一组零点题

题目：①已知函数f(x)(x24x3)2ax有四个零点，求a的取值范围；

②已知函数f(x)x24x2|xa|2a恰有两个零点，求a的取值范围； ③若函数f(x)lg(x22ax)lg(8x6a3)仅有一个零点，求a的取值范围．

答案：①(0, 423)；②a2或a317；③a1或a．

2223①解：本题实际是：方程(x24x3)2ax0有四个不同的解，求a的取值范围；

再直线yax与曲线y(x24x3)2有四个交点； 于是，用数形结合的方法处理： 易知，当a0时，有两个交点； 当a423时，有三个交点；

所以，当0a423时，有四个交点； 所以方程有四个不同的解时，a的取值范 围是：(0, 423)．

②解：先去掉绝对值号，原方程可转化为：

xa和(ii)(i)2a(x2x2)xa； 12a(x6x2)3在平面上分别作出上述图形； 则(i)表示的是图中抛物线CBE在 直线ax的下方的那部分抛物线 （包括B、C两点），而(ii)则表示 抛物线FACB有直线ax上方的 那部分曲线（不包括B、C两点）；

注意该曲线是由两个部分组成，B、C之间是虚线；

所以要使原方程仅有两解，只须直线am与上述实线部分的曲线仅有二个交点；

77由于顶点A的纵坐标是，交点C的坐标是2；所以a(,)(2,)．

33③解：令y1x22ax，y28x6a3在平面上作出图形，分别抛物线和直线；

要使原方程有唯一实数解，有下列两类情况：

（原题有误，应为对数而非正切，Sorry） (i)直线与抛物线相切，且切点的纵坐标大于0；

将直线方程代入抛物线方程中，利用0可得：a1或a13； 当a1时，代入可得切点为(3, 15)，适合题意；

当a13时，代入可得切点为(9, 153)，不适合，舍去；

(ii)当直线与抛物线有两个交点，其中一个交点的纵坐标小于或等于0；

当直线与抛物线OBA那一部分相交； 当直线过原点时，a12； 当直线过A点时，a322； 所以当

3123a2时，方程也有唯一实数解； 综合上述：当a1或323a12时，满足题意．