2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷 (350)

一、单选题

1. 如图，四面体

，若四面体

中，和都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为

的顶点都在球上，则球的表面积为（ ）

A．B．C．

，

，

D．

，则下列结论中错误的是

2. 已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果

（ ）

A．C．

是平面ABCD的法向量

B．D．

，则

的定义域是（ ）

3. 已知函数

A．B．C．D．

4. 粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年

来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为

，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（ ）

(参考数据：)

A．

5. 已知复数

B．

（其中为虚数单位），则

（ ）

C．D．

A．C．

B．D．

6. “”是“”的（ ）

A．充分不必要条件C．充分必要条件

7. 已知是虚数单位，则复数

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限

8. 若函数

B．第二象限

的图象向右平移

C．第三象限

个单位长度后，与函数

D．第四象限

的图象重合，则的值为

A．B．C．D．

9. 药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低一半所需要的时间，在特定剂量范围内，药物的半衰期

数，不同药物的消除速度常数一般不同，若内药物在血液中浓度由某药物半衰期为

，首次服用后血药浓度为（ ）

，当血药浓度衰减到

降低到

，其中是药物的消除速度常

．已知

，则该药物的消除速度常数

时需要再次给药，则第二次给药与首次给药时间间隔约为

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A．

10. 在平面直角坐标系中，角

2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷B．C．

的终边经过点

，则

（ ）

D．

A．B．C．D．

11. 下列各图都是正方体的表面展开图，将其还原成正方体后，所得正方体完全一致（数码相对位置相同）的是

A．（Ⅰ）和（Ⅳ）B．（Ⅰ）和（Ⅲ）C．（Ⅱ）和（Ⅲ）D．（Ⅱ）和（Ⅳ）

12. 历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—325年)，大约100年后，阿波罗尼奥斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且

他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线：线经过

，被抛物线反射后，又射到抛物线上的点，则点的坐标为（ ）

，一束平行于抛物线对称轴的光

A．B．C．D．

13. 一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是，则三角形的另一边长为(　　)

A．52

B．

C．16D．4

14. 蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活

动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A．B．C．D，满足任意两点间的直线距离为6cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为为（ ）【参考数据】

，

，

，

．

，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约

A．101g

15. 已知双曲线

四边形

B．182g

的左､右焦点分别是

的周长与面积满足

C．519g

，双曲线上有两点

满足

D．731g

，且

，若

，则双曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．

16. 若关于x的方程

在区间

内有解，则实数a的取值范围是

A．

二、多选题

B．C．D．

17. 已知P是椭圆：

上的动点，过直线与椭圆交于

两点，则（ ）

A．的焦距为C．的离心率为

B．当为D．若

中点时，直线

，则

的斜率为的面积为1

18. 已知函数

，若，其中

，则（ ）

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A．C．

19. 在边长为2的正方体

是（ ）

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B．

D．

中，动点

满足

的取值范围为

，且，下列说法正确的

A．当B．当C．当D．当

时，

时，异面直线，且时，

与

的最小值为所成角的余弦值为的轨迹长度为

所成角的正弦值的最大值为

时，则与平面

20. 已知圆锥曲线，则下列说法可能正确的有（ ）

A．圆锥曲线的离心率为B．圆锥曲线的离心率为C．圆锥曲线的离心率为D．圆锥曲线的离心率为

21. 下列说法正确的有（ ）

A．设直线系：B．设直线系：C．如果圆：D．过点作圆

22. 已知双曲线

，则存在一个圆与中所有直线相交

，则存在一个圆与中所有直线相切与圆：有四条公切线，则实数的取值范围是

的切线，切点为、，若直线

的方程为

，则

的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且

，则下列说法正确的是（ ）

A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为C．

的周长为30

△

D．点在椭圆

上

23. 已知函数

为奇函数，的图象关于直线对称，若

，则（ ）

A．函数B．函数C．函数D．函数

为奇函数的最大值是图象关于直线的最小值为

对称

24. 已知定义在上的函数

，其导函数分别为，若

，则（ ）

，

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A．C．

三、填空题

是奇函数

B．D．

是周期函数

25. 某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率

均为0.7，两人都答对的概率为0.5，则甲答对的前提下乙也答对的概率是________．（用分数表示）

26. 正方形

的边长是

和平面

分别是和的中点，将正方形沿

折成直二面角 (如图所示).

