橡胶减振器参数化有限元法优化设计

《精密制造与自动化》 橡胶减振器参数化有限元法优化设计

黄祖宇

焦作市高级技工学校实习工厂(焦作机床厂) (454100)

摘 要 为获得与理想减振特性相吻合的橡胶减振器，建立了1/8立体参数化有限元模型。通过试验确定有限元仿真的材料模型参数并对分析结果进行试验验证。基于灵敏度分析选择橡胶减振器的外倾角α、半径r2、高度h2作为优化变量，以理想载荷-变形特性曲线为优化目标，运用多约束非线性二次规划算法优化得到相应的尺寸值并对橡胶减振器的强度进行了校核。借助于理想载荷-变形特性曲线并结合有限元法优化得到橡胶减振器的最优外形尺寸，为橡胶元件性能最优化设计提供了新的思路和方法。 关键词 橡胶减振器 参数化建模 有限元 优化设计

橡胶减振器是汽车上常见而重要的减振元件，由于橡胶减振器外形结构的复杂性以及它的弹性模量随形状系数而变化的时变特性，使形状不规则的橡胶减振器很难通过解析公式预测其刚度、强度及疲劳寿命，因此早期的橡胶产品开发中大多采用反复试验修正的方法。20世纪70年代中期以来，随着计算机技术的发展，有限元仿真已成为橡胶件各种性能研究的有力工具：Morman[1]等人用有限元法分析了发动机橡胶减振件的静态和动态特性，Seong Beom Lee[2]借助有限元法预测了汽车橡胶衬套扭转特性，J Pelc[3]研究了充气橡胶轮胎在外力作用下的变形和分层应力特性，Lee[4]用有限元法对发动机橡胶支撑件进行了形状参数优化设计，但未见由理想载荷-变形特性曲线优化得到橡胶减振器外形参数的相关文献。本文以某工程自卸车橡胶减振器为研究对象，对该减振器进行参数化建模、灵敏度研究以及试验验证，优化得到与理想载荷—变形特性曲线相吻合的工程自卸车橡胶减振器。

1 橡胶大变形数值模拟基本方程

橡胶材料在外载作用下的大变形，同时具有材料非线性、几何大变形非线性以及接触非线性的特点，解析求解困难，目前一般借助有限元方法对其研究，其基本求解过程如下：

根据虚功原理，外力在虚位移上所作的虚功等于内力在虚应变上所作的虚功，将虚位移原理应用于橡胶元件初始构形的每一个单元： (δa)

eT

式中 B——应变-位移矩阵

S——克希荷夫应力张量

V0e ——单元初始构形下的体积 Fe——作用在单元上的外力。

对于橡胶类材料，不可压缩条件在每个单元上平均地满足，因此有如下补充方程

∫

V0e

(I3−1)dV=0 (2)

按照上式中I3是格林应变张量的第三不变量。整体拉格朗日描述，由式(1) ～ (2)可得t+Δt时刻

第n+1次单元平衡方程的迭代近似解如式(3) ～ (4)所示。

e(KT)n*Δae+(Te)n*Δp=

t+Δt

Fe−∫

λ0

V0e

TλBn*0SndV(3)

(Te)n=∫

λ0

V0e

T (4) Bn*LλndV

eλλTλλ(KT)n=∫e[GT*0Mn*G+0Bn*(DT)n*0Bn]dV

V0

eee

=K0n+KLn+Kσn

(5)

由式(5)可以看出，橡胶变形时切线刚度矩阵

ee

；二是大(KT)n由三部分组成：一是小位移矩阵K0n

e

；三是初始应力矩阵和几何刚度矩阵位移矩阵KLn

∫

V0e

BTSdV≡We=(δae)TFe (1)

e

。 Kσn

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万方数据将单元方程(3) ～ (5)组装成橡胶元件整体有限元方程，得大变形状态下橡胶元件的整体求解方程如式(6)所示：

