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专题七 新定义阅读理解题
(2019·重庆A卷)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性数进行研究．如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．
定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位； 23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位． (1)判断2 019和2 020是否是“纯数”？请说明理由； (2)求出不大于100的“纯数”的个数．
【分析】(1)根据纯数的定义逐一判断2 019和2 020即可；
(2)判断不大于100的“纯数”的个数，可先从个位数字入手，确定个位数字的特点，再确定十位数字的特点，即可得到对应的“纯数”． 【自主解答】
1．(2018·重庆A卷)对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，
百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
(1)请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
(2) 如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数，m
若四位数m为“极数”，记D(m)＝.求满足D(m)是完全平方数的所有m.
33
2．(2020·原创)若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“中2数”，记作F(N)，如34
的“中2数”为F(34)＝324；若将一个两位正整数M加2后得到一个新数，我们称这个新数为M的“尾2数”，记作P(M)，如34的“尾2数”为P(34)＝36.F（T）－P（T）
对于任意一个两位正整数T，令Q(T)＝.
9(1)判断Q(T)是否为整数，并说明理由；
(2)对于一个两位正整数M，若P(M)的各位数之和是M的各位数之和的一半，求M的值．
3．(2017·重庆A卷)对于任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后，可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和
与111的商记为F(n)，例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位和个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，∴F(123)＝6. (1)计算：F(243)，F(617)；
(2)若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，F（s）
x，y都是正整数)，规定：k＝，当F(s)＋F(t)＝18时，求k的最大值．
F（t）
4．(2020·原创)事实：我们知道若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除，反之也成立．
定义：对于一个两位数m和一个三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这样方式产生的所有新的两
位数的和我们称之为“二三联合”，用F(m，n)表示．例如数12与345的“二三联合”为F(12，345)＝13＋14＋15＋23＋24＋25＝114. (1)填空：F(11，369)＝________ ；F(16，123)＝________ ；
(2)若一个两位数s＝21x＋y，一个三位数t＝121x＋y＋199(其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x，y均为整数)，交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中的“二三联合”的最大值．
5．(2019·九龙坡区模拟)数学不仅是一门科学，也是一种文化，即数学文化．数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面．古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，
然后是8粒、16粒、32粒…一直到第64格．”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑．大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里有这么多米吗？题中问题就是求1＋21＋22＋23＋…＋263是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了．
设S＝1＋21＋22＋23＋…＋263，则2S＝2(1＋21＋22＋23＋24＋…＋263)＝2＋22＋23＋24＋…＋263＋264.2S－S＝2(1＋21＋22＋23＋24＋…＋263)－(1＋21＋22＋23＋24＋…＋263)，
即：S＝264－1.事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的64个格子需要1＋21＋22＋23＋…＋263＝(264－1)粒米．那么264－1到底多大呢？借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个20位数：18 446 744 073 709 551 615，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求．请用你学到的方法解决以下问题：
(1)我国古代数学名著《算法统宗》中有一问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有多少盏灯？
(2)计算：1＋3＋9＋27＋…＋3n；
(3)某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知一列数：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，…，依此类推．求满足如下条件的所有正整数N：10＜N＜100，且这一列数前N项和为2的正整数幂．请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数N的值．
参考答案
【例1】解：(1)当n＝2 019时，n＋1＝2 020，n＋2＝2 021， ∵9＋0＋1＝10，需进位，∴2 019不是“纯数”； 当n＝2 020时，n＋1＝2 021，n＋2＝2 022， 个位：0＋1＋2＝3，不需要进位； 十位：2＋2＋2＝6，不需要进位； 百位：0＋0＋0＝0，不需要进位； 千位：2＋2＋2＝6，不需要进位； ∴2 020是“纯数”．
(2)当n＝0时，n＋1＝1，n＋2＝2，则0＋1＋2＝3，不需要进位，∴0是“纯数”；
当n＝1时，n＋1＝2，n＋2＝3，1＋2＋3＝6，不需要进位，∴1是“纯数”； 当n＝2时，n＋1＝3，n＋2＝4，2＋3＋4＝9，不需要进位，∴2是“纯数”； 当n＝3时，n＋1＝4，n＋2＝5，3＋4＋5＝12，需要进位，∴3不是“纯数”， 综上可知，当这个自然数是一位自然数时，只能是0，1，2；
当这个自然数是两位自然数时，这个自然数可以是10，11，12，20，21，22，
30，31，32，共9个，
当这个自然数是三位自然数时，100是“纯数”，
∴不大于100的自然数中，“纯数”的个数为3＋9＋1＝13. 跟踪训练
1．解：(1)1 188；2 475; 9 900.(答案不唯一) 猜想：任意一个“极数”是99的倍数．理由如下：
设任意一个“极数”为xy(9－x)(9－y)(其中1≤x≤9，0≤y≤9，且x，y均为整数)，
则xy(9－x)(9－y)＝1 000x＋100y＋10(9－x)＋9－y ＝1 000x＋100y＋90－10x＋9－y ＝99(10x＋y＋1)．
∵x，y为整数，∴10x＋y＋1为整数， ∴任意一个“极数”是99的倍数． (2)设m＝xy(9－x)(9－y)， 由题意可知，D(m)＝
99（10x＋y＋1）
＝3(10x＋y＋1)，
33
∵1≤x≤9，0≤y≤9，∴33≤3(10x＋y＋1)≤300， ∵D(m)是完全平方数，
∴D(m)可取的值为36，81，144，225，
当D(m)＝36时，3(10x＋y＋1)＝36，则x＝1，y＝1，m＝1 188； 当D(m)＝81时，3(10x＋y＋1)＝81，则x＝2，y＝6，m＝2 673； 当D(m)＝144时，3(10x＋y＋1)＝144，则x＝4，y＝7，m＝4 752； 当D(m)＝225时，3(10x＋y＋1)＝225，则x＝7，y＝4，m＝7 425.
