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北师大版八年级下册数学第一章第二次测试卷
一．选择题（共10小题）
1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．75°
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（ ） A．45° B．135° C．45°或67.5° D．45°或135°
4．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．6
5．下列说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，
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则△ABC的周长为（ ）
A．18 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm
7．如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，连接AC、BD、DC，若∠A=35°，∠ABD=44°，则∠DCA的度数为（ ） A．10° B．18° C．15° D．9°
8．如图，BD为△ABC的角平分线，EF垂直平分边BC，交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A+∠ACF=90°，则∠FCB等于（ ） A．30° B．35° C．40° D．45°
9．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
10．如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S的个数是（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
四边形AOCP
，其中正确
二．填空题（共10小题）
11．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 ．
12．如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=7cm，CD=3cm，则△ABD的面积是 ．
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13．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为 ．
14．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC= °．
15．在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC= °．
16．已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为 cm． 17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 时，△ACP是等腰三角形．
18．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r= ．
19．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1，交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6，△OBC的周长为16，则AO的长为 ．
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20．如图，已知在直角坐标系中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．
三．解答题（共10小题）
21．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC． 求证：△BDE是等腰三角形．
22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，D是边AB的中点，DE⊥AB交AC于点E．
（1）求∠CDE的度数； （2）求CE：EA．
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23．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE． （1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．
24．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线把三角形的周长分为18cm和30cm的两部分，求三角形各边的长．
25．已知：如图，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．
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26．如图，∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，P到OA、OB的距离PM、PN分别为2和11，求OP的长．
27．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD． 求证：△OAB是等腰三角形．
28．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．
（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数；
（2）若BC=5，BF：FD=5：3，S△BCF=10，求点D到AB的距离．
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29．如图，△ABC中，AC=BC，点D在BC上，作∠ADF=∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F． （1）求证：CF∥AB；
（2）若∠CAD=20°，求∠CFD的度数．
30．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线交BC，AC于点F，N，△AEF的周长是10． （1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C=45°，EF=4，求△AEF的面积．
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北师大版八年级下册数学第一章第二次测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【分析】分为两种情况：2cm是等腰三角形的腰或2cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；
若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系； 故选A．
【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．75°
【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质，推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC的度数，从而得出∠CBD=45°． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，
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∴∠ABC=∠ACB=75°，
∵AB的垂直平分线交AC于D， ∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°， ∴∠BDC=60°，
∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°． 故选B．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用三角形外角的性质求得求得∠BDC=60°是解答本题的关键．本题的解法很多，用底角75°﹣30°更简单些．
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角为（ ） A．45° B．135° C．45°或67.5° D．45°或135°
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°．
【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD=45°， ∴∠A=45°，
即顶角的度数为45°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA=45°， ∴∠BAD=45°， ∴∠BAC=135°． 故选D．
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【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
4．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．6
【分析】在Rt△ACH中，利用直角三角形30度角性质，求出AC的长，再在Rt△ABC中，求出AB的长即可． 【解答】解：如图作AH⊥CH．
在Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°， ∴AC=2AH=6， 在Rt△ABC中，AB=故选D．
=
=6
．
【点评】本题考查直角三角形30度角性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
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5．下列说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据判定两直角三角形全等的判定方法进行判断即可．
【解答】解：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可利用SAS判定两直角三角形全等；
②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等，可利用ASA判定两直角三角形全等；
③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，能判定两直角三角形全等；
④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等，不能判定两直角三角形全等． 故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法，直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
6．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ）
A．18 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，AE=EC=4cm，由AB+BD+AD=14cm，得到AB+BD+DC=14cm，所以有AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，从而得到结论．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
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∴DA=DC，AE=EC=4cm，
而△ABD的周长为14cm，即AB+BD+AD=14cm， ∴AB+BD+DC=14cm，
∴AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm， 即△ABC的周长为22cm． 故选B．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．也考查了三角形周长的定义．
7．如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，连接AC、BD、DC，若∠A=35°，∠ABD=44°，则∠DCA的度数为（ ）
A．10° B．18° C．15° D．9°
【分析】连接AD，根据想的垂直平分线的性质得到DA=DB，DB=DC，根据等腰三角形的性质计算即可． 【解答】解：连接AD，
∵点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点， ∴DA=DB，DB=DC，
∴∠DAB=∠ABD=44°，DA=DC， ∴∠DCA=∠DAC=∠DAB﹣∠CAB=9°， 故选：D．
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【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．如图，BD为△ABC的角平分线，EF垂直平分边BC，交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A+∠ACF=90°，则∠FCB等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】设∠ABD=∠CBD=x°，则∠ABC=2x°，根据线段垂直平分线性质求出BF=CF，推出∠FCB=∠CBD，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD，
设∠ABD=∠CBD=x°，则∠ABC=2x°， ∵EF是BC的垂直平分线， ∴BF=CF，
∴∠FCB=∠CBD=x°， ∵∠A+∠ACF=90°， ∴90°+x°+2x°=180°， 解得：x=30， ∴∠FCB=30°， 故选A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，能求出
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BF=CF是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
9．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解． 【解答】解：作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 故选D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观．
10．如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S的个数是（ ）
四边形AOCP
，其中正确
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A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；
②证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形； ③首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．
④过点C作CH⊥AB于H，根据S四边形AOCP=S△ACP+S△AOC，利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：如图1，连接OB， ∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°， ∴OB=OC，∠ABC=90°﹣∠BAD=30° ∵OP=OC， ∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°； 故①正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°， ∴∠APC+∠DCP=150°， ∵∠APO+∠DCO=30°， ∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°﹣（∠OPC+∠OCP）=60°， ∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形； 故②正确；