的距离为______.

为矩形内一点，如果

所成角的正切值为，那么点到直线

27. 已知函数

，则

________.

四、解答题

28. 化简

，并求函数的值域和最小正周期．

29. ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行

对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%.

(1)在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求

的分布列和数学期望；

(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，

（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；

（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.

30. 在长方体(1)在

(2)当存在点，使

中，

，为什么？

，．

边上是否存在点，使得

时，求的最小值，并求出此时二面角的正弦值．

31. 如图，平行六面体

问：

的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两

(1)若

，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；

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(2)当

的值为多少时，能使

平面

？

32. 已知(1)求的大小；(2)若

的内角的对边分别为，且，

，求的面积．

33. （1）求值：

（2）已知

五、解答题

；

，求

的值.

34. 2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾， 5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒

塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的

50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成

作出如下频率分布直方图（图1）：

，，，，五组，并

（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；

（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机

抽出2户进行捐款援助，求抽出的2户居民损失均超过8000元的概率；

（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，

在图2表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？

经济损失不超过

4000元

捐款超过500元捐款不超过500

元

合计

附：临界值参考公式：

经济损失超过4000

元

合计

30

6

，

.

0.152.072

0.102.706

0.053.841

0.0255.024

0.0106.635

0.0057.879

0.00110.828

35. 某小型学院对所有入学新生进行了数学摸底考试，如果学生得分在35分以下，则不能进入正常数学班学习，必须进补习班补习，10名进

入正常数学班的学生的摸底考试成绩和学期末考试成绩如下：

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摸底成绩期末成绩

并计算得：（1）画出散点图；

5053

3551

4056

5568

8087

6071

6546

3531

9079

5068

（2）建立一个回归方程，用摸底考试成绩来预测期末考试成绩(精确到0.1)；

（3）如果期末考试60分是某课程结业的最低标准，预测摸底考试成绩低于多少分学生将不能获得某课程结业．

(附：)

36. 为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如

下：

甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5

(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；

(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；

(3)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为，求的分布列及均值

．

37. 某生产企业对其所生产的甲、乙两种产品进行质量检测，分别各抽查10件产品，检测其重量的误差，测得数据如下（单位：mg）：

甲：13 15 14 14 9 14 21 9 10 11乙：10 14 9 1 15 21 23 19 22 16

（1）画出样本数据的茎叶图，并指出甲，乙两种商品重量误差的中位数；（2）计算甲种商品重量误差的样本方差；（3）根据茎叶图分析甲、乙两种产品的质量．

38. 甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩清况，采用分层抽样

方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：

分组频数分组频数

乙校:

231015

1531

分组频数

1298

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分组频数(1)计算

10

的值；

103

(2)若规定考试成绩在(3)由以上统计数据填写下面

甲校

优秀非优秀总计

乙校

内为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；列联表，并判断是否有

的把握认为两个学校的数学成绩有差异.

总计

附： ； .

39. 如图，在三棱锥

直，且平面

平面

中，和

均是边长为4的等边三角形.是棱上的点，

，过的平面与直线垂

.

(1)在图中画出，写出画法并说明理由；(2)若直线

六、解答题

与平面所成角的大小为，求过及点的平面与平面

所成的锐二面角的余弦值.

40. 如图所示的几何体中，

是菱形，，平面，，

.

（1）求证：（2）求三棱锥

平面；的体积.

41. 已知函数(1)若函数(2)若

在，求证：

，

..

上单调递增，求a的取值范围；

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42. 如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．

（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面PAD.

43. 如图，在四棱柱

中，侧面为正方形，侧面，侧面，且，．

（1）求证：平面（2）求二面角

平面；

的余弦值．

44. 如图，在三棱柱中

，以

，平面平面，四边形是矩形，四边形是平行四边形，且，，

为直径的圆经过点.

(1)求证：(2)求平面

平面与平面

；

的夹角的余弦值.

