'（0）＞0；当x＜0时，H'（0）＜0．故当x=0时，H（x）取最小值，H（0）=1．所以 0.5(e−x)2+1≥1.5，于是对任意的x，t，都有F(t)≥1.5，即f(x)≥1.5． x