如图2，在AC上截取AE=PA， ∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°，
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∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA， ∴∠APO+∠OPE=60°， ∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°， ∴∠APO=∠CPE， ∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP； 故③正确；
如图3，过点C作CH⊥AB于H， ∵∠PAC=∠DAC=60°，AD⊥BC， ∴CH=CD， ∴S△ABC=AB•CH， S
四边形
AOCP=S△ACP+S△AOC=AP•CH+OA•CD=AP•CH+OA•CH=CH•（AP+OA）
=CH•AC， ∴S△ABC=S四边形AOCP； 故④正确． 故选D．
第16页（共36页）
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 15 ．
【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可． 【解答】解：当腰为3时，3+3=6， ∴3、3、6不能组成三角形； 当腰为6时，3+6=9＞6， ∴3、6、6能组成三角形， 该三角形的周长为=3+6+6=15． 故答案为：15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
12．如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=7cm，CD=3cm，则△ABD的面积是 cm2 ．
【分析】过点D作DE⊥AB，由角平分线的性质可知DE=CD=3，再根据S△
ABD=
AB•DE即可得出结论．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，
第17页（共36页）
∵AD平分∠BAC， ∴DE=CD=3，
S△ABD=AB×DE=×7×3=故答案为：
cm2．
cm2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
13．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为 22cm ．
【分析】根据线段垂直平分线性质求出AD=DC，根据△ABD的周长求出AB+BC=14cm，即可求出答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=4cm， ∴AC=2AE=8cm，AD=DC， ∵△ABD的周长为14cm， ∴AB+AD+BD=14cm，
∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm， 故答案为：22cm
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能运用性质定理求出AD=DC是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
第18页（共36页）
14．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC= 8 °．
【分析】连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：连接OA， ∵∠BAC=82°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣82°=98°， ∵AB、AC的垂直平分线交于点O， ∴OB=OA，OC=OA，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，
∴∠OBC+∠OCB=98°﹣（∠OBA+∠OCA）=16°， ∴∠OBC=8°， 故答案为：8．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
15．在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC= 32 °．
第19页（共36页）
【分析】设∠BAC=x，根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠B=∠BDC=42°+x，∠ADC=∠B+∠BCD=42°+x+x=42°+2x，再根据邻补角定义得出∠ADC+∠BDC=180°，由此列出方程42°+2x+42°+x=180°，解方程即可． 【解答】解：设∠BAC=x，则∠BDC=42°+x． ∵CD=CB，
∴∠B=∠BDC=42°+x． ∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=42°+x， ∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=x，
∴∠ADC=∠B+∠BCD=42°+x+x=42°+2x． ∵∠ADC+∠BDC=180°， ∴42°+2x+42°+x=180°， 解得x=32°， 所以∠BAC═32°． 故答案为32．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质及邻补角定义，难度适中．设出适当的未知数，用含x的代数式分别表示∠ADC与∠BDC是解题的关键．
16．已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为 15 cm． 【分析】两部分之差可以是底边与腰之差，也可能是腰与底边之差，解答时应注意．设等腰三角形的腰长是xcm，根据其中一部分比另一部分长5cm，即可列方程求解．
第20页（共36页）
【解答】解：如图，设等腰三角形的腰长是xcm．
当AD+AC与BC+BD的差是5cm时，即x+x﹣（x+10）=5， 解得：x=15，
15，15，10能够组成三角形；
当BC+BD与AD+AC的差是5cm时，即10+x﹣（x+x）=5， 解得：x=5，
5，5，10不能组成三角形． 故这个三角形的腰长为15cm． 故答案为：15．
【点评】本题考查等腰三角形的性质：等腰三角形有两边相等，同时考查了三角形的三边关系．
17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为 3或6或6.5或5.4 时，△ACP是等腰三角形．
【分析】由于没有说明哪一条边是腰，故需要分情况讨论． 【解答】解：∵AC=6，BC=8， ∴由勾股定理可知：AB=10， 当点P在CB上运动时， 由于∠ACP=90°，
∴只能有AC=CP，如图1，
第21页（共36页）
∴CP=6， ∴t==3，
当点P在AB上运动时， ①AC=AP时，如图2，
∴AP=6，PB=AB﹣CP=10﹣6=4， ∴t=
=6，
②当AP=CP时，如图3，
此时点P在线段AC的垂直平分线上， 过点P作PD⊥AC于点D，
∴CD=AC=3，PD是△ACB的中位线， ∴PD=BC=4，
∴由勾股定理可知：AP=5， ∴PB=5， ∴t=
=6.5；
③AC=PC时，如图4， 过点C作CF⊥AB于点F， ∴cos∠A=∴AF=3.6， ∴AP=2AF=7.2， ∴PB=10﹣7.2=2.8， ∴t=
=5.4； =
，
综上所述，当t为3或6或6.5或5.4时，△ACP是等腰三角形． 故答案为：3或6或6.5或5.4．
第22页（共36页）
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据腰的情况进行分类讨论，本题属于中等题型．
18．Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，O到三边的距离r= 1 ．
