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四川省成都市双流县棠湖中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷

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四川省成都市双流县棠湖中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共l0个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知全集∪=R．集合A={x|x＜3}，B={x|log2x＜0}，则A∩B=（） A． {x|1＜x＜3} B． {x|x＜1} C． {x|x＜4} D．{x|0＜x＜1}

2．（5分）已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（） A． +i

3．（5分）向量（） A．

B．

C．

D．

，且∥，则锐角α的余弦值为

B． ﹣i

C． ﹣+i

D．﹣﹣i

4．（5分）若随机变量ξ的分布列如右： ξ 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 那么E（5ξ+4）等于（） A． 15 B． 11 C． 2.2 D．2.3 5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n 6．（5分）将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（） A． 10 B． 20 C． 30 D．40

7．（5分）为了得到函数f（x）=2sin（2x﹣点（） A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

）的图象，只要将y=2sinx的图象上所有的

D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

8．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图，则四棱锥P﹣ABCD的全面积为（）

A． B． C． 5 D．4 9．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）

A． 7 B． 9 C． 10 D．11 10．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）

=则当x∈[﹣4，﹣2）时，函数f（x）≥﹣t+恒成立，

则实数t的取值范围为（） A． 2≤t≤3 B． 1≤t≤3 C． 1≤t≤4

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

D．2≤t≤4

11．（5分）已知函数，则f[f（﹣4）]=．

12．（5分）在区间[﹣1，2]上随机取一个实数x，则事件“1≤2≤2”发生的概率为． 13．（5分）若某一离散型随机变量ξ的概率分布如下表，且E（ξ）=1.5，则a﹣b的值为． ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1

14．（5分）已知（3﹣）展开式的第4项为常数项，则n=．

15．（5分）f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法： ①

不可能是k型函数；

②若函数③若函数

是1型函数，则n﹣m的最大值为

是3型函数，则m=﹣4，n=0；

；

④设函数f（x）=x+2x+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为．

其中正确的说法为．（填入所有正确说法的序号）

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（12分）甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：（1）两人都击中目标的概率；

（2）两人中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率．

17．（12分）已知函数f（x）=2cosx+2

sinxcosx+

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，

18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；

（Ⅱ）求二面角E﹣BC1﹣D的余弦值．

]时，求f（x）的最大值和最小值．

19．（12分）已知等比数列{an}中，an+1＞an，且满足a2+a4=20，a3=8 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=

log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn．

20．（13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．

（Ⅰ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；（Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；（Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．

21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+（Ⅰ）当a≤时，讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设g（x）=x﹣2bx+4．当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．

﹣1（a∈R）．

四川省成都市双流县棠湖中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共l0个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知全集∪=R．集合A={x|x＜3}，B={x|log2x＜0}，则A∩B=（） A． {x|1＜x＜3} B． {x|x＜1} C． {x|x＜4} D．{x|0＜x＜1}

考点：交集及其运算．

分析：求出B中欧其他不等式的解集确定出B，再由A求出两集合的交集即可．解答：解：由B中的不等式变形得：log2x＜log21，得到0＜x＜1，即B={x|0＜x＜1}， ∵A={x|x＜3}，

∴A∩B={x|0＜x＜1}．故选D．

点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（） A． +i

B． ﹣i

C． ﹣+i

D．﹣﹣i

考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．

分析：把等式z（1+i）=1两边同时乘以z后可得z的共轭复数．

解答：解：由z（1+i）=1，得∴=

．

，然后利用复数的除法运算化简复数z，求出

，

故选：A．

点评：本题考查了复数的除法运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．

3．（5分）向量（） A．

B．

C．

D．

，且∥，则锐角α的余弦值为

考点：同角三角函数间的基本关系；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．

分析：根据平行向量满足的条件列出关系式，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值即可．

解答：解：∵=（，tanα），=（cosα，1），∥， ∴cosαtanα=sinα=， ∵α为锐角， ∴cosα=

．

故选D

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及平行向量与共线向量，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 4．（5分）若随机变量ξ的分布列如右： ξ 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 那么E（5ξ+4）等于（） A． 15 B． 11 C． 2.2 D．2.3

