2019年河南省六市高三第一次联考试题(数学理)

2019年河南省六市高三第一次联考试题

数学(理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项:

1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。

第I卷(选择题共60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合 A = {x|x2x30}，B = {x|yln(2x)}，则AB A.(l,3) B.(l,3] C.[-1,2) D.(-1,2) 2.设复数z1i,则

25z2 zA. 5i5i5i5i B.  C.  D. 22222222

00003.cos70sin50cos200sin40的值为

A. 3311B.C.D.

22224.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、 ……、《辑古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。这10部专

著中有1部产生于魏晋南北朝时期。某中学拟从这10部专著中选择2部作为 “数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的 概率为 A.

14127B.C.D.

1515995.已知函数f(x)3ln(xA.充分不必要条件

x21)a(7x7x),xR，则“a =0”是“函数f(x)为奇函数的

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧， 则该几何 体的表面积为

A. 642 B. 642 C. 802 D. 802 7.若x(e1,1),alnx,b()lnx,celnx，则 A. b >c >a B. c > b > a C. b > a > c

D. a > b >c

128.若将函数f(x)sin(2x)3cos(2x)0<<的图象向左平移

个单位长度，平移后的4图象关于点(2,0)对称，则函数g(x)cos(x)在[,]上的最小值是 26A. 3211B.C.D. 2222x2y29.已知变量x,y满足约束条件2xy4，则目标函数z3xy的最大值是

4xy1A. -6 B. C. -1

23 D.6

10. 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若

2accosC,b4，则△ABC的面积的最大值 bcosBA. 43 B. 23 C. 33 D. 3

11. 抛物线y8x的焦点为F，设（x1,y1)，B(x2,y2)是抛物线上的两个动点，若

2

x1x2423|AB|，则∠AFB的最大值为 3A.

352B.C.D.

46 33212.函数f(x)是定义在（1，+∞)上的可导函数，f'(x)为其导函数，若f(x)(x1)f'(x)x(x2),则不等式f(e)<0的解集为 A. (0,1) B. (0,2)

C. (1,2)

D. (2, +∞)

2

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

13.已知向量a = (1;0)，丨b丨>2，a与b的夹角为600，若c=a + b，d =a-b，则c在d方向上的投影为 . 14.在(x14)的展开式中，常数项为 . xx2y215. 已知双曲线221 (a>b>0),焦距为2c，直线l经过点(a，0)和(0,b)，若（-a，0)到直线l的

ab距离为

22c，则离心率为 . 316.如图，△ABC是等腰直角三角形，斜边AB= 2，D为直角边BC上 一点(不含端点)，将△ACD沿直线AD折叠至△AC1D的位置，使得 C1在平面ABD外，若C1在平面上的射影H恰好在线段AB上，则 从的取值范围是 .

三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分）

设数列{an}前n项和为S，且满足a1r,Snan11(nN). 32(I)试确定r的值，使{an}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； (II )在（I)的条件下，设bnlog2a，求数列{|an|}的前n项和Tn.

18.(本小题满分12分）

已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32,48,32。现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查。

(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(II)若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检査。 (i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望知方差；

(ii)设4为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件4发生的概率。

19.(本小题满分12分）

已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示,AB丄BC，AB//CD，且AB=2CD。将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB丄平面BEC。 (I)求证:平面ABE丄平面ADE； (II)求二面角A-DE-B的余弦值.

20.(本小题满分12分)

x2y2 已知椭圆C:221 (a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的任意一点，且

b ax2y2|PF1||PF2|的最大值为4,椭圆C的离心率与双曲线1的离心率互为倒数。

412(I)求椭圆C的方程； (II)设点P（-1，

33222)，过点P作两条直线l1，l2与圆(x1)yr (0＜r＜)相切且分别交椭22圆于M，N，求证:直线MN的斜率为定值。

21.(本小题满分12分）

2 已知函数f(x)xxx.

