2019年高考数学真题分类汇编 2.2 函数的基本性质 理

2019年高考数学真题分类汇编 2.2 函数的基本性质 理

考点一 函数的单调性

1.(xx北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=

B.y=(x-1)2 C.y=2-x D.y=log0.5(x+1)

答案 A

2.(xx山东,5,5分)已知实数x,y满足ax B.ln(x2+1)>ln(y2+1) C.sin x>sin y D.x3>y3 答案 D

3.(xx陕西,7,5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( ) A.f(x)= B.f(x)=x3 C.f(x)= D.f(x)=3x 答案 D

4.(xx课标Ⅱ,15,5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是 . 答案 (-1,3)

考点二 函数的奇偶性与周期性

5.(xx课标Ⅰ,3,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 答案 C

6.(xx湖南,3,5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )

A.-3 B.-1 C.1 答案 C

7.(xx安徽,6,5分)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则f =( ) A. B. C.0 D.- 答案 A

8.(xx湖北,10,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R, f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( ) A. B. C. 答案 B

9.(xx四川,12,5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时, f(x)=则f= . 答案 1

10.(xx江苏,19,16分)已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.

D.

D.3

B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

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(1)证明:f(x)是R上的偶函数;

(2)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;

(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)解析 (1)证明:因为对任意x∈R,都有f(-x)=e-x+e-(-x)=e-x+ex=f(x),所以f(x)是R上的偶函数. (2)由条件知m(ex+e-x-1)≤e-x-1在(0,+∞)上恒成立, 令t=ex(x>0),则t>1,所以m≤-=-对任意t>1成立.

因为t-1++1≥2+1=3,所以-≥-,当且仅当t=2,即x=ln 2时等号成立. 因此实数m的取值范围是. (3)令函数g(x)=ex+-a(-x3+3x), 则g'(x)=ex-+3a(x2-1).

当x≥1时,ex->0,x2-1≥0,又a>0,故g'(x)>0,所以g(x)是[1,+∞)上的单调增函数,因此g(x)在[1,+∞)上的最小值是g(1)=e+e-1-2a.

由于存在x0∈[1,+∞),使+-a(-+3x0)<0成立,当且仅当最小值g(1)<0, 故e+e-1-2a<0,即a>.

令函数h(x)=x-(e-1)ln x-1,则h'(x)=1-. 令h'(x)=0,得x=e-1.

当x∈(0,e-1)时,h'(x)<0,故h(x)是(0,e-1)上的单调减函数; 当x∈(e-1,+∞)时,h'(x)>0,故h(x)是(e-1,+∞)上的单调增函数. 所以h(x)在(0,+∞)上的最小值是h(e-1).

注意到h(1)=h(e)=0,所以当x∈(1,e-1)⊆(0,e-1)时,h(e-1)≤h(x)③当a∈(e,+∞)⊆(e-1,+∞)时,h(a)>h(e)=0,即a-1>(e-1)ln a,故ea-1>ae-1. 综上所述,当a∈时,ea-1ae-1.

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