平面向量的概念与线性运算知识点

一.平面向量的有关概念

１．向量：既有大小，又有方向的量． ２．数量：只有大小，没有方向的量．

３．有向线段的三要素：起点、方向、长度． ４．零向量：长度为0的向量．

５．单位向量：长度等于1个单位的向量． ６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上 ７．相等向量：长度相等且方向相同的向量． ８．相反向量：长度相等且方向相反的向量 二．向量的表示法

１．字母表示法：如：a，AB等

２．几何表示法：用一条有向线段表示向量

３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（x，，则（x，y）称为OA的坐标，记作：OA＝（x，y） y）

三．向量的运算

１．向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc； ③a00aa．

C a

b





abCC

⑸坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2． ２．向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2． 设、两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，则x1x2,y1y2． ３．向量数乘运算：

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a． ①

aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当

0时，a0．

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab． ⑶坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y． ４．向量共线定理：

向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．

设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、

bb0共线．

四．跟踪训练

１．AOOBCAOCBO（ ）

A．AB B．0 C．AC D．BC ２．给出命题

（1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若a，b都是单位向量，则a＝b. （3）向量AB与向量BA相等.（4）若非零向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，

D四点共线. 以上命题中，正确命题序号是

A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4） ３．在四边形ABCD中，如果ABCD0，ABDC，那么四边形ABCD的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形

４．如图，在△ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它们交于点

G，则下列各等式中不正确的是

A.BG21121BE B.CG2GF C.DGAG D.DAFCBC 32332

５．给出命题：

（1）在平行四边形ABCD中，ABADAC.

（2）在△ABC中，若ABAC0，则△ABC是钝角三角形. （3）在空间四边形ABCD中，E,F分别是BC,DA的中点，则FE 以上命题中，正确的命题序号是 .

1(ABDC). 2