八年级数学下册专题复习：动点与其中“不变”的数量关系

八年级数学下册专题复习：

动点与其中“不变”的数量关系

编写：赵化中学 郑宗平

例.（2012中考·自贡） 如图所示，在菱形ABCD中，AB4,BAD120，VAEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． ⑴.证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BECF? ⑵.当点E、F在BC、CD上滑动时，探讨四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值.

分析：

⑴.先求证ABAC，进而求证VABC、VACD为等边三角形，得BAC=60，ACAB进而求证VABE≌VACF，即可求得BECF ⑵.根据VABE≌VACF可得SVABE=SVAECSVBAE=SVABC即可解得. ⑴.略证：连接AC，如下图所示.

∵四边形ABCD为菱形，BAD120 ∴1EAC60,2EAC60 ∴12 ∵BAD120

∴ABC60

∴VABC和VACD都为等边三角形 ∴4=60，ACAB

12∴在VABE和VACF中，ABAC

ABC31SVACF;根据S四边形

AECF=SVAECSVACFA2BEHC3DF∴VABE≌VACFASA

∴BECF

⑵.略解：四边形AECF的面积不变.

理由：由⑴得VABE≌VACF，则SVABESVACF.

故S四边形AECF=SVAECSVACF=SVAECSVBAE=SVABC 是定值. 作AHBC于H点，则BH2.

11四边形ABCD＝SVABC=BCAHBCAB2BH243 22

点评：虽然E、F在BC、CD上是动点，但在滑动过程中12,ABAC,ABC3的

S相等关系是不变的，也就是由其中的等边三角形为框架构建的VABE和VACF总是全等的，所以总有BECF这个相等关系. 在动点中要探寻其中未知“不变”的数量关系，关键是首先抓住图形的提供的已知的“不变”的数量关系，比如本例虽然E、F在BC、CD上的滑动带动VAEF的位置发生移动，但其中的EAF2EAC60o或AEAF等没有发生变化.

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追踪练习：

1、 矩形ABCD中，AB=3，AD=4，PE⊥AC，PF⊥BD. ⑴.求PE+PF的值？

⑵.若点P是AD上的一动点（不与A、D重合），还是作PE⊥AC，PF⊥BD，则PE+PF的值是否会发生变化？为什么？

P D A F E

O B C 2、已知点O为正方形ABCD的中心（对角线的交点），（M与点O、DM为射线OD上一动点不重合，以线段AM为一边作正方形AMEF,连结FD. ⑴.当点M在线段OD上时（如图甲），线段BM与DF有怎样的关系？请说明理由. ⑵.当点M在线段OD的延长线上时（如图乙），⑴中的结论是否仍然成立？请结合图乙说明理由.

E FFEDMOBAAODM图甲CB图乙C 2