增城区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 已知两条直线L1:yx,L2:axy0，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,时，的取值范围是（ A． 0,1

）

内变动123B．3,3

）

3C．3,11,3

D．1,32． 已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若实数a的取值范围是（ A．C．

B．

D．

）

，则

3． 定义：数列{an}前n项的乘积Tn=a1•a2•…•an，数列an=29﹣n，则下面的等式中正确的是（ A．T1=T19

B．T3=T17

C．T5=T12

D．T8=T11

4． 设复数z满足z（1+i）=2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（　　）

A1B﹣1CiD﹣i

5． 已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（ A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．b＜c＜a6． 与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是（

）

，﹣3，﹣2

）

）

A．（，1，1）B．（﹣1，﹣3，2）C．（﹣，，﹣1）D．（

7． 两个随机变量x，y的取值表为

xy02.214.334.846.7若x，y具有线性相关关系，且^y＝bx＋2.6，则下列四个结论错误的是（

A．x与y是正相关

B．当y的估计值为8.3时，x＝6C．随机误差e的均值为0

）

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D．样本点（3，4.8）的残差为0.65

8． 已知在平面直角坐标系xOy中，点A(0,n)，B(0,n)（n0）.命题p：若存在点P在圆

(x3)2(y1)21上，使得APB2，则1n3；命题：函数f(x)4log3x在区间xD．(p)q(3,4)内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）

A．p(q)

B．pq

C．(p)q

9． 将函数f(x)sinx（其中0）的图象向右平移

4个单位长度，所得的图象经过点

3,0)，则的最小值是（ ）415A． B． C． D．

33SS10．设等比数列{an}的前项和为Sn，若63，则9（ ）

S3S678A．2 B． C. D．3

33x2y2

11．已知双曲线C：221（a0，b0），以双曲线C的一个顶点为圆心，为半径的圆

ab2a，则双曲线C的离心率为（ ）被双曲线C截得劣弧长为321042436A． B． C． D．5555ex212．已知函数f(x)=，关于x的方程f(x)-2af(x)+a-1=0（aÎR）有3个相异的实数根，则a的

x(取值范围是（

）

ìe2-1e2-1e2-1ïe2-1üïA．(,+¥) B．(-¥,) C．(0,) D．íý2e-12e-12e-12e-1ïïîþ【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．

二、填空题

13．函数f(x)1lg(x1)的定义域是 ▲ ．1x14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AC所成的角是　　　　　　°．

15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣1＜a3＜1，0＜a6＜3，则S9的取值范围是　　　　　　．　

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16．已知变量x，y，满足

，则z=log4（2x+y+4）的最大值为　．

17．已知f(x)是定义在R上函数，f(x)是f(x)的导数，给出结论如下：①若f(x)f(x)0，且f(0)1，则不等式f(x)e的解集为(0,)；

x②若f(x)f(x)0，则f(2015)ef(2014)；③若xf(x)2f(x)0，则f(2④若f(x)n1)4f(2n),nN；

f(x)0，且f(0)e，则函数xf(x)有极小值0；xex⑤若xf(x)f(x)，且f(1)e，则函数f(x)在(0,)上递增．

x其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题

18．（本小题满分12分）求下列函数的定义域：（1）fx（2）fx2x3；x1.x23x4x5x6219．（本小题满分12分）在ABC中，内角A,B,C的对边为a,b,c，已知

A(cosB3sinB)cosC1.2（I）求角C的值；2cos2（II）若b=2，且ABC的面积取值范围为[3,3]，求c的取值范围．2【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本运算能力．

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20．已知定义在3,2的一次函数f(x)为单调增函数，且值域为2,7．（1）求f(x)的解析式；

（2）求函数f[f(x)]的解析式并确定其定义域．

21．已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为b，若存在非零常数a，使得（1﹣a）Sn=b﹣an+1对一切n∈N*都成立．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）问是否存在一组非零常数a，b，使得{Sn}成等比数列？若存在，求出常数a，b的值，若不存在，请说明理由．

22．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：f（x）=x2﹣ax+1在区间p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

上是增函数．若

23．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；

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（Ⅱ）如果cosB=　

，b=2，求a的值．

x2y224．（本小题满分12分）已知椭圆C1：1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作垂直

84于轴的直线，直线l2垂直于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M.

（1）求点M的轨迹C2的方程；

（2）过点F2作两条互相垂直的直线AC、BD，且分别交椭圆于A、B、C、D，求四边形ABCD面积的最小值.

