2021年北京市海淀区高三上册期末数学试题

2021年北京市海淀区高三上册期末数学试题

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10 小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）抛物线yx的准线方程是

（A）x21 2（B）x111 （C）y （D） y 424（2）在复平面内，复数

（A）第一象限

5i对应的点位于 1i（B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（3）在x2的展开式中，x4的系数为

（A）5

（B）5

（C）10

（D）10

（4）已知直线l:xay20，点A（1和点B（2,2），若l//AB，则实数a的值为 ，1）（A）1

（B）1

（C）2

（D）2

（5）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为

（A）2

（B）4

（C）6

（D）12

（6）已知向量a，b满足a1，b，且ab2，则ab （2，1）（A）1

（B）0

（C）1

（D）2

（7）已知，是两个不同的平面，“∥”的一个充分条件是

（A）内有无数直线平行于 （B）存在平面，， （C）存在平面，m，n且m∥n

（D）存在直线l，l，l

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（8）已知函数f(x)12sin(x（A）f(x)是偶函数

24) 则

（B）函数f(x)的最小正周期为2π （C）曲线yf(x)关于x（D）f(1)f(2)

（9）数列an的通项公式为ann3n，n∈N，前n项和为Sn，给出

2π对称 4下列三个结论：

①存在正整数m,n(mn)，使得SmSn；

②存在正整数m,n(mn)，使得aman2aman； ③记，Tna1a2确结论的序号是

（A）① （B）③ （C）①③ （D）①②③

（10）如图所示，在圆锥内放入连个球O1，O2，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中Dandelin）利用这个粗线所示）分别为⊙C1,⊙C2. 这两个球都与平面a相切，切点分别为F1，F2，丹德林（G·

模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆，F1，F2为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球。若圆锥的母线与它的轴的夹角为300，⊙C1, ⊙C2的半径分别为1,4，点M为⊙C2上的一个定点，点P为椭圆上的一个动点，则从点P沿圆锥表面到达M的路线长与线段PF1的长之和的最小值是

an(1,2,3,)则数列Tn有最小项，其中所有正

（A）6 （B）8 （C）33 （D）43

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第二部分（非选择题 共110分）

（11）在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革.某校高一、高二和高三学生人数如图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有16人，则该样本中的高三学生人数为 .

（12）设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S1、S2、a3成等差数列，则数列{an}的公比为 . y21的左右焦点分别为F1,F2，点M(3,4)，则双曲线的渐近线方程为 ；（13）已知双曲线x22MF1MF2 ; x（14）已知函数f(x)是定义域R的奇函数，且x0时，f(x)ae1，则a ，f(x)的值域是 ；

22（15）已知圆P:(x5)(y2)2，直线l:yax，点M(5,22)，点A(s,t).

给出下列4个结论：

①当a0，直线l与圆P相离； ②若直线l圆P的一条对称轴，则a2； 52120③若直线l上存在点A，圆P上存在点N，使得MAN90，则a的最大值为； 528④N为圆P上的一动点，若MAN90，则t的最大值为.

4其中所有正确结论的序号是 .

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三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）（本小题共15分）

在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，AC平面BCC1B1,D,E分别是棱AA1，BB1的中点. （Ⅰ）求证：AE∥平面B1C1D （Ⅱ）求证: CC1平面ABC

(Ⅲ)若ACBCAA12,求直线AB与平面B1C1D所成角的正弦值.

（17）（本小题共14分）

若存在ABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：

（Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求cosB和a的值. 条件①：sinC33； 14条件②：a7c； 3条件③：ba1； 条件④：bcosA

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（18）（本小题共14分）

某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：

年份 年生产台数（单位：万台） 年返修台数（单位：台） 年利润（单位：百万元） 2013 2014 3 32 3.85 4 38 4.50 2015 2016 2017 2018 2019 5 4.20 6 58 5.50 6 52 6.10 9 71 10 80 2020 10 75 2021 a b c 9.65 10.00 11.50 注：年返修率=年返修台数.

年生产台数（Ⅰ）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；

（Ⅱ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2020年中随机选出3年，记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数.求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为s1,s2,s3.若

2222s3max{s12,s2}，其中max{s12,s2}表示s12,s2，这两个数中最大的数.请写出a的最大值和最小值.（只需写

222出结论） （注：s

（19）（本小题共14分）

21[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]，其中x为数据x1,x2,,xn的平均数） nx2y23. 已知椭圆W:22（的离心率为，且经过点C（2，3）1ab0）ab2（Ⅰ）求椭圆W的方程及其长轴长；

（Ⅱ）A，B分别为椭圆W的左、右顶点，点D在椭圆W上，且位于x轴下方，直线CD交x轴于点Q，若△ACQ的面积比△BDQ的面积大23，求点D的坐标.

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（20）（本小题共14分）

已知函数f(x)lnx. x（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设g(x)f(x)x，求证：g(x)1；

（Ⅲ）设h(x)f(x)x2ax4a1.若存在x0使得h(x0)0，求a的最大值.

22

（21）（本小题共14分）

设A是由nn(n2)个实数组成的n行n列的数表，满足：每个数的绝对值是1，且所有数的和是非负数，则称数表A是“n阶非负数表”.

（Ⅰ）判断如下数表A1，A2是否是“4阶非负数表”；

（Ⅱ）对于任意“5阶非负数表”A，记R(s)为A的第s行各数之和，证明：存在（1s5）i,j,k1,2,3,4,5，使得R(i)R(j)R(k)3；

（Ⅲ）当n2k(kN)时，证明：对与任意“n阶非负数表”A，均存在k行k列，使得这k行k列交叉处的

*k2个数之和不小于k.

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