(I)求函数yf(x)的零点的个数；

ax2ax1(II)令g(x)lnx，若函数yg(x)在(0，)内有极值，求实数a的取值范围。

ef(x)x

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分）【选修4 - 4:坐标系与参数方程选讲】

在平面直角坐标系中，曲线C1:xy2，曲线C2的参数方程为 y2sin坐标原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (I)求曲线C1，C2的极坐标方程； (II)在极坐标系中，射线MAB的面积。

23. (本小题满分10分）【选修4 -5:不等式选讲】 已知函数f(x)|2x2|5. (I)解不等式: f(x)|x1|；

(II)当时x1时，函数g(x)f(x)|xm|恒为正值,求实数m的取值范围。

22x22cos(为参数)。以

6与曲线C1，C2分别交于A，B两点（异于极点O)，定点M (3,0),求△

2019年河南省六市高三第一次联考试题

数学（理科）参考答案

一、选择题

1-6 CDBACD 7-12 ACDADB 二、填空题

（，12）13．－3; 14．－5; 15．3; 16.

三、解答题

17．（本小题满分12分） 【解析】

（Ⅰ）当n=1时，S1a211，a2a1， ----------------1分 3232当n≥2时，Sn1an1，与已知式作差得an=an+1﹣an，即an+1=2an（n≥2）， 32欲使{an}为等比数列，则a2=2a1=2r，又a2a111，∴r， ------------4分 3232故数列{an}是以

1为首项，2为公比的等比数列， 32所以an2n6---------------------------6分

6n,n6, ------------------------8分

n6,n6（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=n﹣6，∴|bn|若n＜6，Tnb1b211nn2bn，

2b5b6n211nbn30，

2若n≥6，Tnb1b211nn2, n<62∴Tn． -------------------------------12分

2n11n30,n62

18.（本小题满分12分） 【解析】

（Ⅰ）三个部门的员工总人数为48+32+32=112（人） 甲部门抽取的员工：732482；乙部门抽取的员工：73； 112112322------------------4分 112

丙部门抽取的员工：7

（Ⅱ）X0,1,2,3

123C3C418C44P(X0)3;P(X1)3C735C735P(X2)CC12C1;P(X3)3C735C3523143337--------------6分

所以X的分布列为：

X p 0 1 2 3 4 3518 3512 351 35

E(X)0418121459123 353535353579491891291， -----9分 D(X)(0)2(1)2(2)2(3)27357357357354931221（ii）从7人中抽取的3人，有C7种等可能的结果，其中A有C3C4C3C4种结果，

121C3C4C32C4306所以P(A).------------12分 3C7357

19．（本小题满分12分） 【解析】

1

（Ⅰ）证明：取BE的中点F，AE的中点G，连接FG、GD、CF，则GF//AB.

21

∵DC//AB，∴CD//GF，∴四边形CFGD为平行四边形，

2

∴CF∥DG. -------------------------------------------1分 ∵AB⊥平面BEC， ∴AB⊥CF.

∵CF⊥BE，AB∩BE＝B，

∴CF⊥平面ABE.-----------------------------------------2分

∵CF∥DG, ∴DG⊥平面ABE. ∵DG⊂平面ADE，

∴平面ABE⊥平面ADE. -----------------------------------------4分 （Ⅱ）过E作EO⊥BC于O. ∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥EO.

∵AB∩BC＝B，∴EO⊥平面ABCD. --------------5分

以O为坐标原点，OE、BC所在的直线分别为x轴、y轴，过O且 平行于AB的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB＝BC＝4，则A(0，－2,4)，B(0，－2,0)，D(0,2,2)，

E(23，0,0)，

→→

∴ED＝(－23，2,2)，EA＝(－23，－2,4)， →

EB＝(－23，－2,0)．------------------------------6分

→n·ED＝0，

设平面EAD的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则有

→n·EA＝0，

－3x1＋y1＋z1＝0，

即

－3x1－y1＋2z1＝0.