⎡KTT⎢⎤⎧⎣TT0⎥⎦⎨Δa⎫⎬=−⎧⎨R⎫

⎬ n⎩Δp⎭ (6) n⎩r⎭n

适当约束刚体位移，由方程组(6)可解出Δan 和Δpn，在每一个载荷步内重复应用修正的Newton-Raphson方法直至全部载荷收敛即可求解出橡胶元件大变形时的位移值。

2 参数化建模与试验验证

由橡胶大变形求解公式(3) ～ (6)可见对橡胶元件尤其是不规则橡胶件直接进行数值计算相当复杂而难以完成有效设计。本文以ANSYS为平台，采用有限元法对图1所示的橡胶减振器进行数值模拟和优化，降低了橡胶元件大变形分析的难度，为 橡胶元件结构分析提供切实可行的方法。整个橡胶减振器组合体由上钢套1、橡胶体2、下钢套3组成，如图1所示。完整的橡胶减振器参数化有限元优化过程包括合理确定材料模型、参数化建模、灵敏度分析以及优化求解等几部分。

1.上钢套 2. 橡胶体 3.下钢套

图1 橡胶减振器组合体

2.1 合理选择橡胶材料模型

橡胶材料的本构模型主要分为现象学描述的多项式模型以及Ogden模型[5]和基于热力学统计描述的Arruda-Boyce模型两大类。相对低阶多项式模型，Ogden模型除了在非常大的应变下(λ>7)才会出现显著的偏差，与试验的吻合程度较好，高阶多项式模型尽管与试验吻合一致，但由于累计误差的原

万方数据

2007年第1期(总第169期) 因将之用于有限元计算时会导致收敛困难。因此，

Ogden模型具有较广泛的适用性，Ogden本构模型的应变能表达式为：

NN

U=∑2μi2

(λαα1i+λα2i+λ3i−3)+∑1(J−1)2i (7)

i=1αii=1Di

Ogden应变能以三个主伸长率λ1、λ2、λ3为变量，其应变能函数的第一部分只与I1,I2有关，需要由试验确定的参数有µi和αi。

54力3应 试验 2 Mooney2参数 Mooney3参数1 Ogden2阶 Ogden3阶0 Arruda-Boyce0.00.51.01.5单轴拉伸应变

图2 单轴拉伸试验数据拟合

1.51.0力应 试验 0.5 Mooney2参数 Mooney3参数 Ogden2阶 Ogden3阶 Arruda-Boyce0.00.000.050.100.150.20双轴拉伸应变

图3 双轴拉伸试验数据拟合

图2和图3分别是单轴拉伸和双轴拉伸的拟合结果与试验结果的对比图。由两图可以看出，单轴拉伸试验与拟合结果吻合较好，由于双轴拉伸的试验数据由单轴压缩转化而来，因此其拟合效果稍差。从图上看Ogden 三阶模型与橡胶试件的应力—应变曲线更为吻合且其残差为所有拟合形式中最小者，因此Ogden三阶六参数模型是最能描述本文橡胶减振器的材料模型。采用Marquard-Levenberg法[6]拟合得到的橡胶材料参数如下：µ1=0.002 1185，a1=8.314，µ2=1.392 41，a2=1.519 6，µ3=1.434 1，

35

《精密制造与自动化》 a3=1.519 6。

2.2 参数化模型与试验验证

为提高运算效率并真实模拟橡胶减振器的变形状态，取橡胶减振器的一半建模并增加一刚性支撑板，橡胶减振器1/8立体有限元模型截面尺寸如图4所示，图中h1表示减振器橡胶体高度；α是外部圆锥台与支撑钢板之间的外倾角；r2是上部圆锥台的挖空半径；h2表示上部圆锥台的挖空高度；r3表示橡胶减振器中部过渡圆角半径。各尺寸参数的

