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四川省成都市双流县棠湖中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷

来源：画鸵萌宠网

四川省成都市双流县棠湖中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共l0个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合

A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C． [1，+∞） 2．（5分）下列各图形中，是函数的图象的是（）

，则A∩B=（） D．（1，3]

A．

3．（5分）函数 A．（﹣1，+∞） ∪（1，+∞）

B． C． D．

的定义域是（）

B． [﹣1，+∞）

C．（﹣1，1）∪（1，+∞）

D． [﹣1，1）

4．（5分）已知函数f（x）= A． ﹣3

B． ﹣1

．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（） C． 1

D．3

5．（5分）已知命题p：∃x∈R，x+2＞2，命题q：∀x∈R，x＞0，则（）

A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧（￢q）是真命题 C．命题p∧q是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题

6．（5分）已知α：x≥a，β：x﹣2x﹣3≤0，若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（） A． [0，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C． [﹣1，+∞） D．（1，3]

7．（5分）设 A． a＞b＞c

，b=0.3，c=log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（） B． a＜b＜c

0.5

C． b＜a＜c D．a＜c＜b

8．（5分）已知函数f（x）=x+mx+lnx是单调递增函数，则m的取值范围是（）

A． m＞﹣2 B． m≥﹣2 C． m＜2 D．m≤2

9．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），当﹣1＜x≤1时，f（x）=x，若函数g（x）=f（x）﹣loga|x|至少有5个零点，则a的取值范围是（） A．（1，5） D． [，1]∪（1，5]

10．（5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）﹣f（y）=f（

）；当x∈（﹣1，0）时f

B．（0，）∪[5，+∞） C．

（0，]∪[5，+∞）

（x）＞0．若P=f（）+f（），Q=f（），R=f（0）；则P，Q，R的大小关系为（）

D．Q＜P＜R

A． P＜Q＜R B． R＜Q＜P C． R＜P＜Q

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=．

12．（5分）计算（lg﹣lg25）•4

13．（5分）设f（x）=

，则f（x）＜1的解集是． =．

14．（5分）若函数y=a+2a﹣1（a＞0，且a≠1）在[﹣1，1]上的最大值是14，则a=． 15．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当x1，x2∈[0，1]且x1＜x2时，（x2﹣x1）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则有 ①2是函数f（x）的周期；

②函数f（x）无最大值，有最小值是0；

③函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数； ④函数的对称轴x=k，k∈Z．其中所有正确命题的序号是．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（12分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600

2xx

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（1）求z的值

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．从这5辆车中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率． 17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈[

，

]时，求f（x）的最大值和最小值．

18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且

，PH为△PAD中AD边上的高．

（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；（Ⅱ）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．

19．（13分）正项等比数列{an}中，a3=9，a5=81 （1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足：bn=an+lnan，求数列{bn}的前n项和Sn． 20．（13分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数 M＞0，都有|f（x）|≤M 成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=x+2ax+2．

（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0]上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0]上是否为有界函数，并说明理由；

（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

21．（13分）已知函数f（x）=x+，h（x）=

．

（Ⅰ）若函数h（x）=图象上一点A（4，h（4）），则求在A点处的切线方程；

（Ⅱ）设函数F（x）=18f（x）﹣x[h（x）]，求F（x）的单调区间与极值；（Ⅲ）设a∈R，解关于x的方程lg[f（x﹣1）﹣]=2lgh（a﹣x）﹣2lgh（4﹣x）．

四川省成都市双流县棠湖中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共l0个小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合

A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C． [1，+∞）

考点：交集及其运算．专题：计算题．

分析：由题意求出集合B，然后直接求出集合A∩B即可．

，则A∩B=（） D．（1，3]

解答：解：因为集合={x|x≤3}，

又集合A={x|x＞1}，

所以A∩B={x|x＞1}∩{x|x≤3}={x|1＜x≤3}，故选D．

点评：本题考查集合的基本运算，函数的定义域的求法，考查计算能力． 2．（5分）下列各图形中，是函数的图象的是（）

A． B． C． D．

考点：函数的图象．

专题：函数的性质及应用．

分析：函数是特殊的映射，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应，函数y=f（x）的图象也是，由此逐一分析四个图象，可得答案．

