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学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 计算√16的结果是( )
A. ±4 B. ±8 C. 4 D. 2
3. 给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 3，4，5 B. 8，6，15 C. 13，12，25 D. 7，2，3
4. 三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架
不变形，至少要钉上( )根木条．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到△𝐶𝑂𝐷≌△𝐶′𝑂′𝐷′的依据是( )
A. SAA B. SSS C. ASA D. AAS
6. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D是BC边上一点，且𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐷𝐶，
∠𝐵𝐴𝐷=40°，则∠𝐶为( )
A. 25° B. 35° C. 40° D. 50°
7. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，点D在BC边上，将点D分别以AB、AC为对称轴，画出对称点
E、F，并连接AE、𝐴𝐹.根据图中标示的角度，可得∠𝐸𝐴𝐹的度数为( )
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A. 108 B. 115 C. 122 D. 130
8. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶，AD平分∠𝐶𝐴𝐵交BC于点D，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
垂足为E，且𝐴𝐵=6𝑐𝑚，则△𝐷𝐸𝐵的周长为( )
A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm
9. 如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐶𝐷都是等边三角形，且点B、C、D
在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，𝐴𝑁=3𝐴𝐷，且𝐵𝑀=3𝐵𝐸，则△𝐶𝑀𝑁的形状是( )
1
1
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不等边三角形
10. 如图，方格中△𝐴𝐵𝐶的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点
上)，这样的三角形叫做格点三角形，图中可以画出与△𝐴𝐵𝐶全等的格点三角形(不含△𝐴𝐵𝐶)共有( )
A. 21个 B. 22个 C. 23个 D. 24个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知点P关于x轴的对称点𝑃1的坐标是(2,1)，则点P的坐标是______．
12. 如图中的两个三角形全等，图中的字母a，b，c表示三角形的边长，则∠1的大小是
______．
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13. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则此多边形的边数是______．
14. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶，点A的坐标为(−7,3)，点C的坐标为
(−2,0)，则点B的坐标是______．
15. 如图，BD为△𝐴𝐵𝐶的角平分线，且𝐵𝐷=𝐵𝐶，E为BD延
长线上一点，𝐵𝐸=𝐵𝐴，过E作𝐸𝐹⊥𝐴𝐵于F，下列结论： ①∠𝐵𝐶𝐸+∠𝐵𝐷𝐶=180°；②𝐴𝐷=𝐴𝐸=𝐸𝐶；③𝐴𝐵//𝐶𝐸；④𝐵𝐴+𝐵𝐶=2𝐵𝐹． 其中正确的序号是______．
AC是对角线，𝐴𝐵=𝐶𝐷，∠𝐷𝐴𝐶+16. 如图，在四边形ABCD中，
∠𝐵𝐶𝐴=180°，∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐷=90°，四边形ABCD的面积是18，则CD的长是______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分） 17. 解方程组及不等式组．
3𝑥−𝑦=5(1){；
5𝑥+2𝑦=122𝑥+3≥𝑥+2(2){2𝑥+5．
−1<2−𝑥3
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18. 用一条长为18cm细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
