第７卷第２期 邵阳学院学报（自然科学版） ＶＯＩ．７ ＮＯ．２ ２０１０年６月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｏｙａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙｆ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ Ｊ Ｊａｎ．２０１０ 文章编号：１６７２—７０１０（２０１０）０２—０００９—０４ ３ｎ＋２次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值多项式及插值误差 曾长雄 目 （岳阳职业技术学院，湖南岳阳４１４０００） 摘 要：本文考虑３ｎ＋２次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值多项式及插值误差．通过构造基函数的方法得到一个 ３ｎ＋２次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值多项式，并证明其存在唯一性，最后给出了数值例子． 关键词：Ｈｅｒｍｉｔｅ插值；插值误差；数值例子 中图分类号：０２４１ 文献标识码：Ａ ３ｎ＋２Ｏｒｄｅｒｓ Ｈｅｒｍｉｔｅ Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ ａｎｄ Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ Ｅｒｒｏｒ ‘ 、 ＺＥＮＧ Ｃｈｏｎｇ－ｘｉｏｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆｈｔｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｙｕｅｙａｎｇ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｙｕｅｙａｎｇ，Ｃｈｉｎａ ４１４０００） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．３ｎ＋２ ｏｒｄｅｒｓ Ｈｅｒｍｉｔｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ ａｎｄ ｉｓｔ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｅｎＤｒ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．＇ｌｌａｅｙ ａｒｅ ｓｔｌｌｌｃ－－ ｔｕｒｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｂａｓｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，Ｂｏｔｈ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ａｒｅ ｐｒｏｖｅｄ，ＮｕｍｅｆｉｅＭ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｉｆｎａｌｌｙ． Ｋｅｙｗｏｒ￣：Ｈｅｒｍｉｔｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ；ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ １问题的提出 定理１．２满足插值条件（１）的插值多项式 Ｈ （ ）存在唯一，且有如下形式 在构造插值函数时，如果不仅要求插值函数 在节点上函数值与被插值函数的值相同，还要求 川（ ）＝∑［ｆ（ｘｊ）ａｊ（ｘ）＋ｆ （ ） （ ）】（２） ｊ＝ｏ 在节点上函数值与被插值函数的若干阶导数值 其中 （ ）和Ｊ日Ｉ（ ）都是次数不超过２ｎ＋１次的多 也相同，满足这样要求的插值多项式称为埃尔米 项式，若 （ ）为关于节点ａ ＜ ＜…＜ ， ６的 特（Ｈｅｒｍｉｔｅ）插值多项式．它已经广泛的应用于 第 个ＬａｇＴａｎｇｅ插值基函数，则有公式 测量、军二［等学科中．目前大多数教材，如［６，７］ 等主要介绍了２ｎ＋１次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值多项式及插 ａｊ（ｘ）’［１－２（ 毳 者 （３） 值误差．