考点：离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．

分析：由已知条件求出Eξ=2.2，再由E（5ξ+4）=5E（ξ）+4，能求出结果．解答：解：由已知，得： Eξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，

∴E（5ξ+4）=5E（ξ）+4=5×2.2+4=15．故选：A．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题． 5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：由已知条件，利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，能求出结果．解答：解：若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误； ∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，

又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；

若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β或α与β相交，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误．故选：B．

点评：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养． 6．（5分）将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（） A． 10 B． 20 C． 30 D．40

考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．

分析：根据题意，将5个人分到2个宿舍，可先将5人分为2组，一组3人，另一组2人，再将2组对应2个宿舍，由排列、组合公式，可得每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．

解答：解：根据题意，将5个人分到2个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，

先将5人分为2组，一组3人，另一组2人，有C5=10种情况，

再将2组对应2个宿舍，有A2=2种情况，则互不相同的安排方法的种数为10×2=20；故选B．

点评：本题考查排列、组合的应用，注意理解“每个宿舍至少安排2名学生”的意义，分析得到可能的分组情况．

7．（5分）为了得到函数f（x）=2sin（2x﹣点（） A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移

个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

）的图象，只要将y=2sinx的图象上所有的

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．

分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．

解答：解：将y=2sinx的图象上所有的点向右平移f（x）=2sin（x﹣

）；

个单位长度，得到的函数解析式为：

再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的函数解析式为：f（x）=2sin（2x﹣

）；

故选：A．

点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题． 8．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图，则四棱锥P﹣ABCD的全面积为（）

A．

B．

C． 5

D．4

考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．

分析：三视图复原的几何体是四棱锥，判断底面形状，四棱锥的特征，利用三视图的数据，求出全面积即可．

解答：解：三视图复原的几何体是四棱锥，底面是边长为1的正方形，四棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，

所以四棱锥的全面积为：S=1×1+2×+2×=3+．

故选A．

点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，三视图的全面积的求法，考查计算能力． 9．（5分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）

A． 7 B． 9

考点：程序框图．

专题：算法和程序框图．

C． 10 D．11

分析：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．

的值，

解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg

=lg

＜﹣1，

∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．

故选：B．

点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 10．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）

=则当x∈[﹣4，﹣2）时，函数f（x）≥﹣t+恒成立，

则实数t的取值范围为（） A． 2≤t≤3 B． 1≤t≤3

考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．

C． 1≤t≤4 D．2≤t≤4

分析：根据条件，只要求出函数f（x）在x∈[﹣4，﹣2）上的最小值即可得到结论．解答：解答：解：当x∈[0，1）时，f（x）=x﹣x∈[﹣，0]当x∈[1，2）时，f（x）=﹣（0.5）

|x﹣1.5|

∈[﹣1，]，

∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为﹣1，又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为﹣，当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为﹣，若x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）≥∴

﹣t+恒成立，

≥﹣t+恒成立．

即t﹣4t+3≤0，即（t﹣3）（t﹣1）≤0，即1≤t≤3，即t∈[1，3]，故选：B．

点评：点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，一元二次不等式的解法，难度较大．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．（5分）已知函数，则f[f（﹣4）]=4．

考点：函数的值．

专题：函数的性质及应用．

分析：根据分段函数的表达式，直接代入求解即可．

解答：解：由分段函数可知f（﹣4）=，

则f（16）=，

即f[f（﹣4）]=f（16）=4，故答案为：4

点评：本题主要考查函数值的计算，利用分段函数直接代入即可计算，比较基础．

12．（5分）在区间[﹣1，2]上随机取一个实数x，则事件“1≤2≤2”发生的概率为．

考点：几何概型．

专题：计算题；概率与统计．

分析：由1≤2≤2得：0≤x≤1，根据在区间[﹣1，2]上随机取实数x，每个数被取到的可能性相等，利用数集的长度比计算概率．

解答：解：由1≤2≤2得：0≤x≤1，

∵在区间[﹣1，2]上随机取实数x，每个数被取到的可能性相等， ∴事件“1≤2≤2”发生的概率为，故答案为．

点评：本题考查了几何概型的概率计算，事件的发生与数集的长度有关，故可利用数集的长度比计算． 13．（5分）若某一离散型随机变量ξ的概率分布如下表，且E（ξ）=1.5，则a﹣b的值为0． ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1

