弹性力学简明教程(第四版)-习题解答(DOC)

【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

oh1h2xMqFNFSh/2h/2xgby

q1yh2b图2-17

l

图2-18

【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。

【解答】图2-17：

上（y=0）

0 -1

0

左(x=0) -1 0

右（x=b）

1 0

l

m

fxs fygyh10

gyh10

s

gh1

代入公式（2-15）得

①在主要边界上x=0，x=b上精确满足应力边界条件：

xx0g(yh1),xyx00;xxbg(yh1),xyxb0;

②在小边界y0上，能精确满足下列应力边界条件：

yy0gh,xyy00

③在小边界yh2上，能精确满足下列位移边界条件：

uyh20,vyh02

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1时，可求得固定端约束反力分别为：

Fs0,FNgh1b,M0

精选

由于yh2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

bdxgh1b0yyh2b 0yyh2xdx0bdx00xyyh2⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

l

0 0

m

-1 1

fx(s)

0 -q1

fy(s)

hy

2hy

2q

0

(y)y-h/2q，(yx)y-h/20，(y)yh/20，(yx)yh/2q1

②在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有

h/2()dxFSh/2xyx0h/2h/2(x)x0dxFNh/2()ydxMh/2xx0

③在x=l的小边界上，可应用位移边界条件uxl0,vxl0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：

FFyxq1lFNq1lFN 0,FNFNFNFSM0,FSFSql0FSqlFS

q1lh121ql2MA0,MM'FSl2ql2q1lh0M2MFSl2

由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故

精选

h/2()dyFqlFN1Nh/2xxlq1lhql2h/2MFSl h/2(x)xlydyM22h/2()dyFqlFxyxlSSh/2

【2-10】试应用圣维南原理，列出图2-19所示的两个问题中OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是静力等效？

【解答】由于h?l，OA为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

x(a)上端面OA面上面力fx0,fyq

b由于OA面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有

bbxqbbdxfdxqdx0y0b0yy02bbxbqb2b0yy0xdx0fyxdx0qxdxb212(对OA中点取矩) b0yxy0dx0qobxAhhoFNMxqb2b/2b/2FNAqb2M12yahb,1图2-19yb(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正，主矩为负，则

qbbdxFN0yy02qb2b 0yy0xdxM12bdx00xyy0综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。

【2-14】检验下列应力分量是否是图示问题的解答：

精选

qqaaOqbxqh/2xbqOh/2y

yll?h 图2-20 图2-21

y2（a）图2-20，sx=2q，yxy0。

b【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。

（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且fxfy0

xyxyxy0 0 显然满足 xyyx（2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有

222q等式左=22xy=20=右

bxy应力分量不满足相容方程。

因此，该组应力分量不是图示问题的解答。

MFsS*y，xy(取梁的厚度b=1)，（b）图2-21，由材料力学公式，xIbIx3y3qx222得出所示问题的解答:x2q3，xy-(h4y)。又根据平衡微分3lh4lh3qxyxy3qx方程和边界条件得出：y。试导出上述公式，并检验解2q32lhlh2l答的正确性。

【解答】（1）推导公式

在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，

h3其对中性轴（Z轴）的惯性矩I，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和

12q3qx2剪力方程M(x)x,Fx。

6l2l精选

所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：

Mxx3yxy2q3

Ilh3Fsx4y23qx222xy12.3h4y。

2bhh4lh根据平衡微分方程第二式（体力不计）。

yyxyx0

3qxyxy3.2q3A 得： y2lhlh根据边界条件

yyh/20

qx 2l得 A.3qxyxy3qx故 y.2q3.