【分析】由Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，可得S△ABC=AC•BC=（AC+BC+AB）•r，继而可求得答案．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，
∴S△ABC=AC•BC=（AC+BC+AB）•r，
第23页（共36页）
∴3×4=（3+4+5）×r， 解得：r=1． 故答案为：1．
【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握S△ABC=AC•BC=（AC+BC+AB）•r．
19．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1，交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6，△OBC的周长为16，则AO的长为 5 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，OA=OB，EA=EC，OA=OC，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：∵l1是AB边的垂直平分线， ∴DA=DB，OA=OB， 同理，EA=EC，OA=OC， ∴OB=OC，
△ADE的周长=AD+DE+EA=BD+DE+EC=BC=6， △OBC的周长=OB+OB+BC=16， ∴OB=OC=5， 故答案为：5．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
20．如图，已知在直角坐标系中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 （4，3）、（1，3）、
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（9，3） ．
【分析】根据当OP=OD时，以及当OD=PD时和当OP=PD时，分别进行讨论得出P点的坐标．
【解答】解：过P作PM⊥OA于M． （1）当OP=OD时， OP=5，CO=3， ∴易得CP=4， ∴P（4，3）； （2）当OD=PD时， PD=DO=5，PM=3，
∴易得MD=1，从而CP=1或CP′=9， ∴P（1，3）或（9，3）； （3）当OP=PD时，P（4，3），
综上，满足题意的点P的坐标为（4，3）、（1，3）、（9，3）． 故答案为：（4，3）、（1，3）、（9，3）．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，根据△ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．
三．解答题（共10小题）
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21．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC． 求证：△BDE是等腰三角形．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，即可得出答案． 【解答】证明：∵DE∥AC， ∴∠1=∠3， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∵AD⊥BD，
∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°， ∴∠B=∠BDE，
∴△BDE是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确得出∠2=∠3是解题关键．
22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，D是边AB的中点，DE⊥AB交AC于点E．
（1）求∠CDE的度数； （2）求CE：EA．
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【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线得出CD=AD=BD，求出∠DCA=∠A=15°，求出∠BDC=∠A+∠DCA=30°，即可得出答案；
（2）根据线段垂直平分线性质求出BE=AE，求出CE和BE的比，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点， ∴CD=AD=BD， ∴∠DCA=∠A， ∵∠A=15°， ∴∠DCA=15°，
∴∠BDC=∠A+∠DCA=30°， ∵ED⊥AB， ∴∠EDB=90°，
∴∠CDE=90°﹣30°=60°；
（2）连接BE，
∵D为AB中点，DE⊥AB， ∴BE=AE，
∴∠EBA=∠A=15•， ∴∠BEC=15°+15°=30°， ∴cos30°=∵AE=BE， ∴
=
． ，
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，线段垂直平分线性质，解直角
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三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
23．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE． （1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．
【分析】（1）根据到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上证明； （2）根据等腰三角形的性质求出∠ABE，结合图形计算即可． 【解答】（1）证明：∵∠A=∠ABE， ∴EA=EB， ∵AD=DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线； （2）解：∵∠A=46°， ∴∠ABE=∠A=46°， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°， ∠F=90°﹣∠ABC=23°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键．
24．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线把三角形的周长分为18cm和30cm的两部分，求三角形各边的长．
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【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为12厘米和18厘米两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是9cm，哪个是12cm，因此，有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：根据题意画出图形，如图， 设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y， ∵BD是腰上的中线， ∴AD=DC=x，
若AB+AD的长为30，则2x+x=130，解得x=10cm， 则x+y=18，即10+y=18，解得y=8cm；
若AB+AD的长为18，则2x+x=18，解得x=6cm， 则x+y=30，即6+y=30，解得y=24cm；
所以等腰三角形的腰长为20厘米，底边长为8厘米．或腰长为12cm，底长为24cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错；利用三角形三边关系判断能否组成三角形是正确解答本题的关键．
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25．已知：如图，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．
