新华区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(2)

一、选择题

1． 若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（ A．[0，+∞）B．[0，3]

C．（﹣3，0]D．（﹣3，+∞）

）

2． 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ A．众数B．平均数

C．中位数

D．标准差）

C．

D．1

）

3． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ A．0

B．

）

4． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}的元素个数为（ A．4

B．5

C．6

D．9

）

5． 拋物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C：x2－y2＝2的焦点重合，C的渐近线与拋物线E交于非原点的P点，则点P到E的准线的距离为（ A．4 C．8

A．144,144

B．6D．10

）

C．36,144 ）

D．36,36B．144,36

6． 直径为6的球的表面积和体积分别是（

7． 执行如图所示的程序框图，则输出结果S=（

A．158． 直线A．

B．25C．50D．100

）

C．

D．

的倾斜角是（ B．

第 1 页，共 15 页

9． 设集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B=（ A．{1，2}

B．{﹣1，4}

C．{﹣1，2}

D．{2，4}

）

2xy2010．若变量x，y满足约束条件x2y40，则目标函数z3x2y的最小值为（ ）

x10A．-5

B．-4

C.-2

D．3

11．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．

①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等

④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（　　）

A．①②B．②③C．③D．③④

12．

某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ）

A．80＋20πB．40＋20πC．60＋10πD．80＋10π

二、填空题

13．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于　　　　　　．14．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π）　　．第 2 页，共 15 页

15．△ABC外接圆半径为B，C对应的边分别为a，b，c，b=2，，内角A，若A=60°，则c的值为　　　　　　．　

16．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且x(0,2)时f(x)x21，则f(7)的值为 ▲ ．17．曲线y=x+ex在点A（0，1）处的切线方程是　　　　　　．18．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，另一组数据ax1，ax2，ax3，ax4，ax5（a0）的标准差是22，则a ．

三、解答题

19．已知f（x）=x2﹣3ax+2a2．

（1）若实数a=1时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）求不等式f（x）＜0的解集．

20．已知P（m，n）是函授f（x）=ex﹣1图象上任一于点

（Ⅰ）若点P关于直线y=x﹣1的对称点为Q（x，y），求Q点坐标满足的函数关系式（Ⅱ）已知点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=y=h（x）图象上时，公式变为

）=|s﹣ex﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）|，（s∈R，t＞0）的最小值．　

，当点M在函数

，请参考该公式求出函数ω（s，t

第 3 页，共 15 页

21．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．

（1）当a=2，b=1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）令F（x）=f（x）+ax2+bx+（2≤x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；

（3）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．　

22．（本小题满分12分）

如图长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，

BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝4，D1F＝8，过点E，F，C的平面α与长方体的面相交，交线围成一个四边形．

（1）在图中画出这个四边形（不必说明画法和理由）；（2）求平面α将长方体分成的两部分体积之比．

第 4 页，共 15 页

23．已知椭圆

线被椭圆G截得的线段长为（I）求椭圆G的方程；

．

的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直

（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于的取值范围．　

，求直线OP（O是坐标原点）的斜率

24．已知等差数列{an}的首项和公差都为2，且a1、a8分别为等比数列{bn}的第一、第四项．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设cn=

，求{cn}的前n项和Sn．

第 5 页，共 15 页

新华区第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】 D

【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，易知当x=0时上式不成立；故a=令g（x）=2x﹣

=2x﹣

，

=2

，

，则g′（x）=2+

故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，

在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；故作g（x）=2x﹣

的图象如下，

，

g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，

故结合图象可知，a＞﹣3时，方程a=2x﹣

有且只有一个解，

即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，

第 6 页，共 15 页

故选：D．　

2． 【答案】D

【解析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90众数分别为88，90，不相等，A错．平均数86，88不相等，B错．中位数分别为86，88，不相等，C错A样本方差S2=B样本方差S2=故选D．

【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．　

3． 【答案】C

【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°=cos45°cos15°+sin45°sin15°=cos（45°﹣15°）=cos30°=

．

[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2， [（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确

故选：C．

【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．　

4． 【答案】B

【解析】解：①x=0时，y=0，1，2，∴x﹣y=0，﹣1，﹣2；②x=1时，y=0，1，2，∴x﹣y=1，0，﹣1；③x=2时，y=0，1，2，∴x﹣y=2，1，0；∴B={0，﹣1，﹣2，1，2}，共5个元素．故选：B．　