2lhlh2l将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：

x2yx2y左6q.36q30右 满足

lhlh第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程（2-23）

22xyxy左22xy12q.312q.30右

lhlhxy应力分量不满足相容方程。

故，该分量组分量不是图示问题的解答。

【2-18】设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F（图2-22），体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力y0，然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这些表达式是否就表示正确的解答。

【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程M(x)Fx，横截面对中性轴

1精选

h/2xOh/2Fy

l的惯性矩为Izh3/12，根据材料力学公式

弯应力xM(x)12Fy3xy； Izh该截面上的剪力为FsxF，剪应力为

Fs(x)S*F6Fh2hh/2y2xyybyy 33bIzh41h/1222取挤压应力y0

（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 12F12F第一式：左2y3y0右

hh第二式：左=0+0=0=右

该应力分量满足平衡微分方程。

（3）将应力分量代入应力表示的相容方程

左2(xy)0右 满足相容方程 （4）考察边界条件

①在主要边界yh/2上，应精确满足应力边界条件(2-15)

l

0 0

m

-1 1

fx

0 0

fy0 0

hy上2 hy上2

代入公式（2-15），得

②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢

y-h/2yh/2yh/2yh/2y0,xy0;y0,yx0主矩

h/2(x)x0dy0x向面力主矢h/2h/2h/2(x)x0ydy0面力主矩2h/26Fhh/22()dy(y)dyFy向面力主矢3h/2xyx0h/2h4

FN满足应力边界条件

FSM精选

③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，FN0,FSF,MFl

其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：

12Flydy0FNh/2h/2h3

h/2h/212F2()ydylydyFlMxxlh/2h/2h3

h/2h/2(x)xldy

6Fh22()dyydyFFSh/2xyxlh/2h34h/2h/2

满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。

第一章 平面问题的直角坐标解答

【3-4】试考察应力函数ay3在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?

【解答】⑴相容条件:

不论系数a取何值，应力函数ay3总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).

⑵求应力分量

当体力不计时，将应力函数代入公式(2-24)，得

yOxhl图3-8x6ay,y0,xyyx0

⑶考察边界条件

上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；

当a>0时，考察x分布情况，注意到xy0，故y向无面力 左端:fx(x)x06ay 0yh fyxy0

x0右端:fxxxl6ay (0yh) fy(xy)xl0

应力分布如图所示，当l?h时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩

精选

OA xfxyfx

主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e：

因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：

(x)AeePPppe20eh/6 bhbh/6同理可知，当a<0时，可以解决偏心压缩问题。

【3-5】取满足相容方程的应力函数为：⑴ax2y,⑵bxy2,⑶cxy3,试求出O应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在小边界上表示出面力的主矢量和主矩。

h/2h/2xyl图3-9(l?h)【解答】（1）由应力函数ax2y，得应力分量表达式

x0,y2ay,xyyx2ax

(lxmyx)sfx(s)考察边界条件，由公式（2-15）

(mylxy)sfy(s)h①主要边界，上边界y上，面力为

2hhfx(y)2ax fy(y)ah

22h②主要边界，下边界y，面力为

2hhfx(y)2ax, fy(y)ah

22③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为 x向主矢：Fxh/2h/2h/2(x)x0dy0 (xy)x0dy0

y向主矢：Fy主矩：Mh/2h/2h/2(x)x0ydy0

yxahxy精选

次要边界，右边界x=l上，面力的主矢，主矩为

Oxah2aly2alx向主矢：Fxy向主矢：Fy主矩：Mh/2h/2h/2h/2h/2(x)xldy0 (xy)xldyh/2h/2h/2(2al)dy2alh

