北京市2023-2024学年高一上学期期中考试 数学含解析

高一数学2023.10（答案在最后）

说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合A.M2,1,0,1，Nx3x0，则MN（B.2

）D.2,1,0,10,1C.22,12.命题“x0(0,)，x012x0”的否定为A.x(0,)，x212xC.x(,0)，x212xB.x(0,)，x212xD.x,0，x212x

）3.已知关于x的方程x22xm0的两根同号，则m的取值范围是（A.m1B.m0C.0m1D.0m1

2x2xx14.已知函数fx，则ff1的值为（x1x1

）D.2

A.3B.0C.15.已知aR，则“a1”是“A.充分不必要条件C.充要条件1

1”的（a）．B.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件）6.下列函数中，在区间0,上单调递增且是奇函数的是（A.yx1C.yx

B.yxD.y=x2

1

x7.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A.b-aB.c2abC.ccbaD.bc）8.设f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)3x1，则f(0)f(4)（A.12B.12

C.13D.13）D.9.已知当x0时，不等式x2mx160恒成立，则实数m的取值范围是（A.

,8B.,8C.8,6,1

10.对于全集U的子集A定义函数fAx

0

结论中错误的是()xðUAxA为A的特征函数,设A,B为全集U的子集,下列A.若AB,则fAxfBxC.fABxfAxfBxB.fðRAx1fAxD.fABxfAxfBx二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）

11.函数f(x)

2x1的定义域为__________．12.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A,B,C的坐标分别为0,4,2,0,的解集为________.6,4，则f(x)213.定义在R上的函数fx，给出下列三个论断：①fx在R上单调递增；②x1；③fxf1.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：__________，_________推出___________.（把序号写在横线上）14.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过12m3的部分超过12m3但不超过18m3的部分超过18m3的部分3元/m36元/m39元/m3若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.x24x3,x0

15.设函数fx1.给出下列四个结论：,x0x①函数fx的值域是R；②x1,x2(2,)x1x2，有fx1fx2x1x20；③x00，使得fx0fx0；④若互不相等的实数x1,x2,x3满足fx1fx2fx3，则x1x2x3的取值范围是3,.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.设关于x的不等式xa2的解集为A，不等式x2x60的解集为B.（1）求集合A，B；（2）若AB，求实数a的取值范围.17.已知函数fx

2x3

.x1

（1）用函数单调性的定义证明：fx在1,上是增函数；（2）求函数fx在区间1,4上的值域.18.已知二次函数fx的最小值为1，且f0f23.（1）求fx的解析式；（2）在区间3,1上，yfx的图象恒在y2x2m1的图象上方，确定实数m的取值范围.19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：P

3m

xR,0x8．若不建隔热4x5层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m的值及用x表示S；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．x1x2S，20.已知fx是定义域为R的函数，若对任意x1,x2R，均有fx1fx2S，则称fx是S关联.（1）判断和证明函数fx2x1是否是0,关联?是否是0,1关联?2fx3fxx22xx0,3fx是3（2）若关联，当时，，解不等式：.北京2023-2024学年第一学期期中练习

高一数学2023.10

说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合A.M2,1,0,1，Nx3x0，则MN（B.）D.2,1,0,10,1C.22,1【答案】D【解析】【分析】利用交集的定义可求得集合MN.【详解】因为集合M2,1,0,1，Nx3x0，则MN2,1.故选：D.2.命题“x0(0,)，x012x0”的否定为2

A.x(0,)，x212xC.x(,0)，x212x【答案】A【解析】B.x(0,)，x212xD.x,0，x212x

【分析】特称命题的否定是全称命题，并将结论否定，即可得答案.【详解】命题“x0(0,)，x012x0”的否定为“x(0,)，x212x”.2

故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定的书写，是基础题.3.已知关于x的方程x22xm0的两根同号，则m的取值范围是（A.m1B.m0C.0m1D.0m1【答案】C）【解析】【分析】利用判别式和韦达定理解决.【详解】关于x的方程x22xm0的两根同号，则判别式大于等于0且两根之积大于零，Δ44m0则有，解得0m1

.m0

故选：C2x2xx14.已知函数fx，则ff1的值为（x1x1

）D.2

A.3【答案】D【解析】B.0C.1【分析】先求f1，进而求出f

f1.2【详解】由题意得，f11213，则f故选：D.5.已知aR，则“a1”是“A.充分不必要条件C.充要条件【答案】A【解析】f1f3312.1

1”的（a

）．B.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件1

1的解集，再利用充分必要条件的概念即可判断.a1a1

0，此不等式与不等式a(a1)0同解，解得a<0或a1.【详解】由1得aa

1

所以，当a1时，1一定成立，故充分性成立；a1

当1即a<0或a1时，a1不一定成立，故必要性不成立.a1

综上所述，“a1”是“1”的充分不必要条件.a【分析】先求故选：A.6.下列函数中，在区间0,上单调递增且是奇函数的是（A.yx1B.yx

）1xC.yx【答案】B【解析】D.y=x2

【分析】根据函数的单调性和奇偶性的定义即可得到答案.【详解】对于A，当x0时，y10，所以yx1不是奇函数，故A错误；对于B，因为yfxx1x的定义域为x|x0，又fxx1x

x11xfx，所以yxx为奇函数，因为yx,y1

在区间0,所以yx

1

x上单调递增，x在区间0,上单调递增，故B正确；对于C，因为yfxx的定义域为R，又fxxfx，所以yx为偶函数，故C错误.对于D，因为yfxx2的定义域为R，又fxx2

fx，所以y=x2为偶函数，故D错误.故选：B.7.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（A.b-a-2-1，不成立.对于B，(-3)2>(-2)(-1)，不成立.）D.bc对于C，