【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再由等角的余角相等得出∠EFC=∠EDB，进而可得出∠EFC=∠ADF，由此可得出结论． 【解答】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C（等边对等角）． ∵DE⊥BC于E， ∴∠FEB=∠FEC=90°，
∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°， ∴∠EFC=∠EDB（等角的余角相等）． ∵∠EDB=∠ADF（对顶角相等）， ∴∠EFC=∠ADF． ∴△ADF是等腰三角形．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定，熟知如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等是解答此题的关键．
26．如图，∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，P到OA、OB的距离PM、PN分别为2和11，求OP的长．
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【分析】延长NP交OM于C，解直角三角形求出NC，OM的长，再求OP． 【解答】解：延长NP交OM于C， ∵∠AOB=6O°，PN⊥ON， ∴∠OCN=30°
∵PM⊥OM，PM=2， ∴PC=4，AC=2∵PN=11，
∴NC=PN+PC=11+4=15， ∵∠OCN=30°，PN⊥ON， ∴OC=10∵MC=2
， ，
， ，
∴OM=OC﹣MC=8
∵PM=2，PM⊥OM， ∴OP=14．
【点评】考查了解直角三角形综合应用问题．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
27．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD． 求证：△OAB是等腰三角形．
【分析】利用HL定理得出△ABD≌△BAC即可得出∠DBA=∠CAB，再利用等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
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∴∠D=∠C=90°，
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）， ∴∠DBA=∠CAB， ∴OA=OB，
即△OAB是等腰三角形．
另外一种证法：
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD ∴∠D=∠C=90°
在Rt△ABD和Rt△BAC中
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL） ∴AD=BC，
在△AOD和△BOC中
，
∴△AOD≌△BOC（AAS）， ∴OA=OB，
即△OAB是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，根据已知得出Rt△ABD≌Rt△BAC是解题关键．
28．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．
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（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数；
（2）若BC=5，BF：FD=5：3，S△BCF=10，求点D到AB的距离．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到FB=FC，根据角平分线的定义得到∠CBA=48°，根据三角形内角和定理计算即可；
（2）根据三角形的面积公式求出DG，根据角平分线的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠CBA=2∠CBD=2∠ABD=48°， ∴∠ACB=180°﹣60°﹣48°=72°， ∵EF是BC的中垂线， ∴FB=FC，
∴∠FCB=∠FBC=24°， ∴∠ACF=72°﹣24°=48°；
（2）作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H， ∵BD平分∠ABC，DG⊥BC，DH⊥AB， ∴DH=DG，
∵BF：FD=5：3，S△BCF=10， ∴S△DCF=6， ∴S△BCD=16， ∴DG=
，
，即点D到AB的距离为
．
∴DH=DG=
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握段的垂直
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平分线上的点到线段的两个端点的距离相等、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是今天的关键．
29．如图，△ABC中，AC=BC，点D在BC上，作∠ADF=∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F． （1）求证：CF∥AB；
（2）若∠CAD=20°，求∠CFD的度数．
【分析】（1）根据三角形的性质得到∠B=∠BAC，由三角形外角的性质得到∠ACE=∠B+∠BAC，求得∠BAC=
，由角平分线的定义得到∠ACF=∠ECF=
，
等量代换得到∠BAC=∠ACF，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）由等量代换得到∠ACF=∠ADF，根据三角形的内角和得到∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°，∠ACF+∠F+∠CGF=180°，由于∠AGD=∠CGF，即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AC=BC， ∴∠B=∠BAC， ∵∠ACE=∠B+∠BAC， ∴∠BAC=
，
∵CF平分∠ACE， ∴∠ACF=∠ECF=∴∠BAC=∠ACF， ∴CF∥AB；
，
（2）解：∵∠BAC=∠ACF，∠B=∠BAC，∠ADF=∠B， ∴∠ACF=∠ADF，
∵∠ADF+∠CAD+∠AGD=180°，∠ACF+∠F+∠CGF=180°，
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又∵∠AGD=∠CGF， ∴∠F=∠CAD=20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
30．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线交BC，AC于点F，N，△AEF的周长是10． （1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C=45°，EF=4，求△AEF的面积．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，FA=FC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据题意得到∠EAF=90°，利用完全平方公式解答．
【解答】解：（1）∵ME是边AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线， ∴BE=AE，FA=FC，
∴BC=BE+EF+FC=AE+EF+AF=10； （2）∵∠B+∠C=45°， ∴∠BAC=135°， ∵BE=AE，FA=FC，
∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C， ∴∠EAF=90°，
∴AE2+AF2=16，又AE+AF=10﹣4=6，
∴△AEF的面积=AE×AF=[（AE+AF）2﹣（AE2+AF2）]=5
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【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
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