(x)xlydy0

弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，主矩如图所示 ⑵bxy2

将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

x2bx，y0，xyyx2by

考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得

hhh在y主要边界，上边界上，面力为fxybh,fyy0

222在yhhh，下边界上，面力为fxybh,fyy0

222在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得：

在左边界x=0，面力分布为fxx00,fyx02by 面力的主矢、主矩为 x向主矢：Fxh2h2h2h2xx0dy0

y向主矢：Fy主矩；Mh/2xyx0dyh2h22byx0dy0

h/2(x)x0ydy0

在右边界x=l上，面力分布为

fxxl2bl,fyxl2by 面力的主矢、主矩为 x向主矢：Fxh/2h/2h/2h/2xxldyh/2h/2h/22bldy2blh

y向主矢：Fy'主矩：M'h/2xyxldyh/2h/22bydy0

xxlydyh/22blydy0 h/2精选

弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示

ahO2alahxxy（3）cxy3

yxy 将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

x6cxy,y0,xyyx3cy2

考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15）

h①上边界y上，面力为

2h3hfxych2,fyy0

242h② 下边界y=上，面力为

2h3hfxych2,fyy0

242次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得：

③左边界x=0上，面力分布为

fxx00,fyx03cy2面力的主矢、主矩为x向主矢：Fxy向主矢：Fy主矩：Mh/2-h/2h/2h/2h/2xx0dy0

h/2h/2h/2xyx0dych3cydy1423xx0ydy0fxxl6cly,fyxl3cy2

④右边界xl上，面力分布为

面力的主矢、主矩为 x向主矢Fxh/2h/2xxldyyxlh/2h/26clydy0

y向主矢：Fyh/2h/2dyh/2h/2ch3cydy1423

精选

13clh 2弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示 主矩：Mxxlydy6cly2dyh/2h/2h/2h/2

【3-6】试考察应力函数

F3xy(3h24y2)，能满足相容方程，并求出O2h应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。

【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）

44422240，显然满足 x4xyyh/2h/2xyl图3-9(l?h)（2）将代入式（2-24），得应力分量表达式

3F4y212Fxy(12) x,y0,xyyx32hhh（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力：

h①在主要边界上（上下边界）上，应精确满足应力边界条件式（2-15），y，

2应力y0,yx0 yh/2yh/2hhh因此，在主要边界y上，无任何面力，即fxy0,fyy0

222②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：

3F4y2x0:fx0,fy1-2

2hhxl:fx12Flyh33F4y2,fy12

2hh因此，各边界上的面力分布如图所示：

精选

③在x=0，x=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：

x=0上 x=l上

x向主矢：FN1=y向主矢：FS1=主矩：M1=h/2-h/2h/2h/2h/2fxdy0, FN2fydyF, FS2h/2h/2h/2fxdy0fydyFfxydyFlh/2h/2h/2

fxydy0, M2h/2因此，可以画出主要边界上的面力，和次要边界上面力的主矢与主矩，如图：

(a) (b)

因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。

精选

qx2y3yqy2y3y(4331)(23)能满足相容方程，并考【3-7】试证4hh10hh察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l，深度为h，O体力不计）。

【解答】(1)将应力函数代入式（2-25）

h/2h/2xyl图3-9(l?h)412qy24qy4424qy220，， 2233443xyhhyhx代入（2-25），可知应力函数满足相容方程。 （2）将代入公式（2-24），求应力分量表达式:

26qx2y4qy33qyx2fxx33

yhh5h2q4y33yy2fyy(31)

x2hhxyyx26qxh23(y2)

xyh4(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力：

h①在主要边界y（上面），应精确满足应力边界条件（2-15）

2hhfxyyx0,fyyyqyh/2yh/222h在主要边界y下面，也应该满足2152 fxyh/2yx0,fyyh/2y0yh/2yh/2在次要边界x0上，分布面力为fxx0xx03qy4qy33,fyx0xy0x05hh应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

精选

FNFSMh/2h/2h/23qy4qy3fxdy3dy0h/25hhh/2h/2h/2fydy03qy4qy3fxydy3ydy0h/25hhh/2

h/2④在次要边界xl上，分布面力为

fxxlxxl6ql2y4qy33qy33

hh5hfyxlxyxl6qlh23y2

h4应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:

