概率及其随机变量的分布列讲义

概率、随机变量及其分布列

1．概率

（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。

（2）了解两个互斥事件的概率加法公式。 （3）理解古典概型及其概率计算公式。 （4）了解几何概型的意义。 （5）了解条件概率。

2．两个事件相互独立，n次独立重复试验 （1）了解两个事件相互独立的概念； （2）理解n次独立重复试验的模型并能解决一些实际问题； 3．离散型随机变量及其分布列 （1）理解取有限个值的离散随机变量及其分布列的概念。 （2）理解二项分布，并解决一些简单问题。 4．离散型随机变量的均值、方差 （1）理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念； （2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 【核心要点突破】 要点考向1：古典概型 考情聚焦：1．古典概型是高考重点考查的概率模型，常与计数原理、排列组合结合起来考查。 2．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。 考向链接：1．有关古典模型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到计数原理与排列、组合的相关知识。 2．在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性。 3．对于较复杂的题目，要注意正确分类，分类时应不重不漏。 例1：从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是（） （A）

4321(B)（C）(D)5555 【命题立意】本题考查古典概型，熟练掌握求古典概型概率的常用方法是解决本题的关键。 【思路点拨】先求出基本事件空间包含的基本事件总数n，再求出事件“ba”包含的基本事件

数m，从而P(A)m。 n{(a,b)|a{1,2,3,4,5},b{1,2,3}}，【规范解答】选D。包含的基本事件总数n15。事件“ba”

为{(1,2),(1,3),(2,3)}，包含的基本事件数为m3。其概率P31。 155仅供个人学习参考

【方法技巧】列古典概型的基本事件空间常用的方法有：（1）列举法；（2）坐标网格法；（3）树图等。

要点考向2：几何概型

考情聚焦：1．几何模型是新课标新增内容，预计今后会成为新课标高考的增长点，应引起高度重视。

2．易与解析几何、定积分等几何知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题目。

考向链接：1．当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解。

2．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域。 例2：在区间[-1,2]上随即取一个数x，则x∈[0,1]的概率为。 【命题立意】以非常简单的区间立意，运算不复杂，但能切中考查几何概型的要害。 【思路点拨】一元几何概型→长度之比 1【规范解答】[-1，2]的长度为3，[0,1]的长度为1，所以概率是. 3【方法技巧】一元几何概型→长度之比，二元几何概型→面积之比，三元几何概型→体积之比 要点考向3：条件概率 考情聚焦：1．条件概率是新课标新增内容，在2007年山东高考重点亮相过，预计在今后课改省份高考中会成为亮点。 2．常出现在解答题中和其他知识一同考查，当然也会在选择题、填空题中单独考查。

考向链接：（1）利用公式是求条件概率最基本的方法，这种方法的关键是分别求出P（A）和P（AB），其中P（AB）是指事件A和B同时发生的概率。 （2）在求P（AB）时，要判断事件A与事件B之间的关系，以便采用不同的方法求P（AB）。其中，若

，则P（AB）=P（B），从而 例3：甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。

2； 55②PB|A1；

11①PB③事件B与事件A1相互独立；

仅供个人学习参考

④A1,A2,A3是两两互斥的事件；

⑤PB的值不能确定，因为它与A1,A2,A3中哪一个发生有关。

【命题立意】本题主要考查概率的综合问题，考查考生对事件关系的理解和条件概率的认知水平． 【思路点拨】根据事件互斥、事件相互独立的概念，条件概率及把事件B的概率转化为

P(B)PA1BPA2BPA3B可辨析此题。

【规范解答】显然A1,A2,A3是两两互斥的事件， 有PB|A1544，PB|A2，PB|A3， 111111而P(B)PA1BPA2BPA3B 5524349， 101110111011225599且PA1B，PA1PB，有PA110224422BPA1PB 可以判定②④正确，而①③⑤错误。 【答案】②④ 要点考向4：复杂事件的概率与随机变量的分布列、期望、方差 考情聚焦：1．复杂事件的概率与随机变量的分布列、期望、方差是每年高考必考的内容，与生活实践联系密切。 2．多以解答题的形式呈现，属中档题。 例4：图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图（Ⅰ）求直方图中x的值 （II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望。 【命题立意】以实际生活为背景，考查频率分布直方图的认识，进而考查分布列和期望等统计知识. 【思路点拨】频率分布直方图→矩形的面积表示频率反映概率；随机抽取3位居民（看作有放回的抽样）是三个独立重复实验→计算概率时遵循贝努力概型.