考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．

分析：利用离散型随机变量的概率分布列的性质求解．

解答：解：由已知得：，

解得a=b=0.4， ∴a﹣b=0．故答案为：0．

点评：本题考查概率之差的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质的应用，是基础题，解题时要认真审题，在历年2015届高考中都是必考题型之一．

14．（5分）已知（3

﹣

）展开式的第4项为常数项，则n=5．

考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．

分析：根据（3﹣）展开式的通项公式，即可求出n的值．

解答：解：∵（3﹣）展开式的第4项为常数项，

∴T4=令

•=0，

•=﹣•3

n﹣3

•，

解得n=5．故答案为：5．

点评：本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础题目． 15．（5分）f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法： ①

不可能是k型函数；

②若函数③若函数

是1型函数，则n﹣m的最大值为

是3型函数，则m=﹣4，n=0；

；

④设函数f（x）=x+2x+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为．

其中正确的说法为②③．（填入所有正确说法的序号）

考点：函数的值域．

专题：新定义；函数的性质及应用．

分析：根据题目中的新定义，结合函数与方程的知识，逐一判定命题①②③④是否正确，从而确定正确的答案．

解答：解：对于①，f（x）的定义域是{x|x≠0}，且f（2）=3﹣=1，f（4）=3﹣=2， ∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是型函数，∴①错误；

对于②，y=x+1=0，

∴方程的两根之差x1﹣x2=

（a≠0）是1型函数，即（a+a）x﹣1=ax，∴ax﹣（a+a）

222222

=≤，即n﹣m的最大值为

，∴②正确；

对于③，y=﹣x+x是3型函数，即﹣x+x=3x，解得x=0，或x=﹣4，∴m=﹣4，n=0，∴③正确；

对于④，f（x）=x+2x+x（x≤0）是k型函数，则x+2x+x=kx有二不等负实数根，即x+2x+（1﹣k）=0有二不等负实数根，∴误；

综上，正确的命题是②③．故答案为：②③．

，解得0＜k＜1，∴④错

点评：本题考查了在新定义下函数的定义域、值域问题以及解方程的问题，是易错题．

（2）两人中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率．

考点：相互事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．

分析：记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，（1）根据P（AB）=P（A）P（B），计算求得结果．

（2）所求概率为P2=P（A ）+P（ B）=P（A）P（）+P（）P（B），计算求得结果．（3）先求出“两人都未击中目标”的概率是 P（），则1﹣P（），即为所求．

解答：解：记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“两人都击中目标”是事件AB；“恰有1人击中目标”是A 或 B； “至少有1人击中目标”是AB，或A，或 B．

（1）显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互． ∴P（AB）=P（A）P（B）=0.8×0.8=0.．

（2）“两人各射击一次，恰有一次击中目标”包括两种情况：

一种是甲击中，乙未击中（即A），另一种是甲未击中，乙击中（即B）．

根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A 与B是互斥的，所以所求概率为P2=P（A ）+P（ B）=P（A）P（）+P（）P（B） =0.8×（1﹣0.8）+（1﹣0.8）×0.8=0.16+0.16=0.32．

（3）“两人都未击中目标”的概率是 P（）=0.2×0.2=0.04， ∴至少有一人击中目标的概率为P3=1﹣P（）=1﹣0.04=0.96．点评：本题主要考查相互事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于中档题．

