哈工大高等结构动力学第三次课

○

弹簧的等效质量

在图示中，设弹簧k具有质量，其单位长度的质量为，那么弹簧的质量对系统的振动有多大影响呢？下面就来讨论这个问题。

图示弹簧等效质量系统示意图

设质量m的位移用xt表示，弹簧的长度为L，那么距左端为的质量为d的微单元的位移则可假设为/Lxt，设为常数。

§2.3有阻尼单自由度体系自由振动

则系统的动能和势能可分别表示为211L22txtdTmx220L1122(t)x(t)2mx223L1L2(t)(m)x233L012Vkx(t)2LTVLagrange函数dLdtqkL0(k1,2qkn)根据Lagrange方程

§2.3有阻尼单自由度体系自由振动

可得

此处meff(t)kx(t)0meffxL称为等效质量。m3可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到

nkmL3上式表明弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的等效

/Lx(t)规律变形质量，当然，前提是假设弹簧按

的。如果假设其他类型的变形模式，影响效果则有可能不同。

§2.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动简谐激励:激励力函数表示成三角函数的形式

F(t)F0sintcxkxF0sintmx2nxnx2F0xsintm……(1)

1.运动方程的解

x(t)x1(t)x2(t)x1(t)e设

nt(c1sindtc2cosdt)x2(t)Xsin(t)………(2)

将(2)式代入(1)式

Xsin(t)2nXcos(t)Xnsin(t)F0sintm22F0X2mn122n22(1)42arctan2(1)x1:衰减振动的响应

x2:稳态响应

F0xstkx(t)ent(c1sindt设静变形

Xxstc2cosdt)Xsin(t)x(0)x0(0)x0xX12222xst(1)4动力放大系数：表示振幅相

对于静变形的放大倍数。

x(t)A1entsin(dt1)sin(dt2)0nx0xA2ent Xsin(t)A1x(20d)2dx0tan10nx0xF0(2nd)[2n(n)]A2222222m(n-)(n-)(2n)2222222dntan222222n(n-)初位移、初速度引起的自由振动分量x(t)ent(c1sindt(0)x0xc2cosdt)Xsin(t)x(0)x0纯受迫振动ntx(t)A1entsin(dt1)A2esin(dt2) Xsin(t)A1x(20动荷载激起的按结构自振频率振动的分量,称为伴随自由振动0nx0xd)2dx0tan10nx0x2.有阻尼受迫振动的特点

(1)稳态受迫振动的频率等于激振频率

(2)稳态受迫振动的振幅X与初始条件无关,

且不随时间变化Xxst(3)幅频响应特性曲线:

根据之间的关系式可画出它们之间的关系曲线,称为幅频响应特性曲线. (4)当0时1若1，共振21-(5)010111激励力可作静载荷处理

---共振

为避开共振或小于0.75.

βλ

增函数减函数

一般应大于1.25

0d(6)由0可得动力放大系数的极值点d12时，max随增大而减小

阻尼在共振区内影响显著,在共振区外可不计阻尼.

212121附近，1/2的最大值并不发生在

1位移滞后于荷载

(7).有阻尼受迫振动时动位移和激振力的相位不同

2arctan2(1)φλ

§2.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动当1时，无论阻尼比为何值，位移相应滞后的

相位差总是等于2即这是共振的另一个重要的特2征(0)相位共振法可测定系统的固有角频率对于无阻尼的情况：0F01x(t)sintF(t)xstFt22mnmn§2.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动z=[0.0001,0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,0.9,0.99], w=2, x0=1, v0=0, tf=100 激振频率=0.5,F0=10SDT1_3

([0.0001,0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,0.9,0.99],2,0.5,10,100)

