浅谈在初中数学教学中学生逆向思维能力的培养

海南华侨中学 王应寿

【摘要】逆向思维是数学思维的一个重要组成部分，是进行思维训练的载体.加强从顺向思维转向逆向思维的培养，能有效地提高学生思维能力和创新意识.本文借此对就在数学教学中如何加强学生数学逆向思维能力的培养方面进行的探讨.

【关键词】逆向思维、运用、能力、培养、训练、教学

【正文】

逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维，是发散思维的一种形式.逆向思维具有反向性、新颖性、批判性、突破性和悖论性等特征.逆向思维在中学数学的内容和数学方法中有十分广泛的应用，教师应注重培养学生的逆向思维能力.正确运用逆向思维，对学好数学是十分有益的.

古代有司马光幼年砸缸破水救小孩的故事,他为什么取得成功,或者说司马光聪明在何处？就在于他思维方法的独特，在没有办法让人离开水的情况下，采用逆向思维，让水离开人，即用石头破缸.许多学生之所以处于低层次的学习水平，有一个重要因素，即逆向思维能力薄弱，定性于顺向学习公式、定理等并加以死板套用，缺乏创造能力、观察能力、分析能力和开拓精神.数学中的逆向思维方式随处可见，无论是概念、定义的学习，公式、法则的运用，还是定理、定律及性质的理解，解题的思维方法等都蕴含逆向思维.因此，教师应充分发掘教材中互逆因素，有机训练和培养学生运用逆向思维来解决问题，提高学生解决和分析问题的能力，培养他们的创新思维.

在数学教学中如何有意识培养学生和训练学生的逆向思维呢？从以下几个方面进行探讨：

一、重视在定义教学中培养学生的逆向思维.

数学定义总是双向的，我们在平时的教学中，习惯于从左到右的运用，形成了定性思维，对于逆用很不习惯.因此在定义的教学中，除了让学生理解定义本身及其应用外，还要善于引导启发学生逆向思考，从而加深对定义的理解与拓展.

例如，线段中点定义：把线段分成两个相等部分的点，叫做线段的中点.它的逆命题叙述为：“若M是线段AB的中点，则M把AB分成两个相等的部分.”

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并用符号表示成： M是AB的中点 AM=BM=1AB. 2 二、重视数学公式、法则、性质的可逆性教学

教学实践表明，学生对公式、法则、性质的逆向运用不习惯，缺乏应有的潜意识，思维定势在顺向应用上，所以在教学中应强调逆向运用.

公式从左到右及从右到左，这样的转换正是由顺向思维转到逆向思维的能力的体现.因此，当讲授完一个公式及其应用后，紧接着举一些公式的逆应用的例子，可以开阔思维空间.在代数中公式的逆向应用比比皆是.如在教学多项式的乘法公式和因式分解时，利用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2和平方差公式(a-b) (a+b)=a2-b2的互逆关系.

116在教学幂的运算法则时，可加强学生对法则的逆用.如：计算-2

2116（-2）（-1）1于此题若顺向思考繁琐复杂，若灵活逆用所学的幂的运算2法则，化难为易，比顺向计算简便多了，而且能减少计算时带来的错误.

又如正比例函数ykx的图象和性质：“当k＞0时，直线经过第一、三象限，从左往右上升，即y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线经过第二、四象限，从左往右下降，即y随着x的增大反而减小.”除进行顺向叙述以外，还应引导学生作反向叙述：“当直线经过第一、三象限，从左往右上升，既y随着

1616x的增大而增大时，k＞0；当直线经过第二、四象限，从左往右下降，既y随着x的增大反而减小时，k＜0.” 由此可见，恰当合理地把公式、法则和性质等知识进行逆用，能巧妙、简捷、准确地解决某些数学问题，同时培养学生灵活解决问题的能力.

三、重视引导学生探讨命题（定理）的逆命题

每个定理都有它的逆命题，但逆命题不一定成立，经过证明后成立即为逆定理.在平面几何中，许多的性质与判定都有逆定理.因此教学时应重视定理和逆定理，强调其可逆性与相互性，对培养学生推理证明的能力很有帮助.例如：“互为余角”的定义教学中，可采用以下形式：∵∠A+∠B=90°,∴∠A、∠B互为余

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角（顺向思维）.∵∠A、∠B互为余角.∴∠A+∠B＝90°（逆向思维）.

当然，在平常的教学中，教师本身应明确哪些定理的逆命题是真命题，才能适时给学生以训练.如：平行线的性质与判定，线段的垂直平分线的性质与判定，平行四边形的性质与判定等，注意它的条件与结论的关系，加深对定理的理解和应用，重视逆定理的教学对开阔学生思维视野，活跃思维大有益处. 四、重视“逆向变式”训练，强化学生的逆向思维.

“逆向变式”即在一定的条件下，将已知和求证进行转化，变成一种与原题目似曾相似的新题型.

例如：已知，如图，在ABC中，AB=AC，Q、P分别为AB、AC边上的两点，且∠ABP=∠ACQ，求证：AP=AQ

命题证明以后，再引导学生将原命题的题设、结论进行交换，构造命题，再判断其真假，学生会很有兴趣地得到以下两个命题：

变式1：如上图，在ABC中，AB=AC，Q、P分别为AB、AC边上的两点，且AP=AQ，求证：∠ABP=∠ACQ

变式2：在ABC中， Q、P分别为AB、AC边上的两点，且AP=AQ，∠ABP=∠ACQ，求证：AB=AC

经常进行有针对性的“逆向变式”训练，对逆向思维的形成起着很大作用. 五、重视引导学生总结、发现数学知识结构上的互逆关系

数学中有很多知识在结构上都具有互逆关系，教学时应引导学生总结，发现彼此间存在的互逆特征，这样既可加深理解所学知识，又能帮助学生疏通整个教材，开拓学生的思维空间.

例如在上一个例题的教学中，引导学生对原命题、变式1及变式2的证明后，再引导学生总结概括以下问题：在ABC中，①AB=AC②AP=AQ③∠ABP=∠ACQ中只要有一任何两个条件成立，第三个也成立.这样做就使得学生对这一数学问题有了深刻的理解和掌握.

再如代数式求值与解方程之间的关系，可以给出这样的训练题： （1） 当x=5时，求代数式4x+1的值. （2） 解方程4x+1=21

这两个问题很简单，却是同一问题的两个互逆的思维形式，它们能使学生发现求代数式的值与解方程之间的互逆关系，也是为讲解自变量的值与函数值的对

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应关系作了准备，若讲解“函数”章时再引出这两个问题，就更能使学生将代数式与解方程这两个问题有机结合起来了.

总之，逆向思维在中学数学教学中具有十分重要的作用.学生运用逆向思维可以加深对基础知识的理解和掌握，可以发现一些解题技巧，可以培养创造能力，同时还能提高分析问题的能力，加强逻辑思维，开拓思维.但是在学习过程中，学生习惯于顺向思维，逆向思维能力显得薄弱，缺乏逆向意识.因此，首先教师应注重挖掘教材中隐含的逆向思维内容进行教学；其次教师应根据学情，引导学生在力所能及的思维境界里，主动地接受逆向思维的训练，同时也可以设计一些习题，逆向练习所学的知识，并与顺向结合起来，才能发挥出它最大的功效，否则可能会使学生产生厌学的情绪. 【参考文献】

（1）海南省数学学会《数学学习》增刊 2006 （2）《中国教育创新老师论坛》人民教育出版社 2004

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