已知累积函数

第一章

2t之形式。若在時點0投資 $100，累積至時點3時之a(t)1. 已知累積函數 為

值為172。試求在時點5投資 $100，於時點10所累積之值？

2. 假定A(t)1005t，試求 (a) i5 (b) i10

tA(t)100(1.1)3. 假定，試求 (a) i5 (b) i10

4. 若A(4)1000，且in0.01n，試求A(7)。

5. (a)試問 $500於2.5年內累積 $615之單利率為何？

(b)若按單利率7.8%，$500欲累積至 $615時，須經若干年？

6. $1000按某單利率在某段投資期間累積到 $1110。試求 $500按前述單利率之3/4倍在前述投資期間之兩倍期間內所累積之值。

7. 設基金之投資單率為利 i4%。在那一個投資時期中，此將等值於實利率2.5%？

8. 已知 $600投資2年可得利息 $264。試求 $2000按相同複利率投資3年之累積值。

9. 已知投資 $500，於30年末將增加至 $4000。試求分別於20年，40年，60年末各支付 $10000之現值之和。

10. 年虛利率為6%，每季結息一次，求投資 $100於2年末之累積值。

11. 試求在3年期間之均等實利率，使其與第一年，第二年與第三年之實利率分別為8%，7%與6%等效。

12. 若 (t)0.01t，0t2試求在此區間中之等效年實利率。

2(t)0.04(1t)13. 若 ，試求投資 $1，於19年末之累積值。

3(t)0.01t14. 若在時間t時之息力為，試求a(3)。

15. 基金X係按息力(t)0.01t0.1所累積者，基金Y則按年實利率i所累積者。於每個基金中各投資$1，期間20年。於20年末基金X之累積值等於基金Y之累積值。試求基金Y於1.5年末之累積值。

16. 投資基金兩年，其累積函數a(t)為二次多項式。第一年之實利率為6%，第二年之實利率為10%，試求(0.5)

第二章

1. 某君為能償清於4年末支付 $2000及於10年末支付 $5000之債款，同意現在立即償付 $3000，並於3年末再支付一次款項。設i(4)0.06，試求3年末所支付款項為何？

2. (a) 假設按某種利率計息使得下面兩種付款方式所得現值相等，試求利率:

(i) 於5年末支付 $200，並於10年末支付 $500

(ii) 於5年末支付 $400.94

(b) 若使用(a)中相同之利率現在投資 $100，再於5年末投資 $120，則於10年末支累積值為P，試求P

3. 試問須經多久時間，投資 $1000，實利率6%所得累積值成為投資 $1000，實利率4%所得累積值的兩倍？

4. 設分別於n年末及2n年末支付款項各 $100之現值為 $100。

若i=0.08，試求n。

5. 基金A係按利率12%，每月結息一次所累積者，而基金B則以息力(t)t/6累積者。在時間t=0時兩基金中都存入等額款項。試求兩基金再度相等之時間。

6. 現在投資 $1000，設每半年結息一次，於15年末支累積值為 $3000，試求虛利率。

7. 現在支付款 $300，於一年末支付 $200，又於二年末支付 $100設於2年末支累積值為 $700。試求證確實利率之表示式。

8. 假設投資$1000，於10年末支累積值為$1825。若第一年中之單利率為i，第二年中之單利率為2i，…，第十年中之單利率為10i。試求i。

9. 設有一筆款項，於10年內變成2倍，其變動息力(t)kt。試求k之表示式。

10. 設2年期之定存單，按年實利率9%計息。購買者對於早提款之懲罰金有兩種選擇預付方式如下:

A-利率降為7%

B-損失3個月利息

為幫購買者決定其選擇，吾人可求在A案下之所得額與在B案下之所得額之比值。如果定存單於下面日期解約時 :

(a)在6個月末 (b)在18個月末。

11. 某信用合作社於每年末按實利率6%對存款計息。每3年末按在該時之存款餘額支付2%之紅利。試求投資者於下面各情況下所獲得年實利率:

(a) 存款2年 (b) 存款3年 (c) 存款4年

12. 某製造商出售其產品給零售商。零售商可有兩種選擇;一為立即支付低於零售價格30%；另一為6個月內支付低於零售價格25%。試求年實利率使用兩種選擇對零售商而言並無不同。