17．（12分）已知函数f（x）=2cosx+2

sinxcosx+

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，

]时，求f（x）的最大值和最小值．

考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+由周期公式即可求T，由2k间．（2）由0

，可得

≤2x+≤2x+

≤≤2k

）+，

，k∈Z即可解得f（x）的单调递增区

）≤1，即可求得f

，从而有﹣≤sin（2x+

（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=2sin（2x+∴T=∴由2k

=π，

≤2x+

≤2k

）+，

，k∈Z即可解得：k

，kπ

≤x≤kπ，k∈Z．

∴f（x）的单调递增区间是：[k（2）∵0∴

≤2x+

≤

，，）≤1，

]，k∈Z…（6分）

∴﹣≤sin（2x+

∴f（x）的最大值为，最小值为．…（12分）

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．

18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；

（Ⅱ）求二面角E﹣BC1﹣D的余弦值．

考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间角；空间向量及应用．

分析：（Ⅰ）利用直线和平面平行的判定定理，只需要证明EF∥BD，即可证明EF∥平

面BDC1；

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的大小．解答：解：（Ⅰ）证明：取AB的中点M， ∵AF=AB．

∴F为AM的中点，又∵E为AA1的中点，

∴EF∥A1M，

在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为A1B1、AA1的中点， ∴A1D∥BM，且A1D=BM，

则四边形A1DBM为平行四边形， ∴A1M∥BD， ∴EF∥BD，

又∵BD⊂平面BC1D，EF⊄平面BC1D， ∴EF∥平面BC1D．

（Ⅱ）连接DM，分别以MB，MC，MD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，

则B（1，0，0），E（﹣1，0，1），D（0，0，2），C1（0，∴

=（﹣1，0，2），

=（﹣2，0，1），

=（﹣1，

），）．

设面BC1D的一个法向量为

，

，面BC1E的一个法向量为

则由，

得，取，

又由，

得，取，

则，

故二面角E﹣BC1﹣D的余弦值为

．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及求二面角的大小，要求熟练掌握相应的判定定理．建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．

19．（12分）已知等比数列{an}中，an+1＞an，且满足a2+a4=20，a3=8 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=

log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn．

考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求

出．

log2an=

，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和．

（Ⅱ）由bn=

解答：解：（Ⅰ）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q＞1）由已知条件，得：∴

．…（6分）

log2an=

，①

，②

，

（Ⅱ）∵bn=∴Sn=

①﹣②，得：

=1﹣（n+2）•∴

，

．…（12分）

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意错位相减法的合理运用． 20．（13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．

石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．

考点：离散型随机变量及其分布列；茎叶图；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．

分析：（I）由茎叶图可知：有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，据此利用古典概型的概率计算公式即可得出；

（II）由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标．据此可得得出其概率；

（III）由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标，利用“超几何分布”即可得出．解答：解：（Ⅰ）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，因为有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，

故P（A）==．

（Ⅱ）记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，P（B）=

．

（Ⅲ）ξ的可能值为0，1，2，3．

由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标． P（ξ=0）=

，P（ξ=1）=

，

P（ξ=2）=

ξ的分布列如下表： ξ 0 1 P

，P（ξ=3）=．

∴Eξ=．

点评：正确理解茎叶图和“空气质量超标”的含义、古典概型的概率计算公式、超几何分布、排列与组合的意义与计算公式是解题的关键．

21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+（Ⅰ）当a≤时，讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设g（x）=x﹣2bx+4．当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．

考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．

分析：（Ⅰ）直接利用函数与导数的关系，求出函数的导数，再讨论函数的单调性；（Ⅱ）利用导数求出f（x）的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g（x）在闭区间[1，2]上的最小值，然后解不等式求参数．

﹣1（a∈R）．

解答：解：（Ⅰ），

令h（x）=ax﹣x+1﹣a（x＞0）

（1）当a=0时，h（x）=﹣x+1（x＞0），当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．（2）当a≠0时，由f′（x）=0，即ax﹣x+1﹣a=0，解得当当减；

时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．

当a＜0时

，当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

．

时x1=x2，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）单调递减；

时，

，x∈（0，1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递

当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增；当

时x1=x2，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；

当

单调递减．（Ⅱ）当（0，2），有

时，函数f（x）在（0，1）单调递减，单调递增，

时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x1∈

，

，x2∈[1，2]，（※）

又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以

又g（x）=（x﹣b）+4﹣b，x∈[1，2]

当b＜1时，g（x）min=g（1）=5﹣2b＞0与（※）矛盾；

当b∈[1，2]时，g（x）min=g（b）=4﹣b≥0也与（※）矛盾；当b＞2时，

综上，实数b的取值范围是

．

点评：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．

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