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基于遗传算法的改进的GM(1,1)模型IGM(1,1)直接建模

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　2003年5月系统工程理论与实践第5期　

文章编号:100026788(2003)0520099204

郑照宁,刘德顺

(清华大学现代管理研究中心,清华大学技术经济与能源系统分析研究所,北京100084)

摘要:　GM(1,1)模型一般以模型还原值与实际值平均相对误差检验模型的模拟精度.本文以模型还原值与实际值平均相对误差最小化为目标函数将GM(1,1)模型转化成一个不用进行灰微分方程参数辨识的优化模型,称之为改进的GM(1,1)模型,简称IGM(1,1)ΛIGM(1,1)避开了灰微分方程参数辨识时的合理选取背景值的问题,实现GM(1,1)模型的直接建模Λ由于IGM(1,1)目标函数非连续,不可导,用传统的优化无法求解,本文针对IGM(1,1)模型的特性设计了求解该优化模型的遗传算法并进行了算例验证,求解结果表明了IGM(1,1)模型的模拟精度远高于GM(1,1)模型Λ关键词:　GM(1,1);改进的GM(1,1)模型IGM(1,1);背景值;遗传算法中图分类号:　N941.5　　　　　　　　文献标识码:　A　　　

DirectModelingImprovedGM(1,1)Model

IGM(1,1)byGeneticAlgorithm

ZHENGZhao2ning,LIUDe2shun

(ModernManagementResearchCenterofTsinghuaUniversity,InstituteofTechno2EconomicsandEnergySystem

AnalysisofTsinghuaUniversity,Beijing100084,China)

Abstract:　GenerallyGM(1,1)modeltakestheaveragerelativeerrorbetweenrestoredvalueofthemodelandrealvalueasthecriteriontoevaluatethesimulationprecision.Inthispaper,GM(1,1)modelwasconvertedtoanoptimizationmodel,whichdoesn’tneedtoidentifytheparametersofgreydifferentialequation,usingtheaveragerelativeerrorbetweenrestoredvalueofthemodelandrealvalueasobjectivefunction.ThemodelwascalledImproveGM(1,1)model,IGM(1,1)forshort.IGM(1,1)avoidstheproblemhowtorationallyselectbackgroundvaluesinparameteridentificationofgreydifferentialequationandrealizethedirectmodelingofGM(1,1).TheobjectfunctionofIGM(1,1)isunabletobegainedbyclassicaloptimizationapproachesduetoitsdiscontinuousnessandnon2differentiability.WedesignageneticalgorithmforIGM(1,1)basedonitscharacteristicsandtestthealgorithmwithanexample.TheresultacquiredshowsthatthesimulationprecisionofIGM(1,1)modelismuchhigherthanthatofGM(1,1)mode.Keywords:　GM(1,1);improvedGM(1,1)modelIGM(1,1);backgroundvalue;geneticalgorithm

1　改进的GM(1,1)模型IGM(1,1)

自从20世纪80年代中期邓聚龙教授提出GM(1,1)模型以来,由于只需少量数据便可建模,得到了

广泛的应用[1].GM(1,1)是建立在灰导数和基础上的灰微分模型,其背景值一般由相邻累加数平均生成.由于相邻累加数之间是空的,用均值

z(k)=0.5x(k)+0.5x(k+1)

(1)

来代表灰微分方程背景值全体:

(2)󰃁(x)=[min{x(k),x(k+1)},max{x(k+1),x(k+1)}]

　　GM(1,1)首先进行灰微分方程参数辨识,然后根据初值求解时间响应式,这就存在一个问题:灰微分

收稿日期:2002203211

100系统工程理论与实践2003年5月

方程参数辨识时以残差平方和最小为评价准则,而判断GM(1,1)模型拟合好坏以时间响应式的累减还原值与实际值平均相对误差最小为准则,二者不是统一的Λ从GM(1,1)模型拟合的评价准则来说,在求解GM(1,1)模型时应实现时间响应式的累减还原值与实际值平均相对误差的最小化Λ