【规范解答】（1）依题意及频率分布直方图知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12. （2）由题意知，X～B(3，0.1).

因此P(x=0)=C030.930.729,P(X=1)=C130.10.920.243,

P(X=2)=C230.120.90.027,P(X=3)=C330.130.001. 故随机变量X的分布列为 仅供个人学习参考

X P 0 0.729 1 0.243 2 0.027 3 0.001 X的数学期望为EX=3×0.1=0.3.

【方法技巧】1、统计的常用图：条形图，径叶图；直方图，折线图等。要学会识图.2、概率问题的解题步骤：首先思考实验的个数、实验关系和实验结果，然后思考目标时间如何用基本事件表示出来，最后利用对立事件、对立事件和互斥事件进行运算.3、在求期望和方差时注意使用公式. 注：（1）求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解。

（2）一个复杂事件若正面情况比较多，反而情况较少，则一般利用对立事件进行求解。对于“至少”，“至多”等问题往往用这种方法求解。 （3）求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率。 （4）求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解。 【高考真题探究】 1．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（） 1511（A）(B)(C)(D) 1224623和，两个零件是否加工为一等34【命题立意】本题考查独立事件同时发生的概率， 【思路点拨】恰有一个一等品，包含两类情况， 21135【规范解答】选B.所求概率为＝ 343412。【方法技巧】1、要准确理解恰有一个产含义， 2、事件A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B) 231153、本题也可用对立事件的概率来解决。所求概率p=1-p1343412.

2．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续回答出两个问题，即停止．．答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于。 【命题立意】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率的求解。

仅供个人学习参考

【思路点拨】分析题意可得：该选手第一个问题可以答对也可以答错，第二个问题一定回答错误，第三、四个问题一定答对，进而求解“相互独立事件同时发生的概率”。

【规范解答】依题意得：该选手第一个问题可以答对也可以答错，第二个问题一定回答错误，第三、

四个问题一定答对，所以其概率P10.20.80.80.128.

3．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，则它们颜色不同的概率是___.

【命题立意】本题考查古典概型的概率求法。

【思路点拨】先求出从盒子中随机地摸出两只球的所有方法数，再求出所摸两只球颜色不同的方法数，最后代入公式计算即可。 13【规范解答】从盒子中随机地摸出两只球，共有C426种情况，而摸两只球颜色不同的种数为C3种情况，故所求的概率为p【答案】1 231. 624．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______（用数字作答）. 【命题立意】本题主要考查独立重复试验及互斥事件的概率，考查考生的分类讨论思想和运算求解能力．

【思路点拨】“4个病人服用某种新药”相当于做4次独立重复试验，“至少3人被治愈”即“3人被治愈”，“4人被治愈”两个互斥事件有一个要发生，由独立重复试验和概率的加法公式即可得出答案. 30.93（10.9）0.2916； 【规范解答】4个病人服用某种新药3人被治愈的概率为：C440.940.6561，故服用这种新药的4个 4个病人服用某种新药4人被治愈的概率为：C4病人中至少3人被治愈的概率为0.29160.65610.9477. 【答案】0.9477.

【方法技巧】求多个事件至少有一个要发生的概率一般有两种办法：1、将该事件分解为若干个互斥事件的“和事件”，然后利用概率的加法公式求解；2、考虑对立事件。如:本题也可另解为

0121[C4(10.9)4C40.9(10.9)3C40.92(10.9)2]0.9477

5．加工某一零件经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为序互不影响，则加工出来的零件的次品率为. 仅供个人学习参考

111、、，且各道工706968

【命题立意】本小题考查概率、相互独立试验等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想.

【思路点拨】加工零件需要完成三道工序，考虑问题的对立事件，加工出合格零件则需要三道工序都是合格品.