236qly4qy3qyFNfx(xl)dy33dy0h/2h/2hh5h2h/2h/26qlhFsfy(xl)dy3y2dyql

h/2h/2h4h/2h/26ql2y4qy33qy12M'fx(xl)ydy33ydyqlh/2h/2hh5h2h/2h/2综上，可画出主要边界上的面力分布和次要边界上面力的主矢与主矩，如图

qqqloyx12ql2

(a) (b)

因此，此应力函数能解决悬臂梁在上边界受向下均布荷载q的问题。 【3-8】设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q（图3-10），试求应力分量。

【解答】采用半逆法求解。

由材料力学解答假设应力分量的函数形式。 (1)假定应力分量的函数形式。

根据材料力学，弯曲应力y主要与截面的弯矩有关，剪应力

yhobxqg(h?b)图3-10xy主要与截面的剪力有关，而挤压应力x主要与横向荷载有关，本题横向荷载

精选

为零，则x0

(2)推求应力函数的形式

将x0，体力fx0,fyg，代入公式（2-24）有

2x2fxx0

y对y积分，得

fx （a） yyfxf1x （b）

其中fx,f1x都是x的待定函数。 （3）由相容方程求解应力函数。 将（b）式代入相容方程（2-25），得

d4fxd4f1xy0 （c） 44dxdx在区域内应力函数必须满足相容方程，（c）式为y的一次方程，相容方程要求它有无数多个根（全竖柱内的y值都应满足它），可见其系数与自由项都必须为零，即

d4fxd4f1x0,0 dx4dx两个方程要求

fxAx3Bx2Cx,f1xDx3Ex2 （d）

fx中的常数项，f1x中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在的表达式中成为y的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式，得应力函数

yAx3Bx2CxDx3Ex2 （e）

（4）由应力函数求应力分量

2x2fxx0 （f）

y精选

2y2fyy6Axy2By6Dx2Egy (g)

xxy(5)考察边界条件

23Ax22BxC (h)

xy利用边界条件确定待定系数A、B、C、D、E。 主要边界x0上（左）：

xx00,(xy)x00

将（f），（h）代入

xx00，自然满足

(xy)x0C0 （i）

主要边界xb上，

xxb0，自然满足

(xy)xbq，将（h）式代入，得

(xy)xb3Ab22BbCq （j）

在次要边界y0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

b0b0b0(y)y0dx6Dx2Edx3Db22Eb0 （k）

0b0b(y)y0xdx6Dx2Exdx2Db3Eb20 （l）

b0(yx)y0dx3Ax22BxCdxAb3Bb2Cb0 （m）

由式（i），(j)，（k），（l），（m）联立求得

qqA2, B, CDE0

bb代入公式（g），(h)得应力分量

x0, y2qxxq313gy, xx2xy bbbb精选

【3-9】图3-11所示的墙，高度为h，宽度为b，h?b，在两侧面上受到均布剪力q的作用，试应用应力函数

AxyBxy求解应力分量。

3oqb/2b/2xqh【解答】按半逆解法求解。

⑴将应力函数代入相容方程（2-25）显然满足。 ⑵由公式（2-24）求应力分量表达式，体力为零，有

y(h?b)图3-11222x20，y26Bxy，xyyxA3Bx2

yxyx⑶考察边界条件：

在主要边界xb2上，精确满足公式（2-15）

xxb/20,(xy)xb/2q

第一式自然满足，第二式为

3ABb2q (a)

4②在主要边界x=b/2上，精确满足式(2-15)

xxb/20,xyxb/2q

第一式自然满足，第二式为

3ABb2q (b)

4③在次要边界y=0上，可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件:

b/2b/2b/2yy0dx0 满足

xdx0 满足

32b/2yy01dxA3BxdxAbBb0 （c） yxb/2y0b/24b/2b/2联立（a）（c）得系数

q2qA,B2

2b代入应力分量表达式，得

12qqx2x0,y2xy,xy1122

b2b

精选

【3-10】设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，

l?h（图3-12），试用应力函数

AxyBy2Cy3Dxy3求解应力分量。

【解答】采用半逆解法求解

（1）将应力函数代入相容方程（2-25），显然满足

（2）由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)