∠𝐴=∠𝐷，𝐵𝐸=𝐶𝐹.求证：△𝐴𝐵𝐶≌△19. 如图，已知𝐴𝐶//𝐷𝐹，
𝐷𝐸𝐹．
𝐵(5,1)，20. 在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如𝐴(1,1)，
𝐶(4,4)，𝐷(2,3)都是格点．用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
(1)在图1中画出△𝐶𝐴𝐸≌△𝐴𝐶𝐵(其中点A的对应点为点𝐶)； (2)在图2中画出AF，使𝐴𝐹⊥𝐵𝐶；
(3)如图3，在线段AB上画点G，使得∠𝐴𝐺𝐷=∠𝐵𝐺𝐶．
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21. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，E在线段AC上，D在AB
的延长线，连DE交BC于F，过点E作𝐸𝐺⊥𝐵𝐶于G． (1)若∠𝐴=50°，∠𝐷=30°，求∠𝐺𝐸𝐹的度数； (2)若𝐵𝐷=𝐶𝐸，求证：𝐹𝐺=𝐵𝐹+𝐶𝐺．
22. 某商店需要购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表：
进价(元/件) 售价(元/件) 甲 14 20 乙 35 45 (1) 若商店计划销售完这批商品后能获利1680元，问甲、乙两种商品应分别购进
多少件？
(2)若商店计划投入资金小于5320元，且销售完这批商品后获利大于1660元，请问有几种购货方案？并求出其中获利最大的购货方案．
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23. 问题背景：角平分线上的点到角两边的距离相等．若一个多边形的每个内角角平分
线都交于一点O，点O叫做该多边形的内心，点O到其中一边的距离叫做r． 问题解决：如图1，在面积为S的△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=𝑎，𝐴𝐶=𝑏，𝐴𝐵=𝑐，内心O到边AC的距离为r，试说明𝑟=𝑎+𝑏+𝑐．
类比推理：如图2，存在内心O的四边形ABCD面积为S，周长为l，用含有S与l的式子表示内心O到边AB的距离𝑟=______；
𝐴𝐵//𝐷𝐶，𝐴𝐵=21，𝐶𝐷=11，𝐴𝐷=𝐵𝐶=13，理解应用：如图3，在四边形ABCD中，对角线𝐵𝐷=20，点𝑂1与𝑂2分别为△𝐴𝐵𝐷与△𝐵𝐶𝐷的内心，它们到各自三角形的边的距离分别为𝑟1和𝑟2，求𝑟2的值．
𝑟1
2𝑆
24. 如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，D是直线BC上一点，E是边AC上一动点，以DE为边作
等边△𝐷𝐸𝐹，连接𝐶𝐹.(提示：含30°的直角三角形三边之比为1：√3：2)． (1)如图1，若点D在边BC上，求证：𝐶𝐸+𝐶𝐹=𝐶𝐷；
(2)如图2，若点D在BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
(3)图2中，若𝐸𝐷=𝐴𝐶=2√3，点E从A运动到C停止，求出此过程中点F运动的路径长．
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：D．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵√16表示16的算术平方根， ∴√16=4． 故选：C．
根据算术平方根概念即可求出结果．
本题主要考查了算术平方根概念的运用，比较简单．
3.【答案】A
【解析】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A中，3+4=7>5，能组成三角形； B中，8+6=14<15，不能组成三角形； C中，13+12=25，不能够组成三角形； D中，2+3=5<7，不能组成三角形． 故选：A．
根据三角形的三边关系进行分析判断．
本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
4.【答案】B
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【解析】解：过五边形的一个顶点作对角线，有5−3=2条对角线，所以至少要钉上2根木条． 故选：B．
三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，作出图形更形象直观．
5.【答案】B
【解析】解：由作法得𝑂𝐷=𝑂𝐷′=𝑂𝐶=𝑂𝐶′，𝐶𝐷=𝐶′𝐷′， 所以可根据“SSS”证明△𝐶𝑂𝐷≌△𝐶′𝑂′𝐷′． 故选：B．
利用作法课文确定𝑂𝐷=𝑂𝐷′=𝑂𝐶=𝑂𝐶′，𝐶𝐷=𝐶′𝐷′，然后根据全等三角形的判定方法可判断△𝐶𝑂𝐷≌△𝐶′𝑂′𝐷′．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了全等三角形的判定．
6.【答案】B
【解析】解：∵𝐴𝐵=𝐴𝐷， ∴∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐵， 由∠𝐵𝐴𝐷=40°得∠𝐵=∵𝐴𝐷=𝐷𝐶， ∴∠𝐶=∠𝐷𝐴𝐶， ∴∠𝐶=2∠𝐴𝐷𝐵=35°． 故选：B．
