复习指津 ＺＨＯＮＧＸＵＥ ＪＩＡＯＸＵＥ ＣＡＮＫＡＯ 椭圆中的“焦点三角形＂性质及应用 浙江苍南县钱库高级中学（３２５８０４） 章显军 “焦点三角形”问题是考试中比较常见的考题．椭圆 ‘。．一ｎ＜ｚ０＜口，．‘． ＜以 ， “焦点三角形”的定义为：椭圆上的任意一点（除长轴端 ‘．．当３２ｏ一０时，ｃｏｓＯ取最小值，此时０最大，即若 点外）与两个焦点构成的三角形．通常“焦点三角形”的 Ｆ１ＰＦ２最大，则点Ｐ为椭圆短轴的端点． 问题都有意地考查了椭圆的定义、三角形中的正弦、余 通过性质二，可得应用二： 弦定理、三角形的面积、内角大小等知识，现笔者就椭圆 “焦点三角形”的性质及应用举例分析如下． １．点Ｐ在椭圆 ＋ｙ。一１上，Ｆ１、Ｆ２为焦点，则 性质一：（焦点三角形面积）已知椭圆方程为 ＋ ＦＩＰＧ的取值范围 ．（答案：［０， ］） 一１（口＞６＞０），两焦点分别为Ｆ 、Ｆ２，Ｐ为椭圆上任意 ５＞６＞ｏ）上的一点， 一点（除长轴端点外），设焦点三角形ＰＦ Ｆ２中 Ｆ ＰＦ２ ２．若点Ｐ为椭圆磊＋ 一１（一 ａｎ詈． Ｆ 、Ｆ２为左右焦点，若 Ｆ ＰＦ２的最大值为詈，则椭圆 ，则ＳＡＦ ＰＦ＿一６。ｔ证明： ．‘（２ｃ） 一ｆ Ｆ Ｆ２ ｌ 一ｆ ＰＦ ｌ。＋Ｉ ＰＦ２ ｌ。一 的方程为．——（答案：轰２＋铸２—１） ２ ｌ ＰＦ ｌ・Ｉ ＰＦ２｛・ｃｏｓＯ 一（１ ＰＦ１ Ｊ＋ｆ ＰＧ Ｊ）。～２ Ｉ ＰＦ１ ｆ・ｆ ＰＧ ｆ・（１十 性质三：（离心率范围）已知椭圆方程为 ＋ 一１ ｃｏｓ０）， （口＞６＞０），左右两焦点分别为Ｆ ，Ｆ２，设焦点三角形为 ・１ Ｐ Ｆ１｝・Ｉ ＰＦ２ １＝ 里 一 △ＰＦ１Ｆ２， Ｆ１ＰＦ２一 ，则ｃｏｓ０＞￣ｌ一２ｅ ． ．．证明：在△Ｐ Ｆ】Ｆ２中，根据余弦定理得： ２６２ １—＋———ｃ—ｏ—ｓ一０‘ ｃｏｓ 一 ・．．Ｓ△ 一丢ｒ ＰＦ １．Ｉ ＰＦ２ ｌ・ｓｉ 一 ・６ （１ ＰＦ Ｉ＋Ｉ ＰＦ２ ｉ）。一２ ｌＰＦ１ ｌ・ｌ ＰＧ｝４ｃ。 ２ ｌ ＰＦ Ｉ・１ ＰＦ２｝ ‘ ＝ｂ２ｔａｎ ． 一 ２ ＰＦ ｌ １ １．１ ＰＦ２ｌ —１≥ ４ 一４ｃ 通过性质一，可得应用一： ＋Ｉ———一 ＰＦｚ ｌ、， １．已知Ｐ（３，４）为椭圆 ＋ 一１（ｎ＞６＞ｏ）上的一 １一—４ａ ｚ－－ ４ｃｚ一１—１—２Ｐ２ ａ。 点，Ｆ 、Ｆ２为焦点，若Ｆ Ｐ上ＰＧ，求△Ｆ ＰＧ的面积 通过性质三，可得应用三： ．（答案：２０） ～２ ．．２ ２．若Ｐ为椭圆 ＋等一１上的一点，Ｆ 、Ｆ。为左右 １．（２０００年全国高考题）已知椭圆方程为 ＋ 一 １（ａ＞６＞０），两焦点分别为Ｆ１、Ｆ２，若椭圆上存在一点 焦点，若 ＦＩＰＧ一号，求点Ｐ到ｚ轴的距离．（答案： Ｐ，使得 Ｆ ＰＦ２—１２０。，求椭圆的离心率ｅ的取值范围． ） 答案：［ ，１） 性质二：（最大内角）已知椭圆方程为 ＋劳一１（“ Ｕ ｎ 综上对椭圆“焦点三角形”性质及其应用的分析，我 ＞ｂ＞０），左右两焦点分别为Ｆ 、Ｆ。，设焦点三角形 们可以总结出：学生的学习只有通过自身的操作活动和 △ＰＦ Ｆ２，若 ＦＩＰＧ最大，则点Ｐ为椭圆短轴的端点． 创造性地做才可能是有效的．教师应通过引发创新思维 证明：设Ｐ点坐标为Ｐ（ｚ。，ｙ。），由焦半径公式可 的问题，让学生学会自主学习，培养他们独立思考的能 知：Ｉ ＰＦｌ｛一ａ＋ｅｘｏ，ｌ ＰＦ２：一ａ—ｅｘ０， 力，这是培养创造能力的重要手段．学生具有这种能力， 在△Ｆ１ＰＦ２ ｅ￣，ｃｏｓＯ－＝皿 就会不断获取新知识，创造也就有了根基． （责任编辑黄春香） （１ ＰＦ１ ｆ＋Ｉ ＰＧ（）。一２ ｌ Ｐ Ｆ１ ｃ．１ ＰＧ ｌ－－４ｃ ２ ＩＰＦ １．ｆ ＰＧ Ｊ ４ｎ。一４ｃ 一， ２ ２（ａ＋ｅｘｏ）（ａ－－ｅｘｏ） 一 一 ， ３９ Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｘｊｘｃｋｌｋ＠１６３．ｃｏｒｎ