2B6By6Dxyx0y (a) 2A3Dyyxxy(3)考察边界条件

①主要边界yh/2上，应精确满足应力边界条件

yyh/20， 满足

34②在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件

h/2h/2FN dyF2B6CydyFBNNh/2xx0h/22hh/2h/22M ydyM2B6CyydyMCh/2xx0h/2h3h/2h/2132dyFA3DydyFAhDhFs （c） ssh/2xyx0h/24联立方程（b）（c）得

3F2FAs,D3s

2hhxyyh/20, 得ADh20 （b）

最后一个次要边界xl上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必然满足的，故不必在校核。

将系数A、B、C、D代入公式（a），得应力分量

xFN12My12Fsxyhh3h3 y023FS14y2xy2hh精选

【3-11】设图3-13中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次式的应力函数求解。

【解答】采用半逆解法求解

(1) 检验应力函数是否满足相容方程（2-25）

设应力函数=Ax3Bx2yCxy2Dy3，不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程（2-25）

(2) 由式（2-24）求应力分量

由体力分量fx0,fyg，将应力函数代入公式（2-24）得应力分量：

2x2fxx2Cx6Dy （a）

y2y2fyy6Ax2Bygy （b）

y2xy2Bx2Cy （c）

xy（3）考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数。 ①对于主要边界y0，其应力边界条件为：

(y)y00，

(yx)y00 （d）

将式（d）代入式（b），（c），可得

A0，B=0 （e）

②对于主要边界yxtan（斜面上），应力边界条件：

在斜面上没有面力作用，即fxfy0，该斜面外法线方向余弦为，，得应力边界条件 lsin，mcos.由公式（2-15）

sin(x)yxtancos(yx)yxtan0 （f）

sin(xy)yxtancos(y)yxtan0将式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（f），可解得

gg2Ccot,Dcot （g）

23将式（e）、（g）代入公式（a）、（b）、（c），得应力分量表达式：

精选

xgxcot2gycot2 ygyxygycot【分析】本题题目已经给定应力函数的函数形式，事实上，也可通过量纲分析法确定应力函数的形式。

按量纲分析法确定应力函数的形式：三角形悬臂梁内任何一点的应力与

，x，y和g有关。由于应力分量的量纲是L1MT2，而x,y的量纲是L，g的

量纲是L1MT2，又是量纲—的数量，因此，应力分量的表达式只可能是x和y的纯一项式，即应力分量的表达式只可能是Agx,Bgy这两种项的结合，其中A，B是量纲一的量，只与有关。应力函数又比应力分量的长度量纲高二次，即为

x和y的纯三次式，故可假设应力函数的形式为Ax3Bx2yCxy2Dy3。

【3-12】设图3-5中简支梁只受重力作用，而梁的密度为，试用§3-4中的应力函数（e）求解应力分量，并画出截面上的应力分布图。

【分析】与§3-4节例题相比，本题多了体力分量fx0,fyg。去除了上边界的面力。依据§3-4，应力分量的函数形式是由材料力学解答假设的。

【解答】按半逆解法求解。

x2（1）由§3-4可知应力函数的函数形式为(Ay3By2CyD)2

x(Ey3Fy2Gy)A5B4yyHy3Ky2，由§3-4可知，必然满足相容方106程（2-25）。

（2）应力分量的表达式：

x2x(6Ay2B)x(6Ey2F)2Ay32By26Hy2K （a）

2yAy3By2CyDgy （b） xyx(3Ay22ByC)(3Ey22FyG) （c）

【注】y项多了-gy

精选

这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。因此，如果能够适当选择常数A、B、、（b）、（c）、K，使所有的边界条件都被满足，则应力分量式（a）就是正确的解答。