解答：解：函数y=f（x）中，对每一个x值，只能有唯一的y与之对应， ∴函数y=f（x）的图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点故A，B，C均不正确故选D

点评：深刻理解函数的概念是解决问题的关键，并不是任意一个图都可以作为函数图象的．这一点要特别注意

3．（5分）函数的定义域是（）

A．（﹣1，+∞） B． [﹣1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D． [﹣1，1）∪（1，+∞）

考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．

分析：依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．

解答：解：要使函数有意义需解得x＞﹣1且x≠1． ∴函数

，

的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．

故选C．

点评：本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．

4．（5分）已知函数f（x）= A． ﹣3 B． ﹣1

考点：指数函数综合题．专题：计算题．

．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（） C． 1

D．3

分析：由分段函数f（x）=，我们易求出f（1）的值，进而将式子f（a）+f

（1）=0转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程

即可得到实数a的值．解答：解：∵f（x）=

∴f（1）=2

若f（a）+f（1）=0 ∴f（a）=﹣2 x

∵2＞0 ∴x+1=﹣2 解得x=﹣3 故选A

点评：本题考查的知识点是分段函数的函数值，及指数函数的综合应用，其中根据分段函数及指数函数的性质，构造关于a的方程是解答本题的关键．

5．（5分）已知命题p：∃x∈R，x+2＞2，命题q：∀x∈R，x＞0，则（） A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧（￢q）是真命题 C．命题p∧q是真命题 D．命题p∨（￢q）是假命题

考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．

分析：先判断出两个命题的真假，再由复合命题的真假判断规则进行判断即可得出正确选项．

解答：解：对于命题p：∃x∈R，x+2＞2，当x=0时，此命题成立，故是真命题，

命题q：∀x∈R，x＞0，当x=0，0=0，故命题q是假命题，

由此知命题p∨￢q是真命题，命题p∧￢q是真命题，命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，故选：B．

点评：本题考查复合命题的真假判断规则，熟练掌握真假的判断规则是解答的关键．

6．（5分）已知α：x≥a，β：x﹣2x﹣3≤0，若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（） A． [0，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C． [﹣1，+∞） D．（1，3]

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．

分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式进行判断即可．

解答：解：由x﹣2x﹣3≤0得﹣1≤x≤3，即β：﹣1≤x≤3， ∵α是β的必要不充分条件， ∴a≤﹣1，故选：B

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．

7．（5分）设

，b=0.3，c=log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）

C． b＜a＜c

D．a＜c＜b

0.5

A． a＞b＞c B． a＜b＜c

考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．

分析： a，b的比较可由幂函数y=x来判断，易知两数都小于1，c的判断可由对数函数y=log0.3x在（0，+∞）上为减函数，得到c大于1，从而得到三个数的大小．

0.5

解答：解：∵幂函数y=x来判断，在（0，+∞）上为增函数， ∴1＞

＞0.3＞0

0.5

∴0＜b＜a＜1

又∵对数函数y=log0.3x在（0，+∞）上为减函数 ∴log0.30.2＞log0.30.3＞1 ∴c＞a＞b 故选C．

点评：本题主要考查比较数的大小，一般来讲，幂的形式用幂函数或指数函数的单调性来比较，对数形式用对数函数来解决，在此过程中往往用到与0或1这两个桥梁．

8．（5分）已知函数f（x）=x+mx+lnx是单调递增函数，则m的取值范围是（）

A． m＞﹣2 B． m≥﹣2 C． m＜2 D．m≤2

考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．

分析：先求出导函数，然后将函数f（x）=x+mx+lnx是单调递增函数，转化成f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，然后将m分离出来，利用基本不等式求出另一侧的最值，即可求出所求．

解答：解：∵f（x）=x+mx+lnx ∴f′（x）=2x+m+

∵函数f（x）=x+mx+lnx是单调递增函数， ∴f′（x）=2x+m+≥0在（0，+∞）上恒成立即﹣m≤2x+在（0，+∞）上恒成立而x∈（0，+∞）时2x+≥2