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增城区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】C【解析】1111]

试题分析：由直线方程L1:yx，可得直线的倾斜角为45，又因为这两条直线的夹角在0,直线L2:axy0的倾斜角的取值范围是3060且

000，所以12450，所以直线的斜率为

tan300atan600且tan450，即考点：直线的倾斜角与斜率.2． 【答案】 A

3a1或1a3，故选C.3【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0（3）x＞时，解得

；，

综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，

∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选A．

【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．　

3． 【答案】C【解析】解：∵an=29﹣n，

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∴Tn=a1•a2•…•an=28+7+…+9﹣n=∴T1=28，T19=2﹣19，故A不正确T3=221，T17=20，故B不正确T5=230，T12=230，故C正确T8=236，T11=233，故D不正确故选C　

4． 【答案】B

【解析】解：由z（1+i）=2，得∴复数z的虚部是﹣1．故选：B．

，

考查方向

本题考查复数代数形式的乘除运算.

解题思路

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

易错点

把﹣i作为虚部.5． 【答案】C

【解析】解：由对数和指数的性质可知，∵a=log20.3＜0b=20.1＞20=1c=0.21.3 ＜ 0.20=1∴a＜c＜b故选C．　

6． 【答案】C

【解析】解：对于C中的向量：（﹣，，﹣1）=﹣（1，﹣3，2）=﹣因此与向量=（1，﹣3，2）平行的一个向量的坐标是

，．

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故选：C．

【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．　

7． 【答案】

^

【解析】选D.由数据表知A是正确的，其样本中心为（2，4.5），代入^＝bx＋2.6得b＝0.95，即y＝0.95x＋y 2.6，当^则有8.3＝0.95x＋2.6，∴x＝6，∴B正确．根据性质，随机误差e的均值为0，∴C正确．样y＝8.3时，

本点（3，4.8）的残差^e＝4.8－（0.95×3＋2.6）＝－0.65，∴D错误，故选D.

8． 【答案】A【解析】

试题分析：命题p：APB2,则以AB为直径的圆必与圆x3y1221有公共点,所以

n12n1,解得1n3,因此,命题p是真命题.命题：函数fx44x，f41log30,log3x4log330,且fx在3,4上是连续不断的曲线,所以函数fx在区间3,4内有零点，因此,命题是3假命题.因此只有p(q)为真命题．故选A．f3考点：复合命题的真假．

【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P满足APB2,因此在以AB为直径的圆上,又点P在圆

(x3)2(y1)21上，因此P为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数

4f(x)log3x是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.

x9． 【答案】D

点：由yAsinx的部分图象确定其解析式；函数yAsinx的图象变换．10．【答案】B【

解

析

考

】

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考

点：等比数列前项和的性质.11．【答案】B

考点：双曲线的性质．12．【答案】D

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yex1O第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题

13．【答案】1,11,考点：定义域

14．【答案】　60°　°．

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【解析】解：连结BC1、A1C1，

∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A平行且等于C1C，∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，

因此∠BA1C1（或其补角）是异面直线A1B与AC所成的角，设正方体的棱长为a，则△A1B1C中A1B=BC1=C1A1=∴△A1B1C是等边三角形，可得∠BA1C1=60°，即异面直线A1B与AC所成的角等于60°．故答案为：60°．

a，

【点评】本题在正方体中求异面直线所成角和直线与平面所成角的大小，着重考查了正方体的性质、空间角的定义及其求法等知识，属于中档题．　

15．【答案】　（﹣3，21）　．

【解析】解：∵数列{an}是等差数列，

∴S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d，由待定系数法可得

∵﹣3＜3a3＜3，0＜6a6＜18，∴两式相加即得﹣3＜S9＜21．∴S9的取值范围是（﹣3，21）．故答案为：（﹣3，21）．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．　

16．【答案】　　，解得x=3，y=6．

【解析】解：作

易知可行域为一个三角形，

的可行域如图：

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验证知在点A（1，2）时，z1=2x+y+4取得最大值8，∴z=log4（2x+y+4）最大是，故答案为：．

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．　

17．【答案】②④⑤

【解析】解析：构造函数g(x)ef(x)，g(x)e[f(x)f(x)]0，g(x)在R上递增，

xx∴f(x)eexf(x)1g(x)g(0)x0，∴①错误；

f(x)f(x)f(x)g(x)0，g(x)在R上递增，∴g(2015)g(2014)，构造函数g(x)，xxee∴f(2015)ef(2014)∴②正确；

22构造函数g(x)xf(x)，g(x)2xf(x)xf(x)x[2f(x)xf(x)]，当x0时，g(x)0，∴g(2n1)g(2n)，∴f(2n1)4f(2n)，∴③错误；

xf(x)f(x)xf(x)f(x)0得0，即由f(x)0，∴函数xf(x)在(0,)上递增，在(,0)上递xxx减，∴函数xf(x)的极小值为0f(0)0，∴④正确；