（3）考虑对称性

因为yz面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样

x和y是x的偶函数，而xy是x的奇函数，于是由式（a）和式（c）可见

EFG0 （d）

（4）考察边界条件：

①在主要边界yh2上，应精确满足应力边界条件（2-15），

(y)yh20,(yx)yh20

将应力分量式（b）、（c）代入，并注意到EFG0，可得：

h3h2hgABCDh084223h2hghABCDh08422 23x(AhhBC)043x(Ah2hBC)04联立此四个方程，得：

2g3,B0,Cg,D0 （e） h22将式（d）、（e）代入式（a）、（b）、（c）

6g4gx2x2y2y36Hy2K （f）

hh2ggy2y3y （g）

h26g3gxy2xy2x （h）

h2②考察次要边界条件

A由于问题的对称性，只需考虑其中的一边，如右边。右边界xl上，fx0，不论y取任何值(h2yh2)，都有x0。由（f）式可见，这是不可能的，除非,H,K均为零。因此，只能用应力x的主矢、主矩为零，即

精选

将（f）式代入式（i）得

h/2h/2h/2h/2(x)xldy0 （i） (x)xlydy0 （j）

h/24g36g2xyy6Hy2Kdy0 22h/2hh积分后得 K=0 （k）

将式（f）代入式（i），得

4g36g2lyy6Hy2Kydy0 22h/2hhh/2积分后得

l21Hg(2) （l）

h10将（k）、（l）代入式（f），得

6g24g3l21x2xy2y6g(2)y （m）

hhh10考察右边界上切应力分量xy的边界条件： 右边界上fyglh，则xy的主矢为

h/2h/2xyxldy6g23gxyh/2h22h/2xdyglhfy xl可知满足应力边界条件。

将式（g），（h），（m）略加整理，得应力分量的最后解答：

6g24g3l21Xh2xyh2y6g(h210)y2g3g (n) yyy2h26g23gxyx2xyh2（5）应力分量及应力分布图

h3h2y2梁截面的宽度取为1个单位，则惯性矩I，静矩是S。

1282根据材料力学截面法可求得截面的内力，可知梁横截面上的弯矩方程和剪力

精选

l2x2方程分别为Mxgh,Fsxghx

2则式（n）可写成：

Mx4y23ygy(2)xIh5gy2 y(142)y2hFsxSxybI【分析】比较弹性力学解答与材料力学解答，可知，只有切应力xy完全相同，正应力x中的第一项与材料力学结果相同，第二项为弹性力学提出的修正项；y表示纵向纤维间的挤压应力，而材料力学假设为零。对于l>>h的浅梁，修正项很小，可忽略不计。

【3-13】图3-14所示的悬臂梁，长度为l，高度为h，l?h，在上边界受均布荷载q，试检验应力函数Ay5Bx2y3Cy3Dx2Ex2y能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。

【解答】用半逆解法求解。 （1）相容条件：

将应力函数代入相容方程式（2-25），得

120Ay24By0

要使满足相容方程，应使

1AB （a）

5（2）求应力分量，代入式（2-24）

x20Ay36Bx2y6Cy20Ay330Ax2y6Cy33 （b） y2By2D2Ey10Ay2D2Ey226Bxy2Ex30Axy2Exxy（3）考察边界条件

①在主要边界yh2上，应精确到满足应力边界条件

(y)yh20,即-103Ah2DEh0 （c） 8精选

103Ah2DEhq （d） 830(yx)yh20,即Axh22Ex0 （e）

4联立式（a）、（c）、（d）、（e），可得：

qq3qqA3,D,E,B3 （f）

5h44hh ②在次要边界x0上，主矢和主矩都为零，应用圣维南原理，写出三个积

(y)yh2q,即分的应力边界条件：

h/2h/2h/2(x)x0dy0 满足条件

h/23Ah53h/2(x)x0ydyh/2(20Ay6Cy)ydy02Ch0 （g）

h/2h/2(xy)x0dy0 满足

将A的值带入（g），得

q

（h） 10h

将各系数代入应力分量表达式（b），得

C=

yy23x2xqh(4h256h2)qyy3y(1343)