5． 【答案】

【解析】解析：选D.双曲线C的方程为x－y＝1，其焦点为（±2，0），由题意得p＝2，

222

2∴p＝4，即拋物线方程为y＝8x，

2

2

第 7 页，共 15 页

双曲线C的渐近线方程为y＝±x，

2＝8x由y，解得 x＝0（舍去）或x＝8，则P到E的准线的距离为8＋2＝10，故选D.y＝±x

{)6． 【答案】D【解析】

考点：球的表面积和体积．7． 【答案】C

【解析】解：根据程序框图，S=（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+（﹣97+99）=50，输出的S为50．故选：C．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．　

8． 【答案】A

【解析】解：设倾斜角为α，∵直线∴tanα=

，

的斜率为

，

∵0°＜α＜180°，∴α=30°故选A．

【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．　

9． 【答案】A

【解析】解：集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B={1，2}．故选：A．

【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．　

10．【答案】B【解析】

第 8 页，共 15 页

31xz，直线系在可22行域内的两个临界点分别为A(0,2)和C(1,0)，当直线过A点时，z3x2y224，当直线过C点

试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系y时，z3x2y313，即的取值范围为[4,3]，所以Z的最小值为4.故本题正确答案为B.

考点：线性规划约束条件中关于最值的计算.11．【答案】D

【解析】

【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假．

【解答】解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，∴AC=BC=，AB=

当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确

使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；

取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确故选D12．【答案】

【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．依题意得（2r×2r＋1πr2）×2＋5×2r×2＋5×2r＋πr×5＝92＋14π，

22 即（8＋π）r＋（30＋5π）r－（92＋14π）＝0，即（r－2）[（8＋π）r＋46＋7π]＝0，

第 9 页，共 15 页

∴r＝2，

∴该几何体的体积为（4×4＋1π×22）×5＝80＋10π.

2

二、填空题

13．【答案】　　．

【解析】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去故答案为：．

【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．　

14．【答案】　

【解析】解：ρ=∴点P的极坐标为故答案为：

．

=．

，tanθ=

=﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=

．

　．

15．【答案】　　．

【解析】解：∵△ABC外接圆半径为∴由正弦定理可得：

，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，

，解得：a=3，

∴利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：9=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣5=0，∴解得：c=1+故答案为：基础题．　

16．【答案】2【解析】1111]

试题分析：f(x4)f(x)T4,所以f(7)f(1)f(1)2.考点：利用函数性质求值

，或1﹣．

（舍去）．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于

第 10 页，共 15 页

17．【答案】　2x﹣y+1=0　．

【解析】解：由题意得，y′=（x+ex）′=1+ex，∴点A（0，1）处的切线斜率k=1+e0=2，

则点A（0，1）处的切线方程是y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0，故答案为：2x﹣y+1=0．

【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于基础题．　

18．【答案】2【解析】

试题分析：第一组数据平均数为x,(x1x)(x2x)(x3x)(x4x)(x5x)2，

22222(ax1ax)2(ax2ax)2(ax3ax)2(ax4ax)2(ax5ax)28,a24,a2．

考点：方差；标准差．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）当a=1时，依题意得x2﹣3x+2≤0因式分解为：（x﹣2）（x﹣1）≤0，解得：x≥1或x≤2．∴1≤x≤2．

不等式的解集为{x|1≤x≤2}．（2）依题意得x2﹣3ax+2a2＜0∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0…对应方程（x﹣a）（x﹣2a）=0得x1=a，x2=2a当a=0时，x∈∅．

当a＞0时，a＜2a，∴a＜x＜2a；当a＜0时，a＞2a，∴2a＜x＜a；

综上所述，当a=0时，原不等式的解集为∅；当a＞0时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2a}；当a＜0时，原不等式的解集为{x|2a＜x＜a}；　

20．【答案】

第 11 页，共 15 页

【解析】解：（1）因为点P，Q关于直线y=x﹣1对称，所以．

解得．又n=em﹣1，所以x=1﹣e（y+1）﹣1，即y=ln（x﹣1）．

（2）ω（s，t）=|s﹣ex﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）﹣1|=

，

令u（s）=

．

则u（s），v（t）分别表示函数y=ex﹣1，y=ln（t﹣1）图象上点到直线x﹣y﹣1=0的距离．由（1）知，umin（s）=vmin（t）．

而f′（x）=ex﹣1，令f′（s）=1得s=1，所以umin（s）=故

．

．

【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题，同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后再利用函数的思想求解．体现了解析几何与函数思想的结合．　

