典型例题

例1 计算

(1)(3a+2b)2 (2)(mn-n2)2

点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候.同时应注意公式中2ab的符号.

解：(1)(3a+2b)2=(3a)2+2·(3a)·(2b)+(2b)2=9a2+12ab+4b2

注意：（2）中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”. 例2 计算

(1)(-m-n)2 (2)(-5a-2)(5a+2)

点拨：（1）可直接用完全平方公式.由于-m与-n是同号，所以公式中的2ab取“+”.(2)中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“-”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算. 解：(1)(-m-n)2

=(-m)2+2·(-m)(-n)+(-n)2 =m2+2mn+n2 (2)(-5a-2)(5a+2) =-(5a+2)(5a+2) =-(5a+2)2 =-(25a2+20a+4) =-25a2-20a-4

小结：由（2）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算. 例3 计算

（1）(x-2y)2-(x-y)(x+y) (2)(m-n)(m2-n2)(m+n)

点拨：（1）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简.(2)可先利用平方差公式将m-n与m+n相乘，再将所得结果m2-n2与中间括号里的m2-n2相乘，可利用完全平方公式. 解：(1)(x-2y)2-(x-y)(x+y)

=(x2-4xy+4y2)-(x2-y2) =x2-4xy+4y2-x2+y2 =-4xy+5y2

(2)(m-n)(m2-n2)(m+n) =(m-n)(m+n)(m2-n2) =(m2-n2)(m2-n2) =(m2)2-2·m2·n2+(n2)2 =m4-2m2n2+n4

说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可. 例4 计算：(x+

y22)-(x-

y22)

点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a2-b2=(a+b)(a-b)，将此题转化为平方差公式进行计算.

解法一：(x+=(x+xy+

2

y22)-(x-

y22y2) )

y2)-(x-xy+

y2

42=x+xy+=2xy

2

y24-x+xy-

2

4

例5 计算：(a-2b+1)(a+2b-1)

点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同.先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成(a+b)(a-b)的形式，利用平方差公式进行简化运算.

关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化，要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变！ 例6 利用公式计算：1962

点拨：196接近整数200，故196=200-4，则此题可化为(200-4)2，利用完全平方公式计算.

解：1962 =(200-4)2

① ②

=2002-2×200×4+42 =40000-1600+16=38416

说明：Ⅰ.可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算.

Ⅱ.在由①到②的过程中，必须保证数的大小没有改变.

例7 某正方形边长a cm，若把这个正方形的边长减小3 cm，则面积减少了多少？ 点拨：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积=边长×边长”，表示出两个正方形的面积，用“大-小”即可得出所求.计算的关键在完全平方式的展开.

解：原正方形面积：a2

现正方形面积：(a-3)2

面积减少了a2-(a-3)2=a2-(a2-6a+9)=a2-a2+6a-9=(6a-9)(cm2) 答：面积减少了（6a-9） cm2.