2hh3qxy2(142)xy2hh【3-14】矩形截面的柱体受到顶部的集中力2F和力矩M的作用（图3-15），不计体力，试用应力函数

Ay2BxyCxy3Dy3求解其应力分量。

【解答】采用半逆解法求解。 (1) 相容条件：

将应力函数代入相容方程(2-25)，显然满足。 (2) 求应力分量：将代入（2-24）

2A6Cxy6Dyx0y （a） 2B3Cyxy精选

(3) 考察边界条件。

①在主要边界yb/2上，应精确满足应力边界条件 yyb/20 满足

34②在次要边界x=0上，可用圣维南原理，写出三个积分应力边界条件

xyyb/2q,BCb2q （b）

b/2b/2b/2b/2(x)x0dyF (2Ay3Dy2)F （c）

123()ydyMAy2DyM （d） b/2xx02b/2b/2b/2b/2xyb/2xodyF ByCy3b/2b/2F （e）

联立（b）、（c）、（d）、（e）式得

A13F2FF2MCq，Bq，， （f） D2bb2b2bb3将各系数据（f）代入式（a），得应力分量解答

F12F12Mqxyyx23bbbb y01q3F6qFy2xy2bb2b【分析】本题题目中原教材给出的坐标轴有误，无法计算。x，y坐标互换后可以计算，但计算结果与题目提示解答几乎完全不同，又将y轴调为水平向左为正方向，才得到提示结果。可见，在求解问题时，坐标轴的方向及原点的位置与解答关系密切，坐标轴不同可得到完全不同的结果。

【3-15】挡水墙的密度为1，厚度为b(图3-16)，水的密度为2，试求应力分量。

【解答】（1）假设应力分量的函数形式。因为在yb/2边界上，y0；yb/2边界上，y2gx，所以可以假设在区域内y为

yxfy

精选

（2）推求应力函数的形式。由y推求的形式

2y2xfyx x2fyf1y x2x3fyxf1yf2y

6（3）由相容方程求应力函数。将代入40，得

d4f1d4f2x3d4fd2fx42x20 6dy4dydy4dy要使上式在任意的x处都成立，必须

d4f320f(y)AyByCyD;4dyd4f1d2fA5B420f(y)yyGy3Hy2Iy; 142dydy106d4f2320f(y)EyFy2dy4代入即得应力函数的解答，其中已经略去了与应力无关的一次项，得应力函数

x3Ay5By432Gy3Hy2Iy)(Ey3Fy2) 为：(AyByCyD)x(6106（4）由应力函数求应力分量，将代入公式（2-24），注意体力

fx1g,fy0，求得应力分量表达式

2Bx2fxxx3Ayx2Ay32By26Cy2Hy3 6Ey2F1gx2y2fyyxAy3By2CyDx2x22B3Axy3Ay22ByCy4y3Gy22HyIxy232

（5）考察边界条件

在主要边界yb/2上，应精确满足应力边界条件

精选

yyb/2yyb/2b3b2b2gxxABCD2gx428b3b2b0 xABCD0842b4x23b2b33b20 ABbCABGmHbI0

xyyb/22432124由上式得到

A3b24BbC0 b432Bb312G3b2A4mHbI0 求解各系数，得 A231b32g,B0,C2b2g,D22g,H0

Ib3b2162g4G 在次要边界x0上，列出三个积分的应力边界条件

b/2b/2xx0dy0  F0b/2b/2

xx0ydy0  E0b/2bb2b/2xyx0dy0  I802g4G 由式(a)、(b)解出

Ib8012g,G10b2g 将各系数代入应力分量的表达式，得

22g332g42g3x3xyxy3xyb5bb1gx2y33y1y2gxb32b2 2y33y23y3bxy2gxb24b2gyb310b80y

精选

(a) (b)