45. 在钝角

（1）证明：（2）若延长

中，三个内角为A，B，C，满足是等腰三角形；至D点，使得

，且

，求证：

．

为定值．

七、解答题

46. 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响

药材品质，基地收益如下表所示：

下周一下周二收益

无雨无雨

无雨有雨

有雨无雨

有雨有雨

20万元15万元10万元7.5万元

若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元，有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．

(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．

47. 大米根据颗粒、质地、色泽、香味等评分指标打分，得分在区间

、、、内分别评定为四级大米、

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三级大米、二级大米、一级大米．某经销商从农民手中收购一批大米，共据的频率分布直方图如图所示：

袋（每袋

），并随机抽取

袋分别进行检测评级，得分数

(1)求的值，并用样本估计，该经销商采购的这批大米中，一级大米和二级大米的总量能否达到采购总量一半以上；(2)该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：

方案1：将采购的方案2：将采购的

袋大米不经检测，统一按每袋

元直接售出；

），检测分级所需费用和人工费共

元，各等级大米

袋大米逐袋检测分级，并将每袋大米重新包装成包（每包

每包的售价和包装材料成本如下表所示：

大米等级售价（元/包）包装材料成本（元/

包）

四级三级二级一级

该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？通过计算说明理由．

48. 甲､乙两人进行对抗比赛，每场比赛均能分出胜负.已知本次比赛的主办方提供8000元奖金并规定：①若有人先赢4场，则先赢4场者获得

全部奖金同时比赛终止；②若无人先赢4场且比赛意外终止，则甲､乙便按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.已知每场比赛甲赢的概率为

，乙赢的概率为

，且每场比赛相互独立.

（1）设每场比赛甲赢的概率为，若比赛进行了5场，主办方决定颁发奖金，求甲获得奖金的分布列；

（2）规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，我们可以认为该事件不可能发生，否则认为该事件有可能发生.若本次比赛

，且在已进行的3场比赛中甲赢2场､乙赢1场，请判断：比赛继续进行乙赢得全部奖金是否有可能发生，并说明理由.

49. 2022年中国新能源汽车销售继续蝉联全球第一，以生产充电电池起家的比亚迪在2002年才进入汽车行业，2022年2月已成为全球唯一一家

同时掌握电池、电机、电控芯片、整车制造等全产业链核心技术的新能源汽车厂商，成为新能源汽车（纯电动和插电式混动）的销量冠军，在中国新能源汽车的总销量中占比约为.2022年4月3日，比亚迪宣布停止纯燃油汽车的整车生产，成了全球首家“断油”的企业，为了解中国新能源车的销售情况，随机调查10000辆新能源汽车的销售价格，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)求的值，并求出中国新能源车的销售价格的平均数、众数、中位数；

(2)若从新能源车中随机的抽出3辆，设这3辆新能源车中比亚迪汽车的数量为，求的分布列与数学期望，并解释此期望值的含义.

50. 2020年11月2日湖南省衡阳市衡南县清竹村，由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的晚稻品种“叁优一号”亩产为911.7公斤.在此之前，同一

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基地种植的早稻品种亩产为619.06公斤.这意味着双季亩产达到1530.76公斤，实现了“1500公斤高产攻关”的目标.在水稻育种中，水稻的不同性状对水稻的产量有不同的影响.某育种科研团队测量了株高(单位：cm)和穗长的数据，如下表(单位：株)：

长穗

高秆低秆总计

短穗总计

341044

164056

5050100

(1)根据表中数据判断，能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系？

(2)在采样的稻田里随机抽取3株测量每穗总粒数，把抽取的低杆长穗株数记为X，求X的分布列和数学期望(把频率当成概率计算).

参考公式：

，其中

.

0.10

k

2.706

0.053.841

0.0255.024

0.0106.635

0.0057.879

0.00110.828

51. 无土栽培由于具有许多优点，在果蔬种植行业得到大力推广，无土栽培的类型主要有水培､岩棉培和基质培三大类.某农科院为了研究某

种草苺最适合的无土栽培方式，种植了400株这种草苺进行试验，其中水培､岩棉培､基质培的株数分别为200，100，100.草苺成熟后，按照栽培方式用分层抽样的方法抽取了40株作为样本，统计其单株产量，数据如下：

方式株数

单株产量（）

水培

岩棉培基质培

x541

(1)求x，y，z的值；

432y

3z20

(2)若从这40株草苺中随机抽取2株，求这2株中恰有1株的单株产量不小于150的概率；

(3)以这40株草莓的不同单株产量的频率代替每一株草莓的产量为对应数值的概率，若从这400株草莓中随机抽取3株，用X表示单株产量在

内的株数，求X的分布列和数学期望.

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