基准值分别为h2=39 mm，

r2=38.5 mm， r3=10 mm，α=58°，1/8立体有限元模型由图4所示的参数化平面模型旋转而成。

a12hr2r01hrr31t

图4 橡胶减振器半剖面图

本文采用3-D 8节点位移-压力杂交单元Solid185模拟橡胶大变形，材料模型选用由试验确定的Ogden三阶模型，划分完网格后的立体有限元模型共2 778个节点、2 248个单元，如图5所示。

图5 橡胶减振器参数化有限元模型

为正确模拟橡胶体与钢套之间的接触状态，采用拉格朗日和罚函数混合法进行接触分析，并在橡胶体与钢套以及橡胶体与下支撑板之间分别定义刚-柔接触面，如图6所示。图7是橡胶减振器垂向变形特性仿真与试验对比，从图上可以看出有限元

36

万方数据仿真与橡胶减振器试验结果基本一致，变化趋势一致，只是在很大的压力载荷下相对误差稍大，但基本都小于工程应用允许的5%，有限元模拟有效预测了橡胶减振器的非线性变形。因此，有限元法能预测并实现橡胶减振器的优化设计。

40 试验结果N 仿真结果k/VF30荷载 向20垂1020304050607080垂向变形DV/mm

图6 橡胶减振器垂向载荷-变形曲线仿真与试验对比

2.3 灵敏度分析

为保持结构的稳定性并保证有限元优化的效率，本文只对α、r2、h2、r3这四个参数对载荷-变形尺寸的灵敏度进行研究。橡胶减振器参数一阶百分比灵敏度计算公式如式(8)所示：

sd(xr)

r=

ΔΔxx (r=1…7) (8)

r/r0

式中 xr——第r个设计设计参数

Δxr —— 第r个参数的变化值 xr0—————各参数的基准值

Δd(xr)——橡胶减振器垂向位移变化值 Sr——橡胶悬架第r个参数的灵敏度。

据式(8)计算得到的橡胶减振器空载工况下参数灵敏度如图7所示满载工况下得到的灵敏度曲线与此基本一致。

0.6 α r2 h2值 r度0.43敏 灵0.20.060708090100110120130参数相对基准值的百分比(%)

图7 空载下参数灵敏度分析

由图7可以看出，α、h2、r2的灵敏度值都为正值，表明上述参数的增加能使垂向位移迅速增大。外倾角α的改变对橡胶减振器垂向变形量的影响最为明显，挖空高度h2、挖空半径r2的影响也较为显著，但减振器过渡圆角半径r3的影响很不明显。因此，橡胶减振器优化设计时以参数α、h2、r2作为

系统的设计变量，不考虑过渡圆角半径r3的影响。

3 橡胶减振器有限元优化研究

本文利用工程自卸车整车数学模型优化得到了橡胶减振器最佳载荷-变形特性曲线(另文撰述)。根据该曲线，采用有限元法优化得到减振器的外形参数，从而设计出具有理想变刚度特性的橡胶减振器。