exexxf(x)xx由xf(x)f(x)得f(x)，设g(x)exf(x)，则g(x)ef(x)xf(x)2xxexexxe(x1)，当x1时，g(x)0，当0x1时，g(x)0，∴当x0时，g(x)g(1)0，

xx即f(x)0，∴⑤正确．

x三、解答题

18．【答案】（1）,11,；（2）1,23,4．

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【解析】

考

点：函数的定义域. 1

【方法点晴】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中涉及到分式不等式的求解、一元二次不等式的求解、集合的交集运算等综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确把握函数的定义域，列出相应的不等式或不等式组是解答的关键，同时理解函数的定义域的概念，也是解答的一个重要一环.19．【答案】

A(cosB3sinB)cosC1，2∴cosAcosBcosC3sinBcosC0，

【解析】（I）∵2cos2∴cos(BC)cosBcosC3sinBcosC0，

∴cosBcosCsinBsinCcosBcosC3sinBcosC0，∴sinBsinC3sinBcosC0，因为sinB>0，所以tanC3又∵C是三角形的内角，∴C3.

20．【答案】（1）f(x)x5，x3,2；（2）ff(x)x10，x3.【

解

析

】

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试

题解析：

（1）设f(x)kxb(k0)，111]由题意有：∴f(x)x5，x3,2．考点：待定系数法．21．【答案】

3kb2,k1,

解得

2kb7,b5,

（2）f(f(x))f(x5)x10，x3．

【解析】解：（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和为Sn，首项为b，存在非零常数a，使得（1﹣a）Sn=b﹣an+1对一切n∈N*都成立，由题意得当n=1时，（1﹣a）b=b﹣a2，∴a2=ab=aa1，当n≥2时，（1﹣a）Sn=b﹣an+1，（1﹣a）Sn+1=b﹣an+1，两式作差，得：an+2=a•an+1，n≥2，∴{an}是首项为b，公比为a的等比数列，∴

．

（Ⅱ）当a=1时，Sn=na1=nb，不合题意，当a≠1时，若

，即

，，

化简，得a=0，与题设矛盾，

故不存在非零常数a，b，使得{Sn}成等比数列．

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查使得数列成等比数列的非零常数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．

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22．【答案】

【解析】解：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，等价于a≥x2﹣x在x∈[2，4]恒成立，而函数g（x）=x2﹣x在x∈[2，4]递增，其最大值是g（4）=4，∴a≥4，

若p为真命题，则a≥4；f（x）=x2﹣ax+1在区间对称轴x=≤，∴a≤1，若q为真命题，则a≤1；由题意知p、q一真一假，

当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．　

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA=

又∵A∈（0，π），∴A=

；

，B∈（0，π），=

，=，

上是增函数，

（Ⅱ）∵cosB=∴sinB=

由正弦定理=，得a===3．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．　

24．【答案】（1）y8x；（2）【解析】

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试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接MF2，由垂直平分线的性质可得MPMF2，运用抛物线的定义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当AC或BD中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四边形ABCD面积S2b．当直线AC和BD的斜率都存在时，不妨设直线AC的方程为ykx2，则直

2线BD的方程为y1x2．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得AC，k1利用四边形ABCD面积SACBD即可得到关于斜率的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，BD．

2即可得出．

（2）当直线AC的斜率存在且不为零时，直线AC的斜率为，A(x1,y1)，C(x2,y2)，则直线BD的斜率为1，kyk(x2)2222直线AC的方程为yk(x2)，联立x2y2，得(2k1)x8kx8k80.111]

1488k28k28∴x1x2，x1x2.2212k12k32(k21)1122|AC|1k(x1x2)4x1x2.由于直线的斜率为，用代换上式中的。可得BDkk2k2132(k21)|BD|.

k22116(k21)2∵ACBD，∴四边形ABCD的面积S|AC||BD|2.22(k2)(2k1)(k22)(2k21)23(k21)26422由于(k2)(2k1)[，当且仅当k22k1，即][]，∴S229k1时取得等号.

22易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S8.综上，四边形ABCD面积的最小值为考点：椭圆的简单性质．1

【思路点晴】求得椭圆的焦点坐标,由垂直平分线的性质可得|MP||MF2|,运用抛物线的定义,即可得所求的轨迹方程.第二问分类讨论,当AC或BD中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时,四边形面积为2b.当直线

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AC和BD的斜率都存在时,分别设出AC,BD的直线方程与椭圆联立得到根与系数的关系,利用弦长公式求得

AC,BD,从而利用四边形的面积公式求最值.

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