先根据𝐴𝐵=𝐴𝐷，利用三角形内角和定理求出∠𝐵和∠𝐴𝐷𝐵的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠𝐶的大小．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理，三角形的外角性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
1
180°−40°
2
=70°=∠𝐴𝐷𝐵，
7.【答案】D
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【解析】解：连接AD，
∵𝐷点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F， ∴∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐹𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐷， ∵∠𝐵=61°，∠𝐶=54°，
∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐷𝐴𝐶=180°−61°−54°=65°， ∴∠𝐸𝐴𝐹=2∠𝐵𝐴𝐶=130°， 故选：D．
连接AD，利用轴对称的性质解答即可．
此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．
8.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查了三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、AAS、SAS、𝐻𝐿.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．先利用AAS判定△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐸𝐷得出𝐴𝐶=𝐴𝐸，𝐶𝐷=𝐷𝐸；再对构成△𝐷𝐸𝐵的几条边进行变换，可得到其周长等于AB的长． 【解答】
解：∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵交BC于点D， ∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐸𝐴𝐷， ∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐶=90， ∵𝐴𝐷=𝐴𝐷， ∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐴𝐸𝐷， ∴𝐴𝐶=𝐴𝐸，𝐶𝐷=𝐷𝐸，
∴𝐷𝐸+𝐵𝐷=𝐶𝐷+𝐵𝐷=𝐵𝐶=𝐴𝐶，
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∵𝐴𝐶=𝐴𝐸， ∴𝐷𝐸+𝐵𝐷=𝐴𝐸，
∵△𝐷𝐸𝐵的周长=𝐷𝐸+𝐷𝐵+𝐵𝐸=𝐴𝐸+𝐵𝐸=𝐴𝐵=6(𝑐𝑚)． 故选B．
9.【答案】C
【解析】 【分析】
此题主要考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．根据已知得出△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷是解题关键．根据等边三角形的性质得出𝐵𝐶=𝐴𝐶，𝐸𝐶=𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐸𝐶𝐷=60°，利用SAS证明△𝐵𝐶𝐸与△𝐴𝐶𝐷全等，得出∠𝑀𝐵𝐶=∠𝑁𝐴𝐶，𝐵𝐸=𝐴𝐷，进而证明△𝑀𝐵𝐶≌△𝑁𝐴𝐶(𝑆𝐴𝑆)，∠𝐵𝐶𝑀=∠𝐴𝐶𝑁，利用全等三角形的性质得出𝑀𝐶=𝑁𝐶，从而证出∠𝑀𝐶𝑁=60°，即可得出△𝑀𝐶𝑁是等边三角形，． 【解答】
解：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐶𝐷都是等边三角形， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐶，𝐸𝐶=𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐸𝐶𝐷=60°， ∴∠𝐵𝐶𝐴+∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐸𝐶𝐷+∠𝐴𝐶𝐸， 即∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐷， 在△𝐵𝐶𝐸与△𝐴𝐶𝐷中 𝐵𝐶=𝐴𝐶
{∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐴𝐶𝐷， 𝐶𝐸=𝐶𝐷
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝑀𝐵𝐶=∠𝑁𝐴𝐶，𝐵𝐸=𝐴𝐷， ∵𝐵𝑀=3𝐵𝐸，𝐴𝑁=3𝐴𝐷， ∴𝐵𝑀=𝐴𝑁， 在△𝑀𝐵𝐶与△𝑁𝐴𝐶中 𝐵𝑀=𝐴𝑁