13. 假設某投資額，按常數息力δ計息，於8年內變成2倍，試問相同投資額，按數值相等於之虛利率計息，每3年計息一次，須經若干年方可變成3倍？

14. 基金A係按實利率6%計息累積，基金B係按實利率8%計息累積。於20年末兩基金之總和為$2000。而於10年末基金A之款額為基金B之ㄧ半。試問於5年末兩種基

金之總和若干？

15. 某投資者存入銀行$1,000,000。第一年內按年實利率i計息，第二年內按年實利率i-0.05計息。於2年末存款餘額為$1,209,375。設每年按實利率i+0.09計息時試問於3年末之存款餘額若干？

第三章

1. 某一家庭擬於20年末累積 $50000之大學教育基金。假定該家庭於前10年中，每年末存款 $1000；而於後10年中，每年末存款 $(1000+X)。若年實利率為7%。試求X。

2. 某新型汽車之現金價格為 $10000。購車者願以下面方式還款:年利率為18%，每月末支付款 $250，支付4年。試求分期付款的頭期款應為若干？

3. 設每6個月月初支付款額 $200，從現在起繼續支付4年，然後每6個月月初支付款額 $100，繼續支付6年。若時，試求現值

4. 某工人現年40歲，擬累積一筆退休金，每年初存款 $1000，繼續存款25年。於65歲之初，該工人計畫每年初要提款若干？但前25年之年實利率為8%，其後各年中之年實利率為7%。

5. 兩種年金X與Y提供如下付款方式:

年末 年金X 年金Y

1-10 1 K

11-20 2 0

21-30 1 K

10(1i)2，X與Y之現值相等，試求K 假定年實利率為i使得

6. 設某年金，每6個月月初支付$2000，繼續支付5年。若首次支付款於現在，利率為9%，每半年結息一次。試求現值

7. 貸款$1000擬以每年末支付年金額$100之年金方式償還，第五年末開始支付首次年金額，年金時期儘可能的長。若i=4.5%，且最後一次支付償還額大於正規支付之償還款時，試求年金時期即最後一次支付款額。

8. 某年金，每年末支付 $4，繼續支付36年。另一年金，每年末支付 $5，繼續支付18年。若實利率為i，兩種年金之現值相等。如果某款額以相同利率i投資，將於n年中變成2倍時，試求n

9. 每年初支付$500，繼續支付20年，年實利率8%所累積之基金，若從某年末開始自基金中提款，一旦開始提款，就必須繼續提款至第20年末。試求可提款之最大次數。

10. 某貸款人有如下兩種選擇還債方式：

11. (i)每個月末支付 $100，共支付60個月。

12. (ii)第K個月之末一次支付 $6000

13. 若年虛利率為12%，每個結息一次，且兩種選擇都有相同現值。試求K

14. 設每半年末支付年金額，於5年末累積基金$17000。前5次中，每次支付年金額 $1000，第2個5次支付款中，每次支付年金額 $2000，設每半年結息一次，試求基金所獲得之虛利率

15. 一施主留下 $10000人壽保險給付。若施主將這筆錢用於購買10年期普通年金，每年支付額為 $1538。若購買20年期普通年金時，則每年支付額為$1072兩種年金之計算皆按實利率i計算。試求i

16. (a)設普通年金，每半年末支付年金額$1，年金時期5年。每半年結息一次，且前3年中之年利率為8%，後2年中之年利率為7%，試求年金現值

17. (b) 設普通年金，每半年末支付年金額$1，年金時期5年。每半年結息一次，且前3年支付額按貼現率8%貼現，後2年支付額按貼現率7%貼現，試求年金現值

18. 設某普通年金，前10年中每半年支付 $200，後10年中每半年支付 $100之現值為 $4000。又另一10年期延期普通年金，每半年支付 $250，繼續支付10年之現值為 $2500，試問前10年中每半年支付 $200，後10年中每半年支付 $300之普通年金現值為何

19. 某存款人將 $10000存入銀行10年，年實利率為4%，若於前5.5年內提款，須負擔提款金額的5%懲罰金。設若存款人於第4，5，6及7年末各提款$K，則於10年末銀行存款餘額為$10000，試求K