函数的基本性质(教案)

[课题]：第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质

主备人：高一数学备课组陈伟坚 编写时间：2013年9月30日 使用班级（21）（22） 计划上课时间： 2013-2014学年第 一学期 第 6 周 星期 一至三 （四至六月考） [课标、大纲、考纲内容]： 课标要求 ①通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。 ②学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 教学大纲要求 ①了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法。 ②能够运用函数的性质解决某些简单的实际问题。 广东考试说明的内容 ①理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． ②会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【教材与学情分析】

学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。

[教学目标]： 知识目标： 1． 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； 2． 会用定义证明函数的单调性，会求函数的单调区间及求函数的最值； 3． 结合具体函数，了解奇偶性的含义，会判定简单函数的奇偶性； 能力目标： 1． 会用定义证明函数的单调性，会求函数的单调区间及求函数的最值； 情感态度与价值观目标： 1.树立用数形结合思想解决问题的意识. 2.通过学习数学推理的能力，2．会判定简单函数的奇偶性； 体会数学推理的严谨性。 3.进一步体会数学语言的简洁性与明确性，发展运用数学语言交流问题的能力。 --精品

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[教学重难点]：

1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性

的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。

2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。 [课的类型、教具、教法、教时]： 课的类型 新授课 教具 多媒体课件 主要教法 阅读交流、合作探究 教时 5

第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1）

【教学目标】

1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定义证明函数的单调性 【教学重难点】

教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】 一、引入课题

1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： y y 1 1 -1 -1 1 x 1 x -1 -1 1 随x的增大，y的值有什么变化？ ○

2 能否看出函数的最大、最小值？ ○

2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1．f(x) = x

1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○

2 在区间 ____________ 上，随着x的增 ○

大，f(x)的值随着 ________ ．

2．f(x) = -2x+1

1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○

2 在区间 ____________ 上，随着x的增 ○

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y 1 -1 -1 1 x y 1 -1 -1 1 x 精品----

大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x2 y 1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 ○

着x的增大而 ________ ． 1 2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 ○

-1 1 x 着x的增大而 ________ ．

-1 二、新课教学

（一）函数单调性定义

1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动） 注意：

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量的值x1，x2；当x12．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间： 3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

1 任取x1，x2∈D，且x12 作差f(x1)－f(x2)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）○； 4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）○；

5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）○．

（二）典型例题

例1．（教材P29例1）根据函数图象说明函数的单调性． 解：（略）

巩固练习：课本P32练习第3题 例2．（教材P29例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性． 解：（略） 巩固练习：

1 课本P32练习第4题； ○

1在（1，+∞）上为增函数． x1思考：画出反比例函数y的图象．

x

2 证明函数y○

x1 这个函数的定义域是什么？ ○

2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论． ○

三、归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 四、作业布置

课本P39 习题1．3（A组） 第1、2题．

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五、教学反思：利用定义证明函数的单调性的变形过程是难点。

第2课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（2）

【教学目标】

1．理解函数的最大（小）值及其几何意义； 2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

【教学重难点】

教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．

教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

【教学过程】 一、引入课题

画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：

1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○

2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ○

（1）f(x)（3）f(x)2xx23 2x

（2）f(x)2x2x3 1 xx[1,2]

1 （4）f(x)x2[0,2]

二、新课教学

（一）函数最大（小）值定义

1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动） 注意：

1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； ○

2 函数最大○（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）． 2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 ○ 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

（二）典型例题

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例1．（教材P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解：（略）

说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．

巩固练习：如图，把截面半径为 25cm的圆形木头锯成矩形木料，

25 如果矩形一边长为x，面积为y

试将y表示成x的函数，并画出 函数的大致图象，并判断怎样锯 才能使得截面面积最大？ 例2．（新题讲解）

旅 馆 定 价

一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

房价（元） 160 140 120 100 住房率（%） 55 65 75 85 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？ 解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．

设y为旅馆一天的客房总收入，x为与房价160相比降低的房价，因此当房价为(160时，住房率为(55x)元

x10)%，于是得 20x10)%． y=150·(160x)·(5520x由于(5510)%≤1，可知0≤x≤90．

20因此问题转化为：当0≤x≤90时，求y的最大值的问题． 将y的两边同除以一个常数0.75，得y1=－x2＋50x＋17600．

由于二次函数y1在x=25时取得最大值，可知y也在x=25时取得最大值，此时房价定位应是

160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）． 所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的） 例3．（教材P31例4）求函数y2x1在区间[2，6]上的最大值和最小值．

解：（略）

注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式． 巩固练习：（教材P32练习5） 三、归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

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四、作业布置

课本P39 习题1．3 A组 第5题． B组 第1题 五、教学反思：函数单调性可以从三个方面理解：（1）图形刻画：函数图象在给定区间从左向右连续上升则函数是增函数。（2）定性刻画：函数在给定区间y随x的增大而增大，则是函数是增函数，y随x的增大而减小，则函数是减函数（3）定量刻画：利用定义证明。

第3课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（3）

【教学目标】

1．通过习题训练进一步理解函数的单调性和最大（小）值及其几何意义； 2．运用函数图象理解和研究函数的性质； 【教学重难点】

教学重点：函数的单调性和最大（小）值及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 【教学过程】 一、复习回顾：

1．证明函数单调性的步骤：

① 任取x1，x2∈D，且x1③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

2．求函数单调区间的方法：根据图象判断。 3．求函数最大（小）值的方法；

① 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ② 利用图象求函数的最大（小）值 ③ 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值

二、习题训练：(学生训练, 提问学生，先学生讲评，后教师点评) 1．函数yx26x的单调递减区间是___(,3]__________.

2.定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有f(a)f(b)ab0,则必有( C A.函数f(x)先增后减 B. 函数f(x)先减后增

C.函数f(x)是R上的增函数 D. 函数f(x)是R上的减函数 3.下列说法中正确的有( A ) ①若x1,x2l,当x1x2时，f(x1)f(x2),则yf(x)在l上是增函数；

②函数yx2在R上是增函数;

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)

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③函数y④y1在定义域上是增函数; x,0)(0,).

1的单调区间是(xk(kxA.0个 B.1个 C. 2个 D.3个 4.若函数y0)在[2,4]上的最小值为5,则k的值为___20___. xx在区间[1,5.判断函数f(x)6. 判断函数f(x))上的单调性.（减函数）

x33x在R上的单调性..（增函数）

7.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-1)三、易错点反思：（提问学生做错的原因）

四、教学反思：利用函数的单调性求函数的最大（小）值。学生对最大（小）值概念的理解往往忽视定义域的限制。

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