{∠𝑀𝐵𝐶=∠𝑁𝐴𝐶， 𝐵𝐶=𝐴𝐶
∴△𝑀𝐵𝐶≌△𝑁𝐴𝐶(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝑀𝐶=𝑁𝐶，∠𝐵𝐶𝑀=∠𝐴𝐶𝑁，
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1
1
∵∠𝐵𝐶𝑀+∠𝑀𝐶𝐴=60°， ∴∠𝑁𝐶𝐴+∠𝑀𝐶𝐴=60°， ∴∠𝑀𝐶𝑁=60°， ∴△𝑀𝐶𝑁是等边三角形， 故选C．
10.【答案】C
【解析】解：用SSS判定两三角形全等，所以共有24个全等三角形， 除去△𝐴𝐵𝐶外有23个与△𝐴𝐵𝐶全等的三角形． 故选：C．
用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．
此题主要考查了全等三角形的判定以及格点三角形的定义，利用数形结合与分类讨论是解决问题的关键．
11.【答案】(2,−1)
【解析】解：点P关于x轴的对称点𝑃1的坐标是(2,1)，则点P的坐标是(2,−1)， 故答案为：(2,−1)．
根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12.【答案】50°
【解析】解：由三角形内角和定理可得，∠2=180°−60°−70°=50°， ∵两个三角形全等， ∴∠1=∠2=50°， 故答案为：50°．
根据三角形内角和定理求出∠2，根据全等三角形的性质解答即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：设边数为n，则 (𝑛−2)⋅180°=4×360°，
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解得：𝑛=10． 则多边形的边数是10．
任何多边形的外角和是360度，内角和是外角和的4倍，则内角和是4×360度．n边形的内角和是(𝑛−2)⋅180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
14.【答案】(1,5)
【解析】解：作𝐴𝐷⊥𝑥轴于点D，作𝐵𝐸⊥𝑥轴于点E，如右图所示， 则∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐶𝐸𝐵=90°， ∴∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐶𝐴𝐷=90°， ∴∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐵𝐶𝐸=90°， ∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐸， 在△𝐴𝐶𝐷和△𝐶𝐵𝐸中， ∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐶𝐸𝐵{∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐸， 𝐴𝐶=𝐶𝐵
∴△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐴𝐷=𝐶𝐸，𝐷𝐶=𝐸𝐵，
∵点A的坐标为(−7,3)，点C的坐标为(−2,0)， ∴𝑂𝐷=7，𝐴𝐷=3，𝑂𝐶=2，
∴𝐶𝐸=3，𝐵𝐸=𝑂𝐷−𝑂𝐶=7−2=5， ∴𝑂𝐸=𝐶𝐸−𝑂𝐶=3−2=1， ∴点B的坐标为(1,5)， 故答案为：(1,5)．
先证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸，然后即可得到𝐴𝐷=𝐶𝐸，𝐷𝐶=𝐸𝐵，然后再根据点A的坐标为(−7,3)，点C的坐标为(−2,0)，即可得到点B的坐标．
本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】①②④
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【解析】解：①∵𝐵𝐷为△𝐴𝐵𝐶的角平分线， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷， 又∵𝐴𝐵=𝐵𝐸，𝐵𝐷=𝐵𝐶， ∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐵𝐶(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐵𝐷𝐴，
∴∠𝐵𝐶𝐸+∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐵𝐷𝐴+∠𝐵𝐷𝐶=180°，即①正确； ②在△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵=𝐵𝐸， ∴∠𝐵𝐸𝐴=2(180°−∠𝐴𝐵𝐸)， 在△𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶=𝐵𝐷， ∴∠𝐵𝐷𝐶=(180°−∠𝐶𝐵𝐷)，