∴﹣m≤2即m≥﹣ 故选B．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题，同时考查了转化的数学思想，属于中档题． 9．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x），当﹣1＜x≤1时，f（x）=x，若函数g（x）=f（x）﹣loga|x|至少有5个零点，则a的取值范围是（） A．（1，5） D． [，1]∪（1，5]

考点：函数零点的判定定理．

专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．

分析：函数g（x）=f（x）﹣loga|x|至少有5个零点可化为函数f（x）与函数y=loga|x|的图象至少有5个交点，从而从而作图求解．

解答：解：作函数f（x）与函数y=loga|x|的图象如下，

B．（0，）∪[5，+∞） C．（0，]∪[5，+∞）

则或；

解得，a≥5或0＜a＜；

故选B．

点评：本题考查了函数的零点与函数图象的应用，同时考查了作图与用图的能力，属于基础题．

10．（5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）﹣f（y）=f（

）；当x∈（﹣1，0）时f

（x）＞0．若P=f（）+f（），Q=f（），R=f（0）；则P，Q，R的大小关系为（）

A． P＜Q＜R B． R＜Q＜P C． R＜P＜Q D．Q＜P＜R

考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．

分析：根据抽象函数得到函数的单调性即可得到结论．解答：解：令x=y=0，则f（0）﹣f（0）=f（0），解得f（0）=0，令x=0，则﹣f（y）=f（﹣y），即函数f（x）是奇函数，

当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞0，故当x∈（0，1）时，f（x）＜0，令0＜y＜x＜1，

则0＜x﹣y＜1，0＜1﹣xy＜1，且x﹣1+xy=（x﹣1）（y+1）＜0， ∴x﹣y＜1﹣xy，

故0＜）＜1，则f（）＜0，

则f（x）﹣f（y）＜0，f（x）＜f（y），则f（x）在（0，1）上单调递减，于是P=f（）+f（∵0＜

＜，

）=f（）﹣f（﹣

）=f（），

由于f（0）＞f（）＞f（），

∴R＞P＞Q，

故选：D

点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据抽象函数，结合函数的性质判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．

考点：复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．

分析：由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．

解答：解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，

故答案为：﹣1+i．

点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．

12．（5分）计算（lg﹣lg25）•4

=﹣4．

考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．

分析：利用对数和指数的性质和运算法则求解．

解答：解：（lg﹣lg25）•4=（lg

）•2

=﹣2×2 =﹣4．

故答案为：﹣4．

点评：本题考查对数和指数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意运算法则的合理运用．

13．（5分）设f（x）=

，则f（x）＜1的解集是（﹣∞，0）∪（0，10）．

考点：其他不等式的解法．

专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析：讨论当x＞0时，f（x）＜1时，即为lgx＜1，当x≤0时，f（x）＜1即为10＜1，由指数函数和对数函数的单调性即可得到解集．

解答：解：当x＞0时，f（x）＜1时，即为lgx＜1，解得0＜x＜10．则有0＜x＜10；

当x≤0时，f（x）＜1即为10＜1，解得x＜0，则有x＜0．则解集为（﹣∞，0）∪（0，10）．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，10）．

点评：本题考查分段函数的运用，考查指数函数和对数函数的单调性的运用：解不等式，考查运算能力，属于基础题和易错题．

14．（5分）若函数y=a+2a﹣1（a＞0，且a≠1）在[﹣1，1]上的最大值是14，则a=或3．

考点：函数的最值及其几何意义；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：分类讨论；换元法．

分析：由题意令t=a，则原函数变成关于t的二次函数，分a＞0和0＜a＜1两种情况，分别求出t的范围，根据在区间上的单调性求出函数有最大值时对应的t值，进而求出a的值，注意验证范围．

x22

解答：解：令t=a，则y=t+2t﹣1=（t+1）﹣2，

2xx

当a＞1时，∵x∈[﹣1，1]，则t∈[，a]， ∴函数在[，a]上是增函数，

∴当t=a时，函数取到最大值14=a+2a﹣1，解得a=3或﹣5，故a=3，

当0＜a＜1时，∵x∈[﹣1，1]，则t∈[a，]， ∴函数在[a，]上是增函数，

∴当t=时，函数取到最大值14=•+2﹣1，解得=3或﹣5，故=3，即a=．综上，a的值是3或．故答案为：3或．

点评：本题的考点是函数的最值问题，考查了用换元法将原函数转变为二次函数，注意求出换元后变量的范围，本题是对底数进行分类后，根据指数函数的性质求出变量范围，再根据二次函数在区间上的单调性求有关最值问题． 15．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当x1，x2∈[0，1]且x1＜x2时，（x2﹣x1）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则有 ①2是函数f（x）的周期；