拍振现象

mxkxF0sint当x00,x00时,通解为

F(t)x1F0x(t)xst(sintsinnt)sintsinnt2221nmn当激振频率与固有频率较接近时，设：

n2拍振现象

nnx(t)t)sint2sin(t)costncos(2222mnnF0由于小量，上式第二项为零，且

n2nF0x(t)sintcosnt2mnT拍=共振0，lim0sintF0t1,x(t)cosnt2mn2/nx(t)

t2/练习

书上习题2-31

练习



车辆（或飞机降落滑行）以等速驶过一凹坑，一连续凹坑视为简谐激励xs(t)asint(凹坑可视为半波正弦脉冲xs(t)asintt1) ，试建立运动方程。

xs(t)mkckmxt1§2.5周期激励下的动力响应周期荷载P(t)（设周期为Tf）下的稳态反应f(t)f(tTf)周期荷载的Fourier展开为a02f(t)(aicosi1tbisini1t) 12TiTfT22a0f()daif()cosid1ffTf02biTfTf0Tf0f()sini1d§2.5周期激励下的动力响应也可写成

ftc0cnsin(n1tn)n1其中

c0a022cnanbnbnnarctgan(n1,2,3,...)§2.5周期激励下的动力响应这表明，周期荷载可分解成一个常量荷载和一系列简谐荷载的叠加。

在a0/2作用下产生xst=a0/2k的静位移。

在aicosit和bisinit简谐荷载下（稳态解）

a0iixi[astcos(iti)bstsin(iti)]2ki1i-22222i[(1-i)4i]inab2iiiiarctanabstst(1)kki2§2.5周期激励下的动力响应●谐波分析法

谐波分析法：将周期激励力展成傅里叶级数的分析方法称为谐波分析法。

i和i的离散图形称作频谱图频谱图：以各阶频率为横坐标，做出

。频谱分析法：根据频谱图分析周期激励力的响应状况称作频谱分析法。

§2.5周期激励下的动力响应

可见，一个周期振动过程可视为频率顺次为基频ω1及其整数倍的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。

倍频分量等。基频分量有时称为基波，n倍频分量则称为n次谐波。

这些分量依据n=1，2，3,…分别称为基频分量、二倍频分量、三

以f（或ω）为横坐标，cn和φn为纵坐标，得到的cn－f 和φn－f 图分别称为幅值谱和相位谱，统称为傅里叶频谱。



周期函数的的频谱总是由若干沿f轴离散分布的普线组成，普线长度分别代表频率分量的幅值和初相位。

§2.5周期激励下的动力响应例

-1有一振动波形，经傅里叶分解后，其表达式

axasin(0t)sin20t22为

该波形只有两个简谐分量，它的频谱图见图

(c)。

(b)、

我们在图(a)中同时给出了该振动量随时间变化的曲线。图(a)称为振动的时间历程曲线，为时域曲线；图(b) 及图(c)则为同一振动量的频域表达法。

§2.5周期激励下的动力响应例-2已知一周期性矩形波如图所示,作用在单自由度系统上,

1n60.1刚度为k, T2(1)试对其作谐波分析(2) 求稳态响应

F(t)F0-F0

TtF0F(t)F00tt2§2.5周期激励下的动力响应2a0Tf12biTf2aiTfTf0F(t)dtTf0F(t)dt0F(t)cositdt=002Tf02F(t)sinitdtTT20F0sin(it)dt2F02TTF0sin(it)dt(1cosi)T2i4F0(i1,3,5,7)i§2.5周期激励下的动力响应F(t)F0-F0

i1,3,5,74F0(sinit)iT§2.5周期激励下的动力响应4F04F0x(t)sin(t0.033)0.44sin(3t0.129)kk作业：2-33、2-41、2-48

§2.6转子系统临界转速的概念

图2.6-1 单盘转子示意图图2.6-2 圆盘的瞬时位置及力

设有一转子如图2.6-1所示，其中Oxyz是固定坐标系，无质量的弹性轴的弯曲刚度为EJ，在跨中安装有质量为m的刚性薄盘。

§2.6转子系统临界转速的概念

由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为e。当转子以等角速度ω自转时，偏心引起的离心惯性力将使轴弯曲，产生动挠度，并随之带动圆盘公转。r设圆盘在瞬时t的状态如图2.6-2所示，这时弹性轴因有动挠度而对圆盘的作用力为F，它在坐标轴上的投影分别为