211
∵∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷， ∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐴𝐸𝐵，
∵∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐵𝐷𝐴，∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐷𝐶𝐸，∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐷𝐴𝐸+∠𝐵𝐸𝐴， ∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐷𝐴𝐸， ∴△𝐴𝐶𝐸为等腰三角形， ∴𝐴𝐸=𝐸𝐶， ∵△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐵𝐶， ∴𝐴𝐷=𝐸𝐶，
∴𝐴𝐷=𝐴𝐸=𝐸𝐶，即②正确；
③根据已知条件，可得𝐴𝐵//𝐶𝐸不一定成立，故③错误； ④如图，过E作𝐸𝐺⊥𝐵𝐶于G点，
∵𝐸是BD上的点， ∴𝐸𝐹=𝐸𝐺，
在𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐺和𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹中， 𝐵𝐸=𝐵𝐸{， 𝐸𝐹=𝐸𝐺
∴𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐺≌𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹(𝐻𝐿)， ∴𝐵𝐺=𝐵𝐹，
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在𝑅𝑡△𝐶𝐸𝐺和𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐹中， 𝐸𝐹=𝐹𝐺{， 𝐴𝐸=𝐶𝐸
∴𝑅𝑡△𝐶𝐸𝐺≌𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐹(𝐻𝐿)， ∴𝐴𝐹=𝐶𝐺，
∴𝐵𝐴+𝐵𝐶=𝐵𝐹+𝐹𝐴+𝐵𝐺−𝐶𝐺=𝐵𝐹+𝐵𝐺=2𝐵𝐹，即④正确． 故答案为：①②④．
根据SAS易证△𝐴𝐵𝐷≌△𝐸𝐵𝐶，可得∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐵𝐷𝐴，𝐴𝐷=𝐸𝐶可得①正确，再根据角平分线的性质可求得∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐷𝐶𝐸，即②𝐴𝐷=𝐴𝐸=EC正确，先判断出𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐺≌𝑅𝑡△𝐵𝐸𝐹(𝐻𝐿)，得出𝐵𝐺=𝐵𝐹，进而判断出𝑅𝑡△𝐶𝐸𝐺≌𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐹，即可判断出④正确．
本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：在BC的延长线作𝐶𝐸=𝐴𝐷，如图所示：
∵，∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐵𝐶𝐴=180°， ∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐵𝐶𝐴=180°， ∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐸𝐶𝐴， 在△𝐴𝐷𝐶和△𝐶𝐸𝐴中， 𝐴𝐶=𝐴𝐶
∴{∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐸𝐶𝐴， 𝐴𝐷=𝐶𝐸∴△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐴(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，𝐶𝐷=𝐴𝐸， 又∵∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐷=90°， ∴∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐸=90°，
又∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐸=90°， 𝐴𝐵=𝐶𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形，且𝐴𝐵=𝐴𝐸=𝐶𝐷，
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∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐵𝐴𝐸， ∴𝐴𝐵.𝐴𝐸=×𝐶𝐷2=18，