取z1＝2得x1＝3，y1＝1，则n＝(3，1,2)，----------------------------8分 →m·ED＝0，

设平面BDE的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则有

→m·EB＝0，

－3x2＋y2＋z2＝0，

即

3x2＋y2＝0，

取x2＝1，得y2＝－3，z2＝23，

则m＝(1，－3，23)．----------------------------------10分

∴cos=nm(3,1,2)(1,3,23)6. |n||m|43141312又由图可知，二面角A­DE­B的平面角为锐角， ∴其余弦值为

20．（本小题满分12分） 【解析】

（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，则PF1PF2(6

．----------------------------------12分 4

PF1PF22)a24,所以a2 2x2y241211的离心率为2，可知椭圆C的离心率为， 双曲线

24122可知

c122，解得c1,ba13 a2x2y21 -------------------------4分 所以椭圆C的方程为43（Ⅱ）点P(1,)在椭圆C上，显然两直线l1,l2的斜率存在，设为k1,k2，M(x1,y1),N(x2,y2)，由

32于直线与圆(x1)2y2r2(0r)相切，可知k1k2

32x2y21343直线l1:yk1(x1)，联立方程组，可得

2y3k(x1)1233(34k12)x28k1(k1)x4(k1)2120-------------------8分

2238k1(k1)4k1212k132x1所以 x11, 2234k134k124k14k1212k13xx所以x2, 122234k34k11

8k126又x1x2 234k18k12612k1--------------10分 y1y2k1(x1x2)2k1k1()2k134k1234k1212k1y1y234k121， 可知直线MN的斜率为k24k1x1x2234k12故所求的直线MN的斜率为

21．（本小题满分12分） 【解析】

（Ⅰ）因为f(0)=0，所以x0为yf(x)的一个零点， ------------------1分 当x0时，f(x)x(x2112x31. ------------------------------12分 21x)，设(x)x211x，则

(x)2x0，∴(x)在(0,)单调递增， ------------------3分

又(1)10，(2)3120，

故(x)在(0,)上有唯一零点，且在(1,2)内，

所以yf(x)在[0,)有且仅有2个零点. ----------------------------5分 （Ⅱ）g(x)ax2axf(x)xlnxax(x1)alnxlnx，

x(x1)(x1)x1定义域为(0,1)(1,)，

ax2(2a)x1， ----------------------------6分 g(x)x(x1)2x(x1)22设h(x)x(2a)x1，要使yg(x)在(0,)内有极值，则h(x)0有两个不同的根x1，x2，且

e有一根在(0,)， -----------------------------8分

e

所以(2a)40，解得a0或a4， 不妨设0x12，又x1x21， e所以0x1ex2， ---------------------------------10分 ee(2a)10， e2e所以h(0)1，则只需h()0，即

解得ae2， e2----------------------------------12分 e所以a的取值范围为ae

22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 【解析】

（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为2cos22sin22，

因为曲线C2的普通方程为x2y24，所以xy4x0，

222所以曲线C2的极坐标方程为4cos． ---------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：点A的极坐标为2,，点B的极坐标为23,，

66所以AB223232，M3,0点到射线30的距离为d3sin， 662所以△MAB的面积为

113333． -------------------10分 ABd232222223．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 【解析】

（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于

x11x1x1或或， 2x251x2x251x2x25x1解得x8或或x2，

综上所述，不等式fxx1的解集为,82,．-------------------4分

（Ⅱ）当m1时，则gx2x25x13x153x20，只需g13120，不可能！

当m1时，gx2x2xm5xm2x33xm3,xm，

xm3,xm要使函数gxfxxm恒为正值，则gxming11m30m4 当m1时，gx2x2xm53xm30恒成立， 只需要gxmin31m30m6 综上所述，实数m的取值范围是：,6

4,．-------------------10分

7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。虽极力藏匿它，克服它，消灭它，但无论如何，它在不知不觉之间，仍旧显露。——富兰克林 8、女人固然是脆弱的，母亲却是坚强的。——法国 9、慈母的胳膊是慈爱构成的，孩子睡在里面怎能不甜？——雨果 10、母爱是多么强烈、自私、狂热地占据我们整个心灵的感情。——邓肯 11、世界上一切其他都是假的，空的，唯有母亲才是真的，永恒的，不灭的。——印度