GM(1,1)灰微分方程为:

(0)(1)

(k)+az(1)(k)=b

(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k+1)

(3)(4)(5)

　　采用最小二乘法辨识出发展参数a和灰作用量bΛ根据初值得时间响应式:

(0)δ(1)-ak

x(k+1)=(x(1)-b󰃗a)e+b󰃗a累减还原值为:

δ(0)(k+1)=xδ(1)(k+1)-xδ(1)(k)

　　由于不知相邻累加数之间灰色系统的变化情况,由相邻累加数生成的背景值不见得能很好的代表背景值全体,灰微分方程求解得的时间响应式可能会与实际值有较大的平均相对误差Λ为了改进背景值的选取方法,许多人做了方面的工作[2-4]

本文以时间响应式的累减还原值与实际值平均相对误差最小为准则,将GM(1,1)转化为如下优化模型,避开灰微分方程参数辨识从而避开背景值的选取:

n()()1󰃜xδ0(k)-x0(k)󰃜[a,b]=argmin6(0)

nk=1x(k)

()δ()-ak

s.t.x1(k+1)=(x0(1)+Ε-b󰃗a)e+b󰃗a,k=1,2,3,…,n-1δ(0)δ(1)δ(1)

x(k+1)=x(k+1)-x(k),k=2,3,4,…,nδ(0)δ(0)

x(1)=x(1)+Ε

(6)

δ(0)(k)>0,k=1,2,…,n

　　这里在时间响应式中对初值设置一个小的扰动Ε,以求能得到更好的解Λ这个模型是GM(1,1)模型的改进,我们称其为改进的GM(1,1)模型,简称IGM(1,1)Λ由于IGM(1,1)的目标函数非连续,不可导,难以用传统的非线性优化方法求解Λ本文根据IGM(1,1)的特性设计了求解该模型的遗传算法Λ

2　遗传算法设计

遗传算法是一种模拟生物进化的搜索全局最优解的算法Λ它通过对在可行解域中生成的一组染色休,采用“适者生存”的战略,进行基因复制、选择、交叉、变异等操作,在整个可行解域中搜索全局最优解Λ所以与传统的优化算法比较,遗传算法能较好的求解对于多峰、非凸、非连续、不可导及搜索空间不规则的优化问题[5,6]Λ对于式(6)的GM(1,1)优化模型,本文设计了遗传算法,算法中的函数和算子,本文作了以下处理.

1)染色体的取值范围

本文采用浮点向量表示染色体,染色体由三个变量a,b,Ε组成,在取值范围上󰃜a󰃜<0.5,0许多研究指出GM(1,1)不适于高速发展的数据建模[1,4,8],邓证明了󰃜a󰃜<2[1]Ζ但实践中󰃜a󰃜都是很小的,很难超过0.5,这是因为发展系数反映了原始数据的增长率,从下式可看出[1]:

δ(0)δ(1)δ(1)x(k+1)x(k+1)-x(K)1-=1-δ(0)δ(1)(k)-xδ(1))(k-1)(xx(k)

=1-e

-a(k-

-e-ak-1

(1)

-e-ak-

()2)

=1-e-

=const(7)

　　在󰃜a󰃜<0.5时,增长率在-.87%-39.35%之间,绝大多数数据序列的变化不会超出这个范围,另外,刘思峰等的研究也指出,当󰃜a󰃜>0.5时,gm(1,1)已不适于作为预测模型[8]Ζ

()()

由式(3)知b>0,由式(3)和󰃜a󰃜<0.5知b<0.5x1(n)+0.5x0(n)Ζ󰃜Ε󰃜的存在放松了GM(1,1)严格从初值x(0)(1)出发的条件,以求更好的实现目标函数的最小化[7],本

第5期基于遗传算法的改进的GM(1,1)模型IGM(1,1)直接建模

(0)