3.1橡胶减振器优化数学模型

表1是根据遗传算法优化得到的理想载荷-变形特性，本文利用有限元一阶优化方法和橡胶减振

器参数模型对挖空半径r2，

挖空高度h2以及橡胶减振器与支撑钢板的外倾角α三个参数进行优化。优化目标定义为各载荷下有限元仿真结果与橡胶减振器优化结果之差的平方和最小，计算公式如(9)所示。

表1 橡胶减振器理想载荷变形特性曲线 载荷/kN 5 10 15 2025变形量/mm

26.1 44.5 57.8 68.276.8 h (1/2变形量)/mm 13.05 22.25 28.9 34.1

38.4载荷/kN 30 35 40 45—变形量/mm

84.3 90.8 96.7 102.— h (1/2变形量)/mm 42.15 45.4 48.35 51.0—

⎧n⎪

minf(X)=(x−h2

⎪

∑ii)i=1

⎪⎪X=[r2h2α]T⎨s.t.σ] (9) ⎪max≤[σ⎪

r2min≤r2≤r2max⎪⎪

h2min≤h2≤h2max⎩

αmin≤α≤αmax式中xi ——1/8立体有限元模型各载荷下有限元仿真结果；

h —— 橡胶减振器一半变形量，如表1所示；

万方数据

2007年第1期(总第169期) σmax—— 满载载荷下橡胶减振器橡胶体的Von mises应力，是性能约束函数； i —— 载荷步(i=1…9)；

X = [r2 h2 α]T表示待优化的设计变量，是边界约束函数。 3.2 优化算法

优化过程中采用了多约束非线性二次规划法，假设经过k次优化迭代，得到设计点xk，现在从该点出发继续搜索，最终逼近问题的最优点。其迭代过程如下：

（1）给定设计初值x0

i、拉格朗日初始值λ0，令变尺度矩阵B0=I（单位矩阵）。

（2）计算原问题的函数值、梯度值，构造二次规划子问题。

（3）求解二次规划子问题，确定新的乘子矢量λk和搜索方向dk。

（4）沿dk进行搜索，确定步长ak，得到新的近似极小点：xk+1=xk+akdk。

（5）满足收敛精度

f(xk+1)−f(xk)

f(x≤ε，则

k)

停止搜索、迭代，否则转入下步。

（6）采用拟牛顿公式对Bk进行修正得到Bk+1，返回（2）。

由于非线性二次规划法具有自动修正功能，当约束条件不能完全得到满足时，可以自动修正有关结构尺寸以满足约束要求。因此，该法具有良好的收敛性。

3.3 优化结果分析

利用多约束非线性二次规划法，共迭代50次，在第20代即得到橡胶减振器的最优解，优化目标函数的最小值为20.648。与理想的减振特性相符的橡胶减振器外形尺寸优化结果如表2所示。

表2 橡胶减振器外形尺寸优化结果 设计变量 h2/mmr2/mm α

优化范围 [39,48][38.5,43] [58°, 63°]

有限元优化值

46.806

42.956

62.757°

图8是橡胶减振器理想载荷-变形特性曲线与

37

《精密制造与自动化》 有限元优化结果的比较，从图上看尽管二者有一定差别，但其变化趋势基本一致、各载荷下变形量差值较小，通过有限元优化得到的新橡胶减振器能够满足工程自卸车橡胶悬架的使用要求。图9给出了的工程许用应力值(10 MPa左右)[8]。

50N40k/vF荷30载向 垂2010 理想变形曲线 有限元优化结果02030405060708090100110垂向变形量Dv/mm

图8 理想变形曲线与有限元优化结果对比图

图9 满载时新橡胶减振器应力图

有限元方法优化设计，解决了非线性橡胶减振器难以根据理想载荷-变形特性曲线（变刚度特性）推导其外形尺寸参数的困难，同时可借助有限元法对橡胶减振器的应力分布进行校核，保证了橡胶减振器外形设计的快速有效性，降低了工程实际中橡胶减振产品的开发难度。

4 结论

(1) 对复杂形状的橡胶减振器而言，经验公式已失去作用，有限元法是橡胶元件优化设计的有力工具。

(2) 利用一阶优化方法，根据理想载荷—变形特性曲线优化得到橡胶减振器最佳外形尺寸参数。

(3) 对橡胶减振器的接触和应力状态进行了研

38

万方数据满载时新橡胶减振器的应力分布图，从图上看，最

大应力点57 MPa在钢套上，

而橡胶材料的Vonmises应力的最大值没有超过4 MPa，满足橡胶材料 究，分析结果表明优化后的橡胶减振器仍满足橡胶的许用应力要求。

(4) 本文采用的参数化建模方法和橡胶元件优化思路同样适用于其它橡胶结元件的优化设计。研究表明利用有限元法进行优化设计能够有效提高橡胶元件的研发效率。

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[小常识] 目前世界上最负盛名的机床展览会有四个： 󰁺 中国国际机床展览会(CIMT) 󰁺 美国芝加哥国际制造技术展览会(IMTS) 󰁺 欧洲国际机床展览会(EMO)—德国汉诺威 󰁺 日本国际机床展览会(JIMTOF)