21．【答案】

【解析】解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．…当a=2，b=1时，f（x）=lnx﹣x2﹣x，f′（x）=﹣2x﹣1=﹣

令f′（x）=0，解得x=．…

当0＜x＜时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．

所以函数f（x）的单调增区间（0，），函数f（x）的单调减区间（，+∞）．…（2）F（x）=lnx+，x∈[2，3]，

．

第 12 页，共 15 页

所以k=F′（x0）=

≤，在x0∈[2，3]上恒成立，…

所以a≥（﹣x02+x0）max，x0∈[2，3]…

当x0=2时，﹣x02+x0取得最大值0．所以a≥0．…（3）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，

因为方程f（x）=mx在区间[1，e2]内有唯一实数解，所以lnx+x=mx有唯一实数解．∴m=1+

，…

，则g′（x）=

．…

g′（x）＜0，得x＞e，

设g（x）=1+

令g′（x）＞0，得0＜x＜e；

∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e2]上是减函数，…1 0分∴g（1）=1，g（e2）=1+所以m=1+，或1≤m＜1+　

22．【答案】【解析】解：

=1+．…

，g（e）=1+，…

（1）交线围成的四边形EFCG（如图所示）．（2）∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，平面A1B1C1D1∩α＝EF，平面ABCD∩α＝GC，∴EF∥GC，同理EG∥FC.∴四边形EFCG为平行四边形，过E作EM⊥D1F，垂足为M，∴EM＝BC＝10，

∵A1E＝4，D1F＝8，∴MF＝4.

第 13 页，共 15 页

∴GC＝EF＝EM2＋MF2＝102＋42＝116，∴GB＝GC2－BC2＝116－100＝4（事实上Rt△EFM≌Rt△CGB）．

过C1作C1H∥FE交EB1于H，连接GH，则四边形EHC1F为平行四边形，由题意知，B1H＝EB1－EH＝12－8＝4＝GB.

∴平面α将长方体分成的右边部分由三棱柱EHG-FC1C与三棱柱HB1C1­GBC两部分组成．其体积为V2＝V三棱柱EHG-FC1C＋V三棱柱HB1C1­GBC＝S△FC1C·B1C1＋S△GBC·BB1

＝1×8×8×10＋1×4×10×8＝480，22

∴平面α将长方体分成的左边部分的体积V1＝V长方体－V2＝16×10×8－480＝800.15V∴＝800＝，V24803

∴其体积比为5（3也可以）．35

23．【答案】

【解析】解：（I）∵椭圆

的左焦点为F，离心率为

．

，

过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为∴点

在椭圆G上，又离心率为

，

∴，解得

∴椭圆G的方程为．

．∴点F的坐标为（﹣1，0）．

（II）由（I）可知，椭圆G的方程为

设点P的坐标为（x0，y0）（x0≠﹣1，x0≠0），直线FP的斜率为k，则直线FP的方程为y=k（x+1），由方程组

消去y0，并整理得

．

又由已知，得，解得或﹣1＜x0＜0．

第 14 页，共 15 页

设直线OP的斜率为m，则直线OP的方程为y=mx．由方程组

消去y0，并整理得

．

由﹣1＜x0＜0，得m2＞，

∵x0＜0，y0＞0，∴m＜0，∴m∈（﹣∞，﹣由﹣＜x0＜﹣1，得

，

＜m＜﹣

．

）∪（﹣

，﹣

）．

），

∵x0＜0，y0＞0，得m＜0，∴﹣

∴直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆与直线的位置关系的合理运用．　

24．【答案】

【解析】解：（1）由等差数列通项公式可知：an=2+（n﹣1）2=2n，当n=1时，2b1=a1=2，b4=a8=16，…3设等比数列{bn}的公比为q，则∴q=2，…5∴

…6

（2）由（1）可知：log2bn+1=n…7∴∴

∴{cn}的前n项和Sn，Sn=

．…12

，

…9

，…4

【点评】本题考查等比数列及等差数列通项公式，等比数列性质，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．　

第 15 页，共 15 页