综上所述，满足D(m)为完全平方数的m的值为1 188，2 673，4 752，7 425.
2．解：(1)Q(T)是整数．理由如下： 设两位正整数T为ab，则T＝10a＋b， ∴F(T)＝a2b＝100a＋20＋b， P(T)＝10a＋b＋2，
∴F(T)－P(T)＝100a＋20＋b－(10a＋b＋2) ＝90a＋18＝9(10a＋2)， ∵a为整数，∴10a＋2为整数， F（T）－P（T）
∴Q(T)＝是整数．
9(2)设M＝ab，1≤a≤9，0≤b≤9， ∴M＋2＝10a＋b＋2，
∵M＋2的各数位上的数之和比M各数位上的数之和小， ∴M＋2后，个位发生了进位，
∴b≥8，且M＋2＝10(a＋1)＋(b＋2－10)， 1
∴a＋1＋b＋2－10＝(a＋b)，
2整理得a＋b＝14，
∴a＝6，b＝8，或a＝5，b＝9， ∴M为68或59.
3．解：(1)F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9， F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14. (2)∵s，t都是相异数，
∴F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5， F(t)＝(510＋y＋100y＋51＋105＋10y)÷111＝y＋6，
∵F(s)＋F(t)＝18，
∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18， ∴x＋y＝7,
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
x＝1x＝2x＝3x＝4x＝5x＝6∴或或或或或， y＝6y＝5y＝4y＝3y＝2y＝1
∵s是相异数，∴x≠2，x≠3， ∵t是相异数，∴y≠1，y≠5，
x＝1x＝4x＝5∴满足条件的有或或，
y＝6y＝3y＝2F（s）＝6F（s）＝9F（s）＝10
∴或或， F（t）＝12F（t）＝9F（t）＝8
F（s）61F（s）9F（s）105∴k＝＝＝或k＝＝＝1或k＝＝＝，
F（t）122F（t）9F（t）8415∵<1<， 245
∴k的最大值为.
4
4．解：(1)F(11，369)＝13＋16＋19＋13＋16＋19＝96； F(16，123)＝11＋12＋13＋61＋62＋63＝222.
(2)已知s＝21x＋y＝20x＋(x＋y)，t＝121x＋y＋199＝100(x＋2)＋20x＋(x＋y－1)，
∵1≤x≤4，1≤y≤5，且x，y均为整数，
∴t′＋3(x＋y)＝100(x＋y－1)＋20x＋x＋2＋3(x＋y)＝124x＋103y－98， ∵t′＋3(x＋y)能被11整除，
t′＋3（x＋y）121x＋99y－993x＋4y＋13x＋4y＋1∴＝＋＝11x＋9y－9＋为
11111111
整数， ∴
3x＋4y＋1
是整数，∵1≤x≤4，1≤y≤5， 11
∴8≤3x＋4y＋1≤33，
∴当3x＋4y＋1＝11时，x＝2，y＝1，此时s＝43，t＝442； 当3x＋4y＋1＝22时，得x＝3，y＝3，此时s＝66，t＝565； 当3x＋4y＋1＝33时，x＝4，y＝5，此时s＝89，t＝688. ∴F(s，t)的最大值为F(89，688)＝554. 5．解：(1)设塔的顶层有x盏灯，依题意得： x＋21x＋22x＋23x＋24x＋25x＋26x＝381， 解得：x＝3，
答：塔的顶层共有3盏灯．
(2)设S＝1＋3＋9＋27＋…＋3n，则3S＝3(1＋3＋9＋27＋…＋3n)＝3＋9＋27＋…＋3n＋3n＋1，
∴3S－S＝(3＋9＋27＋3n＋3n＋1)－(1＋3＋9＋27＋3n)， ∴2S＝3n＋1－1， 3n＋1－1∴S＝，
2
n＋13－1n
即：1＋3＋9＋27＋…＋3＝.
2
(3)由题意这列数分n＋1组：前n组含有的项数分别为：1，2，3，…，n，最后一组x项，根据材料可知每组和公式，求得前n组每组的和分别为：21－1，22－1，23－1，…，2n－1，
n（n＋1）
前n组共有项数为N′＝1＋2＋3＋…＋n＝，
2
前n组所有项数的和为Sn＝21－1＋22－1＋23－1＋…＋2n－1＝(21＋22＋23＋…＋2n)－n＝2n＋1－2－n，
由题意可知：2n＋1为2的整数幂．只需最后一组x项将－2－n消去即可， 1×（1＋1）
则①1＋2＋(－2－n)＝0，解得：n＝1，总项数为N＝＋2＝3，不满
2足10 ②1＋2＋4＋(－2－n)＝0，解得：n＝5，总项数为N＝＋3＝18，满 2足10 ③1＋2＋4＋8＋(－2－n)＝0，解得：n＝13，总项数为N＝＋4 2＝95，满足10 ④1＋2＋4＋8＋16＋(－2－n)＝0，解得：n＝29，总项数为N＝＋25＝440，不满足10 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容