排列组合——小球盒子模型

例1. 5个不同的小球放入3个不同的盒子里面，第1个盒子放1个，第2个和第3个盒子各

放2个，有多少种不同的方法？

解：设5个小球分别为A、B、C、D、E ，三个盒子分别为①、②、③

从5个小球种选出1个放入第1个盒子里有C5种方法，从剩下的4个小球中选出2

个放入第2个盒子里面有种方法，所以共有

11C224种方法，把剩下的2个球放入剩下的1个盒子里，有1

C5C430种方法。

① ② ③

A —— BC —— DE BD —— CE BE —— CD CD —— BE CE —— BD DE —— BC B —— AC —— DE AD —— CE AE —— CD CD —— AE CE —— AD DE —— AC C —— AB —— DE AD —— BE AE —— BD BD —— AE BE —— AD DE —— AB D —— AB —— CE

AC —— BE AE —— BC BC —— AE BE —— AC CE —— AB E —— AB —— CD AC —— BD AD —— BC BC —— AD BD —— AC CD —— AB

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例2. 5个不同的小球放入3个不同的盒子中，若有两个盒子各放2个，1个盒子放1个，有

多少种不同的放法？

解：设5个小球分别为A、B、C、D、E ，三个盒子分别为①、②、③

从3个盒子中选1个盒子放1个球有

C1种方法，从5个球中选择1个放进去有3C15种

方法，从剩下的4个球中选择2个放进剩下的2个盒子中的1个里面有剩下的2个球放进剩下的1个盒子中有1种方法，所以共有11C224种方法，把

CCC90种方法。

放 1个球放2个球 的盒子 的盒子 ① ② ③ —— BC —— DE A —— CE BD —— CD BE —— BE CD —— BD CE —— BC DE —— AC —— DE B —— CE AD —— CD AE —— AE CD —— AD CE —— AC DE —— AB —— DE C —— BE AD —— BD AE —— AE BD —— AD BE —— AB DE —— AB —— CE D —— BE AC —— BC AE —— AE BC —— AC BE —— AB CE —— AB —— CD E —— BD AC —— BC AD —— AD BC —— AC BD —— AB CD 放1个球放2个球 的盒子 的盒子 ② ① ③ —— BC —— DE —— CE —— CD —— BE —— BD —— BC —— AC —— DE —— CE —— CD —— AE —— AD —— AC —— AB —— DE —— BE —— BD —— AE —— AD —— AB —— AB —— CE —— BE —— BC —— AE —— AC —— AB —— AB —— CD —— BD —— BC —— AD —— AC —— AB 第 2 页 共 4 页

354 放1个球放2个球 的盒子 的盒子 ③ ① ② —— BC —— DE —— CE —— CD —— BE —— BD —— BC —— AC —— DE —— CE —— CD —— AE —— AD —— AC —— AB —— DE —— BE —— BD —— AE —— AD —— AB —— AB —— CE —— BE —— BC —— AE —— AC —— AB —— AB —— CD —— BD —— BC —— AD —— AC —— AB A BD BE CD CE DE B AD AE CD CE DE C AD AE BD BE DE D AC AE BC BE CE E AC AD BC BD CD A BD BE CD CE DE B AD AE CD CE DE C AD AE BD BE DE D AC AE BC BE CE E AC AD BC BD CD 例3. 5个不同的小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子至少放1个，有多少种不同的放法？ 解：设5个小球分别为A、B、C、D、E ，三个盒子分别为①、②、③ 分成2类

1,2,2放置

S

3,1,1放置

第1类和例2相同，共有

F

C3C5C490种方法；

C13112第2类，从3个盒子中选1个盒子放3个球有有

种方法，从5个球中选择3个放进去

C3种方法，从剩下的2个球中选择1个放进剩下的2个盒子中的1个里面有513C12种

方法，把剩下的1个球放进剩下的1个盒子中有1种方法，所以共有种方法，所以共有9060150种方法。

C3C5C2601

放3个球放1个球 的盒子 的盒子 ① ② ③ ABC ——— D —— E E —— D ABD ——— C —— E E —— C ABE ——— C —— D D —— E ACD ——— B —— E E —— B ACE ——— B —— D D —— B ADE ——— B —— C C —— B BCD ——— A —— E E —— A BCE ——— A —— D D —— A BDE ——— A —— C C —— A CDE ——— A —— B B —— A 放3个球放1个球 的盒子 的盒子 ② ① ③ ABC ——— D —— E E —— D ABD ——— C —— E E —— C ABE ——— C —— D D —— E ACD ——— B —— E E —— B ACE ——— B —— D D —— B ADE ——— B —— C C —— B BCD ——— A —— E E —— A BCE ——— A —— D D —— A BDE ——— A —— C C —— A CDE ——— A —— B B —— A 放3个球放1个球 的盒子 的盒子 ③ ② ① ABC ——— D —— E E —— D ABD ——— C —— E E —— C ABE ——— C —— D D —— E ACD ——— B —— E E —— B ACE ——— B —— D D —— B ADE ——— B —— C C —— B BCD ——— A —— E E —— A BCE ——— A —— D D —— A BDE ——— A —— C C —— A CDE ——— A —— B B —— A

例4. 5个不同的小球分成3组，有1组有1个球，2组各2个球，有多少种分法？

解：先按例1做，即“5个不同的小球放入3个不同的盒子里面，第1个盒子放1个，第2

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个和第3个盒子各放2个”，共有

C5C430种方法；下面观察例1的列举图发现，

12当盒①中为“A”时，有如下两种分法 ① ② ③ A —— BC —— DE DE —— BC

而对于“分组”来说，这只是一种分法，例1中每一种分法都有1次这样的重复，要减

去重复的可以看成“BC”和“DE”做了一次

A的全排列，通过

22C5C4A2212得到结果。

所以最后有

C5C4A221215种方法。减去例1中的黑体部分得到的分组结果如下：

第1组 第2组 第3组

A —— BC —— DE

BD —— CE

BE —— CD

B —— AC —— DE

AD —— CE

AE —— CD

C —— AB —— DE

AD —— BE

AE —— BD

D —— AB —— CE

AC —— BE

AE —— BC

E —— AB —— CD

AC —— BD

AD —— BC

【总结归纳】例2，例3的总体思路是“先选盒子再放球”，通过例4我们解决了“分堆”

问题，那么例2也可以通过“先分堆再分配”的方法解决。第一步“分堆”有

C5C4A2212种方法；第二步“分配”有

C5C4A2212A390种方法。

3例5. 5个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个，有多少种方法？ 解：“挡板法”是专门用来解决同时满足“小球相同”、“盒子不同”、“每个盒子至少放1个”

3个条件的问题的。具体操作如下：

设三个盒子分别为①、②、③，5个相同的小球如下放置，中间产生4个空，在4个空中选出2个空插入2个“板子”，把小球分成3部分，最左边部分放入盒①，中间部分放入盒②，最右边部分放入盒③。如图所示的放置方法，①、②、③种分别放1个、3

个、1个。所以共有

C246种放法。||

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