幂函数

幂函数

一、 知识点总结

1．幂函数的概念

（1）一般地，幂函数的表达式为yx(R)，其中为常数；其特征是以幂的底为自变量，指数为常数。

（2）所有的幂函数在区间(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)。 （3）学习和理解幂函数的概念时要注意以下几点： ①形如y(2x),y2x,yx2,形式的函数不是幂函数。 ②幂函数yx中的为任意实数。 ③确定一个幂函数，只需求出即可。 2．幂函数的图象 我们只讨论幂函数yx中1,2,3,,1时的图象。 在同一平面直角坐标系作出幂函数yx,yx,yx,yx,yx1的图象。 231212（1）列表、（2）描点：3）连线：用光滑的曲线将各点连结起来。如图 （2）记熟上面各函数图象的形状，及它们之间的“高低”关系。（3）函数y可记为yx1。（4）a0时，图象都过(0,0)(1,1)点，a0时，只过(1,1)不过(0,0)点。

3．幂函数的性质 从上图可以观察到幂函数的特征如下： 特 函 数 征 性 质 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 x[0,)时，1x

奇 非奇非偶 增 奇 x(0,)时，单调性 增 增 x(,0]时，增 减 x(,0)时，减 精心整理

减 精心整理 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 结合以上特征得幂函数的性质如下：

（1）所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)；

（2）如果0，则幂函数的图象过原点，并且在区间[0,)上为增函数；

（3）如果0，则幂函数的图象在区间(0,)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；

（4）当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶函数，幂函数为偶函数。 4．求幂函数的定义域、值域 幂函数的定义域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解。 5．幂函数的单调性和奇偶性 幂函数的单调性与奇偶性与一般函数的单调性和奇偶性相同，在证明或判断时，主要应用定义法判断，有时也用幂函数的性质加以判断。 6．比较大小 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可与0和1去比较，这种方法叫“搭桥”法。 定点 二、 经典例题 1.如图，幂函数yxa在第一象限内的图象，已知a取2,1四个值，则相应于曲线2C1,C2,C3,C4的a依次为（） A．2,1,1,2 22B．2,1,1,2 22D．2,1,2,1 22C．1,2,2,1 22 mxn2.如图所示是函数y(m,nN且互质)的图象，则（） A．m,n是奇数，且m1 n B．m是偶数，n是奇数，且m1

n

C．m是偶数，n是奇数，且m1

n

D．n是偶数，m是奇数，且m1.

n3.函数y(mx4xm2)(x2mx1)的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是

214（） 精心整理

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A．(51,2) B．(51,)

C．(2,2) D．(15,15)

4．如图所示，幂函数yx在第一象限的图象，比较0,1,2,3,4,1的大小（） A．130421 B．012341 C．240311 D．302411 5．y1的图象是（） x16．函数y(m2m1)xm22m3是幂函数，且x(0,)时为减函数，则实数m的值为（）

A．m1或2 B．m152 C．m2 D．m1 7．给出下列说法： ①函数yx3的图象关于原点成中心对称； ②函数yx4的图象关于y轴成轴对称； ③函数yx1在(,)上是减函数. 其中正确说法的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 8．函数yx的图象是

A．B．C．D． 343 （） 9．函数yx和yx图象满足 A．关于原点对称 C．关于y轴对称 10．函数yx|x|,xR，满足 A．是奇函数又是减函数 C．是奇函数又是增函数

13 （） B．关于x轴对称 D．关于直线yx对称 （） B．是偶函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数

D．[1,)

. （）

11．函数yx22x24的单调递减区间是 A．(,6]

32B．[6,) C．(,1]

12．函数yx的定义域是.

13．幂函数f(x)的图象过点（3,427)，则f1(x)的解析式是 精心整理

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14．yxa4a9是偶函数，且在(0,)是减函数，则整数a的值是.

215．幂函数yx偶性为.

(1)knm(m,n,kN*,m,n互质)图象在一、二象限，不过原点，则k,m,n的奇

16．若10x2,10y3，则17已知函数f(x)xx5133x2y10213 13

13；g(x)xx. 5（1）证明：f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间； （2）分别计算f(4)5f(2)g(2)和f(9)5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明。 18.比较下列各组数的大小； 17（1）3和3.1；（2）8和()8; 9525278（3）4.1,3.8和(1.9). 19．已知幂函数f（x）＝x13p2p22252335（p∈Z）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）． 20．已知函数y(a23a2)xa5a5（a为常数）. （1）a为何值时此函数为幂函数？ （2）a为何值时此函数为正比例函数？ （3）a为何值时此函数为反比例函数？ 21．求不等式(3a1)4(1a)4的解集. 222．已知函数y＝415－2x－x2． （1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．

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