数学正弦定理试题

1. 在△ABC中, A．

则

B．

= （ ） C．

D．

【答案】C 【解析】因为=5，即

，由正弦定理得：

，所以由余弦定理得：

，解得

=

，故选C.

【考点】本小题主要考查正余弦定理公式的应用，属容易题，熟练正余弦定理是解答好本类题目的关键. 2. 在A．

，内角

所对的边长分别为B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由正弦定理可得：由可得：即：

，又

，故选A

【考点】本题考查正弦定理的应用；两角和正弦公式以及三角形的内角和等于180度。

3. 在锐角中，角所对的边长分别为.若（ ） A．

B． C． D．

【答案】D； 【解析】因为

，所以

，所以

，所以

.

【考点】本题考查正弦定理的运用，考查学生的化归与转化能力.

4. 在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A. (1)求cosA的值， (2)求c的值 【答案】(1)

(2)5

【解析】知道两边和角的关系，可以用正弦定理求角.利用三角形内角和定理求出角C,再次利用正弦定理求边c. ⑴由正弦定理，所以

,因为a=3，b=2，解得

，∠B=2∠A, .

⑵由⑴知，，所以

.

.

.

又因为∠B=2∠A，所以所以在所以

中，

.

，

【考点】本小题考查了正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系式.

5. △ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。 （1）求B；

（2）若b=2，求△ABC面积的最大值。 【答案】（1） （2）

【解析】（1）因为a=bcosC+csinB，所以由正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinB，所以 sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB，即cosBsinC=sinCsinB，因为sinC0，所以，解得B=；

（2）由余弦定理得：仅当

时，取等号，所以

=，所以△ABC面积的最大值为.

【解题思路与技巧】本题第（1）问，已知边角混和式，即a=bcosC+csinB，可以考虑边角互化，同时注意三角形的内角和为，再应用两角和的正弦公式，即可求出结果；对第（2）问，求三角形的面积，必须应用面积公式，最后结合均值不等式，即可求出.

【易错点】对第（1）问,一部分同学们忽视sin(B+C)= sinA这一关键而解答不出来；第（2）问，往往一部分同学考虑不到应用不等式来求出面积的最大值，综合应用能力需要加强.

【考点】本小题主要考查正余弦定理的应用、三角形的面积公式、两角和的正弦定理、已知三角函数值求解、均值不等式等基础知识，考查同学们分析问题、解决问题的能力.三角函数是高考的热点内容之一，高考中一般会出现一个解答题与一至两个小题，主要考查三角函数的图象与性质、三角变换、解三角形等基础知识，难度不大，所以熟练本部分的基础知识是解答好本类题目的关键. 6. 在中，内角、、的对边分别为、、，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2）【解析】（1）即得（2）由余弦定理解得的面积 7. 在

中，内角，

..

的对边分别为

，且

．

，

；

，由正弦定理得

，

，

，

.

，由正弦定理可得

，

，即，解得

，由不等式得：，所以△ABC的面积为

，当且

（1）求角的大小； （2）若，求【答案】（1）【解析】（1）由所以

；（2）

的面积．

及余弦定理或正弦定理可得

(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36．又b＋c＝8，所以bc＝由三角形面积公式S＝bcsinA，得△ABC的面积为

8. 已知△ABC中的内角A,B,C对边分别为a,b,c，（1）若cosA＝

，求a；

．

sin2C+2cos2C+1=3，c=

.

．

（2）若2sinA=sinB，求△ABC的面积． 【答案】(1) 【解析】∵即(1)∵(2)∵∵

由①②解得

，又∵，∴，∴

，∴，∴；（2）

. ，∴，∴.由正弦定理得， ①

. ②

.（13分）

. ，即有，解得

，解得

.（8分）

.5分

9. （本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角B的大小；

（2）若a+c=1，求b的取值范围. 【答案】（1）（2）【解析】（1）

此类求三角形的内角的问题在解法上既可以直接化简求值，也可以运用正余弦定理化边为角，或化角为边，注意角的取值范围. 在三角形ABC中有余弦定理得

用余弦定理和均值不等式是解决该类问题常用的解法，但是不能忽略题设条件下边长b固有的范围.

【考点】本题主要考查解三角形、正余弦定理、基本不等式等基础知识，考查分析问题解决问题的能力.

10. 在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (Ⅰ)若2sin Acos C＝sin B，求的值；

(Ⅱ)若sin(2A＋B)＝3sin B，求【答案】(Ⅰ)1(Ⅱ) － 【解析】解：(Ⅰ)由正弦定理得

的值．

＝. 2分

从而2sin Acos C＝sin B可化为2acos C＝b. 3分 由余弦定理得2a×

＝b.

整理得a＝c，即＝1. 6分

(Ⅱ)在斜三角形ABC中，A＋B＋C＝π，

所以sin(2A＋B)＝3sin B可化为sin[π＋(A－C)]＝3sin[π－(A＋C)]， 即－sin(A－C)＝3sin(A＋C)． 8分

故－sin Acos C＋cos Asin C＝3(sin Acos C＋cos Asin C)． 整理得4sin Acos C＝－2cos Asin C， 10分 因为△ABC是斜三角形，所以cos Acos C≠0， 所以

＝－. 12分