2
2
1
1
解得：𝐶𝐷=6， 故答案为6．
∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐵𝐶𝐴=180°得∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐸𝐶𝐴，由∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐵𝐶𝐴=180°，证明△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐴，∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐷=90°可得△𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形，最后由图形的再根据全等的性质，
等积变换和三角形的面积公式求出CD的长为6．
本题综合考查了同角的补角相等，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和等积变换等知识，重点掌握三角形的判定与性质，难点是掌握构建三角形全等和图形等积变换求面积．
17.【答案】解：(1){
3𝑥−𝑦=5①
，
5𝑥+2𝑦=12②
①×2+②，得：11𝑥=22， 解得𝑥=2，
将𝑥=2代入①，得：6−𝑦=5， 解得𝑦=1，
𝑥=2
∴方程组的解为{；
𝑦=1
(2)解不等式2𝑥+3≥𝑥+2，得：𝑥≥−1， 解不等式
2𝑥+53
−1<2−𝑥，得：𝑥<0.8，
则不等式组的解集为−1≤𝑥<0.8．
【解析】(1)利用加减消元法求解即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组和二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：(1)设底边长为xcm，
∵腰长是底边的2倍， ∴腰长为2xcm，
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∴2𝑥+2𝑥+𝑥=18，解得，𝑥=∴2𝑥=2×
185
185
𝑐𝑚，
=
365
𝑐𝑚，
36
18
∴各边长为：5𝑐𝑚，5𝑐𝑚，5𝑐𝑚．
(2)能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm． 理由：
①当4cm为底时，腰长=
18−42
36
=7𝑐𝑚；
②当4cm为腰时，底边=18−4−4=10𝑐𝑚， ∵4+4<10，
∴不能构成三角形，故舍去；
综上，能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm．
【解析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
(2)题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
19.【答案】证明：∵𝐴𝐶//𝐷𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐹𝐸， ∵𝐵𝐸=𝐶𝐹，
∴𝐵𝐸+𝐸𝐶=𝐶𝐹+𝐸𝐶， 即𝐵𝐶=𝐸𝐹， 在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中， ∠𝐴=∠𝐷
{∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐹𝐸， 𝐵𝐶=𝐸𝐹
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆)．
【解析】由平行线的性质得出∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐹𝐸，证得𝐵𝐶=𝐸𝐹，根据AAS可证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹．
本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法
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是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)如图1中，△𝐴𝐶𝐸即为所求．
(2)如图2中，直线AF即为所求． (3)点G即为所求．
【解析】(1)构造平行四边形ABCE即可． (2)取格点F，作直线AF即可．
(3)作点D关于直线AB的对称点𝐷′，连接𝐶𝐷′交AB于点G，连接DG，点G即为所求． 本题考查作图−复杂作图，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】(1)解：∵∠𝐴=50°，
∴∠𝐶=(180°−∠𝐴)=(180°−50°)=65°，
2
2
1
1