②函数f（x）无最大值，有最小值是0；

③函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数； ④函数的对称轴x=k，k∈Z．

其中所有正确命题的序号是①④．

考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．

分析：根据偶函数则图象关于y轴对称；对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），则周期为2；当x1，x2∈[0，1]且x1＜x2时，（x2﹣x1）[f（x1）﹣f（x2）]＞0说明函数是减函数．然后据此对每个结论逐一判断即可．

解答：解：对于①，因为对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），所以f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[（x+1）﹣1]=f（x），故该函数的周期为2，所以①正确；

对于②，结合①该函数的周期为2，然后结合函数为偶函数，所以只需判断[﹣1，1]上的最值即可，因为当x1，x2∈[0，1]且x1＜x2时，（x2﹣x1）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以该函数在[0，1]上递减，且在[﹣1，0]上递增，故该函数在[﹣1，1]内的最大值为f（0），故②错误；

对于③，结合②的分析可知，函数f（x）在[0，1]上递减，且在[﹣1，0]上递增，由周期为2，所以f（x）在（1，2）上递增，在（2，3）上递减，故③错误；

对于④，因为f（x）是偶函数，所以关于x=0对称，由f（x+1）=f（x﹣1），结合f（﹣x）=f（x），所以f（x+1）=f（1﹣x），所以x=1是对称轴，再结合周期为2，所以x=2k，x=2k+1，k∈Z为对称轴，即x=k，k∈Z为对称轴，所以④正确．故答案为①④

点评：本题考查了函数奇偶性、周期性、单调性等基础知识及其综合应用，属于中档题．

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（1）求z的值

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．从这5辆车中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．

分析：（1）由题意可得 =，解得z的值．

（2）这5辆车中，求得舒适型的有 2辆，标准型的有3辆．求得所有的取法有10种，至少有1辆舒适型轿车的取法有7种，由此求得至少有1辆舒适型轿车的概率．解答：解：（1）由题意可得（2）这5辆车中，舒适型的有 5×从这5辆车中任取2辆，所有的取法有 •

=7种，

．

=2辆，标准型的有 5×

，解得z=400．

=3辆．

=10种，至少有1辆舒适型轿车的取法有

∴至少有1辆舒适型轿车的概率为

点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．

17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈[

，

cos2x+1．

]时，求f（x）的最大值和最小值．

考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=2sin（2x﹣+1，由周期公式即可得T．（2）由x∈[

，

]，可得2x﹣

∈[

，

）

]，从而求得f（x）的范围，即得f（x）的

最大值是3，最小值是2．解答：解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣=2sin（2x﹣

）+1

=π；

cos2x+1．

∴由周期公式可得：T=（2）∵x∈[∴2x﹣

∈[

，，

]， ]，

∴f（x）=2sin（2x﹣）+1∈[2，3]，

故f（x）的最大值是3，最小值是2．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查． 18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且

，PH为△PAD中AD边上的高．

（Ⅰ）证明：PH⊥平面ABCD；（Ⅱ）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．

考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．

分析：（Ⅰ）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，由此能够证明PH⊥平面ABCD．

（Ⅱ）连接BH，取BH中点G，连接EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能够求出三棱锥E﹣BCF的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面PAD， ∴PH⊥AB，

∵PH为△PAD中AD边上的高， ∴PH⊥AD，

又∵AB∩AD=A， ∴PH⊥平面ABCD．

（Ⅱ）解：如图，连接BH，取BH中点G，连接EG， ∵E是PB的中点， ∴EG∥PH，

∵PH⊥平面ABCD， ∴EG⊥平面ABCD，

则EG=PH=，

∴VE﹣BCF=S△BCF•EG=••FC•AD•EG=

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题．

19．（13分）正项等比数列{an}中，a3=9，a5=81 （1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足：bn=an+lnan，求数列{bn}的前n项和Sn．