111【规范解答】因为第一、二、三道工序的次品率分别为70、69、68，所以第一、二、三道工序

的正品率分别为【答案】3. 70696867696867673,,，所以加工出来的零件的次品率为P117069687069687070

【方法技巧】当所求事件的情形较多时，它的对立事件的情形较少，采用对立事件求解就是“正难则反易”的方法. 6．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,…,6），求： （1）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； （2）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率. 【命题立意】本小题考查排列、组合、古典概型的基础知识及其综合应用，考查运算求解能力，及分类讨论的数学思想. 【思路点拨】先求出事件的总的基本事件的个数，再求出符合题意要求的基本事件的个数，最后计算概率. 【规范解答】（方法一）考虑甲乙两个单位的排列顺序，甲乙两个单位可以排列在6个位置中的任意两个位置，有A6230种等可能的结果； （1）设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则事件A包含的基本事件的个数是A326,所以

P(A)=61=； 305（2）设B表示事件“甲乙两单位的演出序号不相邻”，则B表示事件“甲乙两单位的演出序号相邻”，事件B包含的基本事件的个数是5A2210, 所以P(B)1P(B)1102 303（方法二）不考虑甲乙两个单位的排列顺序，甲乙两个单位可以在6个位置中的任选两个位置，有

C6215种等可能的结果；

仅供个人学习参考

（1）设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则事件A包含的基本事件的个数是C323,所以

P(A)=31=； 155（2）设B表示事件“甲乙两单位的演出序号不相邻”，则B表示事件“甲乙两单位的演出序号相邻”，事件B包含的基本事件的个数是5,所以P(B)1P(B)152. 153（方法三）考虑所有单位的排列位置，各单位的演出顺序共有A66720(种)情形；

4144,（1）设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则事件A包含的基本事件的个数是A32A4所以P(A)=1441=； 7205（2）设B表示事件“甲乙两单位的演出序号不相邻”，则B表示事件“甲乙两单位的演出序号相24A4240, 邻”，事件B包含的基本事件的个数是5A2所以P(B)1P(B)12402. 7203【跟踪模拟训练】 一、选择题（每小题6分，共36分） 1．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为() 8254860（A）91 （B）91 （C）91 （D）91 2．已知函数穷数列{f(n)}g(n)f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)ag(x)(a0且a1)，x2f(1)f(1)1g(1)g(1)，在有

(n1,2,3,,10)中，任意取正整数k(1剟k4D.51510)，则其前k项和大于16的概率是()

12A.5B.53C.5 3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，记骰子落地后朝上的点数分别为x、y，则log2xy1的概率

1115为（ ） A．6 B．36 C．12 D．2

4．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表: 组别 频数 12 13 24 15 16 13 7 则样本数据落在(10,40]上的频率为 仅供个人学习参考

A．0.13B．0.39 C．0.52D．0.64

5．从足够多的四种颜色的灯泡中任选六个安置在如右图的6个顶点处，则相邻顶点处灯泡颜色不同的概率为（）

228240264288A．6 B．6 C．6 D．6

44446．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b,c，则方程x2bxc0有实根的概率为

171195 A． B． C． D．

362369二、填空题（每小题6分，共18分）

7．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外兴趣小组，每名同至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有人． 8．从5名世博志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种. 9.已知集合A={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},集合B={(x,y)|(x-2)2+(y-2)2≤4,x,y∈Z},在集合A中任取一个元素p,则p∈B的概率是_______. 三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分) 10.一个口袋中装有n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球，一次摸奖从中摸出两个球，两个球颜色不同则为中奖. (1)试用n表示一次摸奖中奖的概率P; (2)若n=5,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率; (3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率记为P3(1),当n取多少时,P3(1)值最大?

211．袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n6n12克，

这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）。 （1）如果任意取出1球，求其重量大于号码数的概率； （2）如果不放回地任意取出2球，求它们重量相等的概率。 12．大量统计数据表明，某班一周内（周六、周日休息）各天语文、数学、外语三科有作业的概率如下表：

根据上表：（I）求周五没有语文、数学、外语三科作业的概率； （II）设一周内有数学作业的天数为，求随机变量的分布列和数学期望。

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