∵𝐸𝐺⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐸𝐺=90°−∠𝐶=90°−65°=25°， ∵∠𝐴=50°，∠𝐷=30°，
∴∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐴+∠𝐷=50°+30°=80°， ∴∠𝐺𝐸𝐹=∠𝐶𝐸𝐹−∠𝐶𝐸𝐺=80°−25°=55°；
(2)证明：过点E作𝐸𝐻//𝐴𝐵交BC于H， 则∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐸𝐻𝐶，∠𝐷=∠𝐹𝐸𝐻， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶， ∴∠𝐸𝐻𝐶=∠𝐶， ∴𝐸𝐶=𝐸𝐻， ∵𝐵𝐷=𝐶𝐸，
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∴𝐵𝐷=𝐸𝐻， 在△𝐵𝐷𝐹和△𝐻𝐸𝐹中， ∠𝐷=∠𝐹𝐸𝐻
{∠𝐸𝐹𝐻=∠𝐷𝐹𝐵， 𝐵𝐷=𝐸𝐻
∴△𝐵𝐷𝐹≌△𝐻𝐸𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐹=𝐹𝐻，
又∵𝐸𝐶=𝐸𝐻，𝐸𝐺⊥𝐵𝐶， ∴𝐶𝐺=𝐻𝐺，
∴𝐹𝐺=𝐹𝐻+𝐻𝐺=𝐵𝐹+𝐶𝐺．
【解析】(1)根据等腰三角形两底角相等求出∠𝐶，再根据直角三角形两锐角互余求出∠𝐶𝐸𝐺，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠𝐶𝐸𝐹，然后计算即可得解；
(2)过点E作𝐸𝐻//𝐴𝐵交BC于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐸𝐻𝐶，内错角相等可得∠𝐷=∠𝐹𝐸𝐻，然后求出∠𝐸𝐻𝐶=∠𝐶，再根据等角对等边可得𝐸𝐶=𝐸𝐻，然后求出𝐵𝐷=𝐸𝐻，再利用“角角边”证明△𝐵𝐷𝐹和△𝐻𝐸𝐹全等，根据全等三角形对应边相等可得𝐵𝐹=𝐹𝐻，根据等腰三角形三线合一的性质可得𝐶𝐺=𝐻𝐺，即可得证． 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，等角对等边的性质，(2)作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，
𝑥+𝑦=200依题意得：{，
(20−14)𝑥+(45−35)𝑦=1680𝑥=80
解得：{．
𝑦=120
答：甲种商品购进80件，乙种商品购进120件． (2)设甲种商品购进m件，则乙种商品购进(200−𝑚)件， 14𝑚+35(200−𝑚)<5320
依题意得：{，
(20−14)𝑚+(45−35)(200−𝑚)>1660解得：80<𝑚<85， 又∵𝑚为非负整数，
∴𝑚可以为81，82，83，84， ∴该商店共有4种购货方案．
设销售完这批商品后获利w元，则𝑤=(20−14)𝑚+(45−35)(200−𝑚)=−4𝑚+2000，
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∵−4<0，
∴𝑤随m的增大而减小， ∴当𝑚=81时，w取得最大值，
即甲种商品购进81件、乙种商品购进119件时，该商店销售完这批商品后获利最大．
【解析】(1)设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，根据该商品购进两种商品共200件且销售完这批商品后能获利1680元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设甲种商品购进m件，则乙种商品购进(200−𝑚)件，根据“该商店计划投入资金小于5320元，且销售完这批商品后获利大于1660元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为非负整数即可得出购货方案的数量，设销售完这批商品后获利w元，根据总利润=每件的利润×销售数量(购进数量)，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解(1)找准等量关系，(2)根据各数量之间的关系，题的关键是：正确列出二元一次方程组；正确列出一元一次不等式组．
23.【答案】𝑎+𝑏+𝑐+𝑑
【解析】解：问题解决：如图(1)，在面积为S的△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=𝑎，𝐴𝐶=𝑏，𝐴𝐵=𝑐，三条角平分线的交点O到三边的距离为𝑟.连接OA、OB、OC，△𝐴𝐵𝐶被划分为三个小三角形．
∵𝑆=𝑆△𝑂𝐵𝐶+𝑆△𝑂𝐴𝐶+𝑆△𝑂𝐴𝐵=𝐵𝐶⋅𝑟+𝐴𝐶⋅𝑟+𝐴𝐵⋅𝑟=(𝑎+𝑏+𝑐)⋅𝑟，
2
2
2
2
1
1
1
1
2𝑆
∴𝑟=
2𝑆𝑎+𝑏+𝑐
．
类比推理：如图2中，连接OA、OB、OC、OD，
∵𝑆=𝑆△𝐴𝑂𝐵+𝑆△𝐵𝑂𝐶+𝑆△𝐶𝑂𝐷+𝑆△𝐴𝑂𝐷=2𝑎𝑟+2𝑏𝑟+2𝑐𝑟+2𝑑𝑟=2(𝑎+𝑏+𝑐+𝑑)𝑟，
11111
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∴𝑟=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑． 故答案为：𝑎+𝑏+𝑐+𝑑．