FxkxFyky（2-1）

由材料力学可知，对于图2.6-3所示的模型

48EJk3l（2-2）

图2.6-3

§2.6转子系统临界转速的概念

设圆盘在运动中受到粘性阻尼力的作用，它的两个分量为

Rxcx（2-3）Rcyy根据质心运动定理，可得

cRxFxmx（2-4）cRyFymy由图2.6-4的几何关系知

xcxecostycyesint对上式求两次导数，可得

2（2-5）

图2.6-4

（2-6）

cecostxx2cesintyy§2.6转子系统临界转速的概念

把（2-6）代入（2-4），得到转子模型的运动微分方程

mxcxkxme2cost（2-7）

可改写为

mycykyme2sintx22xe2nxncosty222nsintnyye（2-8）

式中

c2kmkEJn48mml3把（2-8）式与有阻尼单自由度系统的受迫振动运动方程作一比较，显然两者在数学形式上是完全相同的。

§2.6转子系统临界转速的概念

因此引用其求稳态解的方法，设

xXcos(t)yYsint把（2-9）代入（2-8）中，得到

Xe2222n22ne2Y22n222ntan12n22n由此可见，O'点绕固定坐标系的Oz轴在作圆周运动。

（2-9）

2-10）

（§2.6转子系统临界转速的概念对照几何关系

xrcostyrsint（2-11）

可见圆周运动的半径就是轴的动挠度r，角速度等于轴的自转角速度ω，因为有阻尼，动挠度与偏心之间存在相位差φ。即有

re222ntt2n22（2-12）

§2.6转子系统临界转速的概念

根据（2-10）式可绘出在不同ζ值时，r和φ随ω值变化的曲线，分别如图2.6-5与图2.6-6所示。

图2.6-5转子动挠度的幅值-转速曲线(左)图2.6-6转子动挠度的相位-转速曲线(右)

§2.6转子系统临界转速的概念

由于φ的存在，在一般情况下，O

、O'和C

三点并不在一条直线上，而总是成一个三角形ΔOO'C，而且ΔOO'C的形状在转子以等角速度ω旋转过程中保持不变。

只有当ω＜＜ωn时，φ→0，这三点才近似在一直线上，O'点位

于O和C之间，即所谓圆盘的重边飞出。

当ω＞＞ωn时，φ→π，这三点又近似在一直线上，但点C位于O

和O'之间，即所谓圆盘的轻边飞出，这种现象称为自动定心，也叫偏心转向。

§2.6转子系统临界转速的概念

根据国际标准，临界转速定义为：系统共振时发生主响应的特征转速，在这里就是使动挠度取得极值的转速，r于是可利用条件

drd0来确定临界转速，并以ωCr表示。由（2-12）式得

dre22n2222dn3222222n2nn0由此解得

cr1n1222-13）2-14）

（（§2.6转子系统临界转速的概念

可见外阻尼总使得转子的临界转速稍大于其横向自然频率，这在图2.6-7中也可以看出，各曲线的峰值都偏在ω=ωn线的右边，这一点应特别注意。

图2.6-7转子动挠度的幅值-转速曲线

§2.6转子系统临界转速的概念

对于小阻尼情况:

crn（2-15）

对于无阻尼的理想情况，即ζ=0，在临界转速时，动挠度r将达

到无限大。而相位角在临界转速之前为零，之后为π，即在临界转速前后有相位突变，O、O'和C三点始终在一条直线上。

实际转子系统总存在一定阻尼，动挠度不会无限大，但比一般转

速下的动挠度大得多，足以造成转子破坏，因此，工程上要严格避免转子在临界转速附近工作。可见，正确的临界转速分析计算，在转子设计和处理实际问题中都很重要。

§2.6转子系统临界转速的概念

为了形象地表示自动定心（偏心转向）及在临界转速时的相位差，

把O、2O‘及C三点在不同转速时的相对位置表示在图2.6-8上。

图2.6-8 在不同转速时的偏心位置