考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．

分析：（1）由已知条件利用正项等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此

能求出an=3．

n﹣1n﹣1n﹣1

（2）由bn=an+lnan=3+ln3=3+（n﹣1）ln3，利用分组求和法能求出数列{bn}的前n项和Sn．解答：解：（1）∵正项等比数列{an}中，a3=9，a5=81，

n﹣1

∴

，解得a1=1，q=3，

∴an=3．

n﹣1n﹣1n﹣1

（2）∵bn=an+lnan=3+ln3=3+（n﹣1）ln3，

2n﹣1

∴Sn=1+3+3+…+3+[1+2+3+…+（n﹣1）]ln3 =

n﹣1

=．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意分组求和法的合理运用． 20．（13分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数 M＞0，都有|f（x）|≤M 成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=x+2ax+2．

（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0]上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0]上是否为有界函数，并说明理由；

（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．

专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析：（1）把a=﹣1代入函数解析式，利用配方法求其值域，根据函数|f（x）|在（﹣∞，0]上无最大值说明函数f（x）在（﹣∞，0]上不是有界函数；

（2）把函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数转化为﹣3≤x+2ax+2≤3，分离参数a后分别利用基本不等式和函数的单调性求得最值后得答案．

解答：解：（1）当a=﹣1时，f（x）=x﹣2x+2=（x﹣1）+1， ∵x∈（﹣∞，0]，函数为定义域内的减函数，f（x）min=f（0）=2． ∴函数f（x）在（﹣∞，0]上的值域为：[2，+∞），

∵|f（x）|没有最大值，∴函数f（x）在（﹣∞，0]上不是有界函数；（2）当x∈[1，4]时，f（x）是以3为上界的有界函数，

即|f（x）|=|x+2ax+2|在[1，4]上的最大值为3．

也就是﹣3≤x+2ax+2≤3，即则

当x∈[1，4]时，

．

对任意x∈[1，4]恒成立．

（当且仅当x=时等号成立）；

当x∈[1，4]时，∴实数a的取值范围是

为减函数，最小值为

．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了二次函数的性质，考查了分离变量法，训练了利用基本不等式和函数的单调性求函数的最值，是中档题．

21．（13分）已知函数f（x）=x+，h（x）=

．

（Ⅰ）若函数h（x）=图象上一点A（4，h（4）），则求在A点处的切线方程；

（Ⅱ）设函数F（x）=18f（x）﹣x[h（x）]，求F（x）的单调区间与极值；（Ⅲ）设a∈R，解关于x的方程lg[f（x﹣1）﹣]=2lgh（a﹣x）﹣2lgh（4﹣x）．

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．

分析：（Ⅰ）求得h（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线方程；

（Ⅱ）首先求出F（x）的解析式，求导，令导数大于0和小于0，分别求出单调增区间和减区间，从而可求极值．

（Ⅲ）将方程转化为lg（x﹣1）+2lg=2lg，利用对数的运算法则，注意到真数

大于0，转化为等价的不等式，分离参数a，求解即可．解答：解：（Ⅰ）函数h（x）=

的导数为h′（x）=

，

在A点处的切线斜率为k=，切点为（4，2），即有在A点处的切线方程为y﹣2=（x﹣4），

即为x﹣4y+4=0；

223

（Ⅱ）F（x）=18f（x）﹣x[h（x）]=﹣x+12x+9（x≥0），

即有F′（x）=﹣3x+12，

令F′（x）=0，得x=2（x=﹣2舍去）．

当x∈（0，2）时．F′（x）＞0；当x∈（2，+∞）时，F′（x）＜0，

故当x∈[0，2）时，F（x）为增函数；当x∈[2，+∞）时，F（x）为减函数． x=2为F（x）的极大值点，且F（2）=﹣8+24+9=25．（Ⅲ）原方程变形为lg（x﹣1）+2lg

=2lg

，

⇔⇔，

①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3﹣②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3

；；

③当a=5时，原方程有一解x=3； ④当a≤1或a＞5时，原方程无解．

点评：本小题主要考查函数导数的应用、解方程等基础知识，考查函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．

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