有以下结论Ｉ －’１： （ ＝（ —ＸＥ）， （ 定义１．１设厂（ ）在 ，６】上具有一阶连续导数， 定理１．３设 ２ｎ＋１） ）在 ，６】上连续，ｆ‘ ’（ ）在 已知在互异节点ａ ｘ０＜ ＜…＜ ｂ上存在一 （ａ，ｂ）内存在，则对任何 ∈［口，ｂ］，２ｎ＋１次Ｈｅｒ— 个不超过２ｎ＋１次多项式 ： ），使 ｍｉｔｅ插值多项式有如下插值误差： ． ，）＝／ ）， ＋． ）＝厂 ｊ＝０，１一 （１） ∽＝ 一／－／２肿・∞ ｌ ｆ（２ｎ＋２） 则称 （ｘ）为２ｎ＋１次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值多项式． ２１ １ ， ，（４） 收稿日期：２０１０－０４—２０ 作者简介： 曾长雄（１９６９－），男，岳 职业技术学院ｉＪ－ｌ：￣ｉｌｉ，主要从事数值分析研究． １０ 邵阳学院学报（自然科学版） 第７卷 其中叩ｅ【口，６】依赖于 。∞： ）一ｘ－ ）． 函数方法求满足条件（８）的基函数 （ ），ｐ』（ ） 和 （ ）．为此，可利用Ｌａｇｒａｎｇｅ插值基函数 （ ），令 ２ ３ｎ＋２次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值多项式及插值误差 本节我们将给出３ｎ＋２次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值多项 ）＝（鲫 ＋ ＋ｃ）， ） Ｆ｝１条件（８）有 （ ）＝（ ＋ｂｘＪ＋ｃ） ，）＝１， （１０） 式的定义、存在唯一性和插值误差及证明． 定义２．１设ｆ（ｘ）在 ６］上具有二阶连续导 数，已知在互异节点ａ≤ ＜ ＜…＜ ≤ｂ＿ｋ存 ａ￣（ｘｊ）＝（２ｗｃｊ＋６） （ ，）＋３（锻；＋６ ＋ｃ）『 （． ） （ ）＝０， 在一个不超过３ｎ＋２次多项式 ２（ｘ），使 ａｊ‘（Ｘｊ）＝２ （ 』）＋６（２ ＋６） ２Ｌ． Ｊｆｔ』（ ） 日３ｎ＋２（ ） ）， ［２，Ｊ（． ）【 （ ）】 ＋ ２Ｌ Ｊｆ， ）】＝０， ｎ＋２（ ） （ ）＇ ＋３（ａｘ ＋６ ＋ｃ）， 日 （ ） （ ， ＝ｌ，２，…，ｎ 整理得 则称 ＋２（ ）为３ｎ＋２次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值多项式． ＋ ＋ｃ＝１， 定理２．２满足插值条件（５）的插值多项式 ２ａｘｊ＋６＋３ ）＝０， （１ １） （ ）存在唯一，且有如下形式 ２ａ＋６（２ｏｘｊ＋ｂ）ｌｊ ）＋３１２（／ｊ ）） ＋ （ ）］＝０， Ｌ ＋：∽＝ ｘｊ）ａ￣（ｘ）＋ｆ（ｘｊ ∽十厂（巧） （瑚（６） 解得 ＝其中 （ ），ｐ』（ ）和 （ ）都是次数不超过３ｎ＋２ ６ 『）】 一７’ｌ￣（ｘｊ）， 的多项式，若《『（ ）为关于节点ａ ＜．． ．６ ｂ＝３ ｌ＂ ）一ｌ２ ［ （ ）】 一３ （ ），（１２） 的第 个Ｌａｇｒａｎｇｅ插值基函数，则有公式 ｃ＝ｌ一３ （ ）＋６ｘｊ ［／ｊ（ｘｊ）１ 一÷ 』）， ∽＝【ｌ一３（ｘ％ｇ（ｘＡ＋ｅｇｘ—ｘｊ） ）】２一丢 一ｘｊ） ｌ，ｔ、Ｘ， ３（ ， 于是 ｇ（（曲＝ｘ）＝－３圭（ （ｘ一＿）一 ） （■） （ｊｆ）， （７） （ ）＝Ｉｔ一３（ｘ＋ 』） （ 』）＋６（ｘ—Ｘｊ） ［ （ ）】：一 （ 一． ）：， （ｘ ）】，；（ ）， ‘ ３’ 同理可得 ‘ 证明先通过构造基函数的方法证其存在 （ ）＝［（ｊｆ— ）一３（ 一 ） （■） （ ）， 性． 设存在插值基函数， （ ），Ｂ （ ）和 （戈） （ ）＝ １（ 一 ） ）． （ｊ＝０，１，…，Ｆ／，）共有３ｎ＋３个，每个基函数都为 下面证萌满足条件（８）的插值多项式是唯一 的． ３ｎ＋２次多项式，且满足条件 （ ）＝ ：ｏ，ｊ，ｋ假设 ２（ ）和台３ ２（ ）均满足条件（８）， 』， （ ）＝０， （ ）：。； 于是 （ ＝ ＋：（ 一 ，一２（ ） Ｊ（ ★）＝０， （ ）＝ ／Ｕ（ｘｊ）＝０； （８） 在每个节点 ＝Ｏ，１，２，…， ）上均有＿重根，即 （ ）＝０， （ ）＝０， ｒ Ｘ）＝ （ ）有３ｎ＋３重根，但 （ ）是不高于３ｎ＋２次的 （ ，ｋ＝０，１，２，…，ｒ１） 多项式，故 （ ）：０，唯一性得证，证毕． 于是满足（５）的插值多项式Ｈ（ｘ）＝Ｈ３ （ｘ）可以 注ｌ由于 写成插值基函数表示的形式 ，： 兰二 ：：： 三二 ： 兰二兰：！ ：：： 兰二 ！ ＋：∞＝∑Ｌ ） ∽＋， ） （ ＋厂 （瑚（９） （ 一Ｘｏ）…（ 一 一 Ｘｘ 一 ＋１）…（ｘｊ一 ） 利用两边取对数再求导得 由条件（８），显然有 ）＝鹏１ ）＝厂 ），‰ ）＝厂 ），（，＝ｑ 去’ ） 下面我们采用求Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式的基 ｃ 去 姜 去 ・ 第２期 曾长雄：３ｎ＋２次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值多项式及插值误差 注２ Ｈ，川（ ）也可以通过构造差商表的方 ３数值例子 法构造得到，感兴趣的读者可以参看文献 【４，５，７］． 例设ｆ（ｘ）＝Ｉｎ ，现已矢ｕ厂（ ）的下列数据： 定理２．３设 。 ）在【ｎ，６】上连续 犯 ｆ（１）＝Ｏ，ｆ（２）＝０．６９３１４，ｆ（１）＝ 厂（２）＝Ｑ５，厂（１）＝ ｆ＇（２）＝－－０．２５， （ ）在（口，ｂ）内存在，则对任何 ∈ ，３ｎ＋２次 试用３ｎ＋２次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值法计算厂（１．５）的近似 Ｈｅｒｍｉｔｅ插值多项式有如下插值误差： 值（厂（１．５）＝０．４０５４６５）． 解一构造基函数的方法 ∞ 一‰∞ （１６） Ｉ 十ｊＪ！ 因为共有６个插值条件，所以可构造５次 其中 ∈［口，６】依赖于 Ｉ∞＝（ｘ－ｘｏＸｘ－￣ｉ）。’ ）． Ｈｅｒｍｉｔｅ插值多项式 （ ）来近似ｌｎｘ． 令 ＝１， ＝２，根据 （ ），ｐ，（ ）和ｒｉ（ｘ）的 证明由条件（８）知节点ｘＪ ＝０，１，２，…， ） 构造公式（２．９）及（２．１０）知 为 ＋２（ ）的三重根，于是 ： 一尾 。（ ＝ 一ｘＯ￣（ｘ一 — 一 ＝ ：（ （１７） ９ｘ＋ｌＯＸ２ ， ＝ 一２７ｘ＋１９Ｘｘ—１）３， ｇ（ｘ）＝Ｏ２－５ｘ＋２Ｘ２— ， ∽＝—（ ＿１ ＋１４ 一１）３， 其中Ｋ（ｘ）是与 有关的待定系数． 现把 看成 ，６］上一个同定点，作函数 ∞ （２— ， （ ＝ 一 一１）３， 二 ￣ｔ）＝ｒｉｏ一月 ＋２（，）一Ｋ（ｘＸｔ—ｘｏ） （，一 ） …（，一． ）。（１ ８） 根据插值条件及余项定义，可知节点ｘｊ（ｊ＝Ｏ，１，２， 由此得 …１．５）≈ （１．５）＝Ｏ．４０５３２８； ，ｎ）为 （ｔ）的三重根，胃． （ｔ）：０，故 （ｔ）在 ｆ（【ａ，６］内有３ｎ＋４个零点（重根按重数计算），反复 解二构造差商表的方法１４．５．７Ｉ 应用罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理，得 （３ｎ＋３）（， （ｏ，ｂ）内至 作差商表，注意到在计算ｎ＋１个相同的重节 少有一个零点 ，故 点插商时，要用到公式ｌ’１ ‘ ＋３’（ ）＝ 。 ＋３ （ ）一 （ （（３，ｚ＋３）！）＝０ 厂［ ， ，…， 】＝÷ （： ） 于是 因而有 ～ 赖 ｆ［１，１】＝ｆ （１）＝１，，【２，２】＝ｆ （２）＝Ｏ．５， 邝，１，ｌ】＝ １．，ｔ（１）＝一。．５， 【２＇２，２】＝ １ ”（２）＝一。．１２５， 将它代人（２．１３）就得到余项表达式（２．１２），证毕． 表１差商表 ｌ２ 邵阳学院学报（自然科学版） 第７卷 所以可写出５次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值多项式 风 ）＝．０＋ 一￣）－ａＳ（ｘ一１）％（１１９３１４７（ｘ一１Ｙ－０Ｄ７９４４１ （ 一１） 一２）＋００３３８８２（ｘ—１） 一２ 由此得 ｆ（１．５）≈ （１．５）＝Ｏ．４０５１６７１８４５ 参考文献： ［１］王兴华．论Ｈｅｒｍｉｔｅ插值［Ｊ］．中国科学Ａ辑：数学， ２００７，３７（８）：９４５—９５４． ［２］颜宁生．Ｈｅｒｍｉｔｅ四点插指公式［Ｊ］．应用数学和计 算数学学报，２００８，２２（１）：９７—１０２． ［３］颜宁生．最简型Ｈｅｒｍｉｔｅ插指［Ｊ］．应用数学和计算 数学学报，２００６，２０（１）：７５－８１． ［４］杨士俊，王兴华．Ｈｅｒｍｉｔｅ插值多项式的差商表示 及应用［Ｊ］．高校应用数学学报Ａ辑：２００６，２１（１）： ７０－７８． ［５］冯天祥．用重节点差商法求解埃尔米特插值函数 ［Ｊ］．西南交通大学学报，２００５，４１）（２）：２７３—２７６． ［６］李庆阳，王能超，易大义．数值分析（第４版）［Ｍ］． 北京：清华大学出版社，２００１． ［７］韩旭里，万中．数值分析与试验［Ｍ］．北京：科学出 版社，２００６． ［８］蔡大用．数值分析与试验学习指导［Ｍ］．北京：清华 大学出版社，２００１．