理解应用：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷：𝑆△𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵：𝐶𝐷=21：11； ∵𝑟1=
2𝑆△𝐴𝐵𝐷𝐴𝐵+𝐵𝐷+𝐴𝐷2𝑆
2𝑆
2𝑆
=
2𝑆△𝐴𝐵𝐷
54
，
△𝐶𝐷𝐵
𝑟2=𝐶𝐷+𝐶𝐵+𝐵𝐷=
2𝑆△𝐶𝐷𝐵44
， =
2227
∴
𝑟1𝑟2
=
2𝑆△𝐴𝐵𝐷
542𝑆△𝐵𝐶𝐷44
=
2227
×
𝑆△𝐴𝐵𝐷𝑆△𝐶𝐷𝐵
×
2111
=
149
．
问题解决：连接OA、OB、OC，△𝐴𝐵𝐶被划分为三个小三角形．利用三角形的面积公式求解即可．
类比推理：已知已给出示例，我们仿照例子，连接OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得．
理解应用：上面已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果．但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点D作AB垂线，进一步易得BD的长，则𝑟1、𝑟2、𝑟易得．
2
𝑟1
本题考查了角平分线的定义，三角形面积计算以及等腰梯形等相关知识的综合应用，这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养．
24.【答案】(1)证明：在CD上截取𝐶𝐻=𝐶𝐸，如图1所示：
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴∠𝐸𝐶𝐻=60°， ∴△𝐶𝐸𝐻是等边三角形，
∴𝐸𝐻=𝐸𝐶=𝐶𝐻，∠𝐶𝐸𝐻=60°， ∵△𝐷𝐸𝐹是等边三角形，
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∴𝐷𝐸=𝐹𝐸，∠𝐷𝐸𝐹=60°，
∴∠𝐷𝐸𝐻+∠𝐻𝐸𝐹=∠𝐹𝐸𝐶+∠𝐻𝐸𝐹=60°， ∴∠𝐷𝐸𝐻=∠𝐹𝐸𝐶， 在△𝐷𝐸𝐻和△𝐹𝐸𝐶中， 𝐷𝐸=𝐹𝐸
{∠𝐷𝐸𝐻=∠𝐹𝐸𝐶， 𝐸𝐻=𝐸𝐶
∴△𝐷𝐸𝐻≌△𝐹𝐸𝐶(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐷𝐻=𝐶𝐹，
∴𝐶𝐷=𝐶𝐻+𝐷𝐻=𝐶𝐸+𝐶𝐹， ∴𝐶𝐸+𝐶𝐹=𝐶𝐷．
(2)解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是𝐹𝐶=𝐶𝐷+𝐶𝐸.理由如下： ∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴∠𝐴=∠𝐵=60°，
过D作𝐷𝐺//𝐴𝐵，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵𝐺𝐷//𝐴𝐵，
∴∠𝐺𝐷𝐶=∠𝐵=60°，∠𝐷𝐺𝐶=∠𝐴=60°， ∴∠𝐺𝐷𝐶=∠𝐷𝐺𝐶=60°， ∴△𝐺𝐶𝐷为等边三角形，
∴𝐷𝐺=𝐶𝐷=𝐶𝐺，∠𝐺𝐷𝐶=60°， ∵△𝐸𝐷𝐹为等边三角形，
∴𝐸𝐷=𝐷𝐹，∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐺𝐷𝐶=60°， ∴∠𝐸𝐷𝐺=∠𝐹𝐷𝐶， 在△𝐸𝐺𝐷和△𝐹𝐶𝐷中， 𝐸𝐷=𝐷𝐹
{∠𝐸𝐷𝐺=∠𝐹𝐷𝐶， 𝐷𝐺=𝐶𝐷
∴△𝐸𝐺𝐷≌△𝐹𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)，
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∴𝐸𝐺=𝐹𝐶，
∴𝐹𝐶=𝐸𝐺=𝐶𝐺+𝐶𝐸=𝐶𝐷+𝐶𝐸．
(3)当点E与A重合时，CF的值最小，最小值=𝐴𝐶=2√3， 当𝐶𝐸=𝐶𝐷时，CF的值最大，最大值=2+2=4， 当点E与C重合时，CF的值最小，最小值=2√3， ∴点F的运动路径从最小值2√3增大到4，再减小到2√3， ∴此过程中点F运动的路径长=2(2√3−4)=4√3−8．
【解析】(1)在CD上截取𝐶𝐻=𝐶𝐸，易证△𝐶𝐸𝐻是等边三角形，得出𝐸𝐻=𝐸𝐶=𝐶𝐻，证明△𝐷𝐸𝐻≌△𝐹𝐸𝐶(𝑆𝐴𝑆)，得出𝐷𝐻=𝐶𝐹，即可得出结论；
(2)过D作𝐷𝐺//𝐴𝐵，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠𝐺𝐷𝐶=∠𝐷𝐺𝐶=60°，得出△𝐺𝐶𝐷为等边三角形，则𝐷𝐺=𝐶𝐷=𝐶𝐺，证明△𝐸𝐺𝐷≌△𝐹𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)，得出𝐸𝐺=𝐹𝐶，即可得出𝐹𝐶=𝐶𝐷+𝐶𝐸；
(3)当点E与A重合时，CF的值最小，最小值=𝐴𝐶=2√3，当𝐶𝐸=𝐶𝐷时，CF的值最大，最大值=2+2=4，当点E与C重合时，CF的值最小，最小值=2√3，点F的运动路径从最小值2√3增大到4，再减小到2√3，由此可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．
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