101

文控制󰃜Ε󰃜的变动范围在x

2)评价函数的选择

(1)的20%内Ζ

在选择操作上本文采取轮盘赌战略,对式(3)中的目标函数取倒数并进行线性缩放以确定适应度函数Ζ取初始适应度为:

1n(0)δ(8)fi=1󰃜x(k)-x(0)(k),i=1,2,…,pop-size

()0

n6x(k)ik=1这里pop_size为染色体总数Ζ

fi是累减还原值与实际值平均相对误差的倒数,为了增加遗传算法在接近最优解时的寻优能力,对初始适应度fi进行线性缩放得新的适应函数:

fi=Α󰃖fi+Β,　i=1,2,…,pop-size

′

(9)

定义评价函数为:

eval(Vi)=

ipop-size

f′

,i=1,2,…,pop-size(10)

j=1

　　3)交叉算子的选择

采用简单交叉战略,对于选中的染色体X,Y,取r=U(0,1),生成新的染色体:

X′=rX+(1-r)YY′=(1-r)x+rY

这里U(0,1)是在[0,1]区间的均匀分布函数

4)变异算子的选择

(11)

对于选中的染色体X,按以下变异算子进行变异:

(12)X′=U(LB,UB)

LB为染色体X取值的下边界,UB为其取值的上边界,U(LB,UB)是在[LB,UB]区间的均匀分布函数Ζ

3　实例分析

本文采用文献[9]中第88页中的算例进行分析,按式(3),(4)建立的模型为:

δ(1)0.19600671kx(k+1)=17.18492e-14.90492还原值与实际值的平均相对误差为14.311%,具体数据见表1.

采用遗传算法按式(6)建模,控制参数为:群体规模:pop_size=80;交叉概率:Pc=0.6;

变异概率:Pm=0.05;适应度缩放:Α=500,Β=0;迭代次数:H=100Ζ

进化进程见图1,得到的最优解为:

a=-0.234234311609,b=2.1109186787,Ε=-8.1211257780313e-011≌0最优适应度f′.1247opt=36

建立的模型为:

δ(1)0.234234311609k

(14)x(k+1)=11.29041855170702e-9.010418551788227

　　还原值与实际值的平均相对误差为9.197728659755312%,比原模型精度提高了55.6%Ζ具体数据见表1Ζ

(13)

102系统工程理论与实践2003年5月

表1　原建模结果与遗传算法建模结果比较表

实际值

2.2802.983.394.426.868.11.8512.1512.71

文献[9]建模结果模型值

2.283.7214.5275.5076.7008.1509.91512.06214.674

本文建模结果模型值≈2.280≈2.980

3.7674.7606.0177.6059.612

相对误差%

024.87033.53729.8852.3385.66816.3280.72315.452

相对误差%

≈0≈0

11.1077.70712.28511.97418.879

≈12.150

15.356

≈0

20.825

图1　IGM(1,1)遗传算法的进化过程

参考文献:

[1]　邓聚龙.灰色系统理论教程[M].武汉:华中理工大学出版社,1990.

[2]　宋中民,方小娟.可调式灰色GM(1,1)模型[J].烟台大学学报,2000,(4):82-85.[3]　吴强.GM(1,1)预测模型的修正[J].黑龙江商学院学报,1995,(3):61-.

[4]　谭冠军.GM(1,1)模型的背景值构造方法和应用(I)[J].系统工程理论与实践,2000,(4):98-103.[5]　邢文训,谢金星.现代优化计算方法[M].北京:清华大学出版社,1999.140-181.[6]　周明,孙树栋.遗传算法原理及应用[M].北京:国防工业出版社,1999.4-.

[7]　张辉,胡适耕.GM(1,1)模型的边值分析[J].华中科技大学学报,2001,(4):110-111.[8]　刘思峰,郭天榜,党耀国.灰色系统理论及其应用[M].北京:科学出版社,1999.102-155.

[9]　易德生,郭萍.灰色系统理论与方法:提要,题解,程序,应用[M].北京:石油工业出版社,1992.128-162.

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