33，不成立.21对于D， -2´(-3)<-1´(-3)，因此成立.故选：D．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．8.设f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)3x1，则f(0)f(4)（A.12【答案】C【解析】【分析】根据f(x)为R上的奇函数，求出f0,f4.【详解】因为fx为R上的奇函数，所以f00，f4f413，所以f0f413.故选：C9.已知当x0时，不等式x2mx160恒成立，则实数m的取值范围是（A.）D.B.12

C.13）D.13

,8B.,8C.8,6,【答案】A【解析】【分析】将参数m与自变量分离，利用基本不等式求得最值即可得出实数m的取值范围.【详解】根据题意当x0时，不等式x2mx160恒成立，16x21616

则m<x,x>0恒成立，只需m<x即可；xminxx

易知当x0时，由基本不等式可得x所以x

16162x8，当且仅当x4时取等号；xx



16

8，即m8，xmin

所以实数m的取值范围是,8.故选：A1

fx10.对于全集U的子集A定义函数A

0

结论中错误的是()xðAUxA为A的特征函数,设A,B为全集U的子集,下列A.若AB,则fAxfBxC.fABxfAxfBx【答案】D【解析】【分析】B.fðRAx1fAxD.fABxfAxfBx1

fx根据A

0

xðAUxA,逐项分析,即可求得答案.1

【详解】fAx

0

对于A,AB,分类讨论：xðAUxA①当xA,则xB,此时fA(x)fB(x)1

②当xA且xB,即xðUB,此时fA(x)fB(x)0，③当xA且xB,即x(ðUA)B时,fA(x)0,fB(x)1,此时fA(x)fB(x)综合所述,有fA(x)fB(x),故A正确;对于B, fðA(x)U1,xðUA0,xA1fA(x),故(2)正确；1,xAB

f(x)对于C,AB

0,xCU(AB)1,xAB

0,xCUACUB1,xB1,xA

0,xCUA0,xCUB

fA(x)fB(x),故C正确;0,xABfA(x)fB(x),故D错误.对于D,fAB(x)1,xC(AB)U故选:D.【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）

11.函数f(x)【答案】[,)【解析】【详解】依题意，2x10,x

2x1的定义域为__________．1

2

1.2

12.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A,B,C的坐标分别为0,4,2,0,的解集为________.6,4，则f(x)2【答案】{x|1x4}【解析】【分析】根据函数的图象，观察即可得出答案.【详解】当fx2时，由图象可知1x4，即fx2的解集为{x|1x4}.【点睛】本题主要考查了函数的图象，属于中档题.13.定义在R上的函数fx，给出下列三个论断：①fx在R上单调递增；②x1；③fxf1.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：__________，_________推出___________.（把序号写在横线上）【答案】【解析】①.①（答案不唯一）②.②（答案不唯一）③.③（答案不唯一）【分析】根据单调性和范围即可推出不等式.【详解】①②推出③；证明：当f(x)在R单调递增且当x1时，有f(x)f(1)，得证.①③推出②；证明：当f(x)在R单调递增且当f(x)f(1)时，有x1，得证.①②无法推出③；取fxx1，此时满足x1且f(x)f(1)，但不满足f(x)在R单调递增.故答案为：①；②；③.（答案不唯一）14.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量不超过12m3的部分超过12m3但不超过18m3的部分超过18m3的部分水价3元/m36元/m39元/m32

若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.【答案】20m3##20立方米【解析】【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量.【详解】设用水量为x立方米，水价为y元，3x,0x12

则y366x12,12x18，729(x18),x183x,0x12

整理得到：y6x36,12x18，9x90,x18

当0x12时，0y36；12x18时，36y72；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，令9x9090，则x=20（立方米），故答案为：20m3.x24x3,x0



15.设函数fx1.给出下列四个结论：,x0x①函数fx的值域是R；②x1,x2(2,)x1x2，有fx1fx2x1x20；③x00，使得fx0fx0；④若互不相等的实数x1,x2,x3满足fx1fx2fx3，则x1x2x3的取值范围是3,.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①③④【解析】【分析】对于①，利用二次函数与反比例函数的图像性质画出函数图1，结合图像即可判断；对于②，举反例排除即可；对于③，将问题转化为yx

24x3与y

1

有交点，作出图2即可判断；x对于④，结合图1对x1,x2,x3进行分析即可.x24x3,x0

【详解】对于①，因为fx1，,x0x所以由二次函数与反比例函数的图像性质可画出函数图象，如图1，由fx的图像易知fx的值域是R，故①正确；对于②，易得错误；f03，f11，显然fx在2,上并不单调递增，所以②说法不成立，故②对于③，假设存在x00，fx0fx0，则x04x03即yx

22

112

x4x3，即0，0

x0x0

4x3与y

1

有交点，作出图像，如图2，显然假设成立，故③正确；x对于④，由图1易知x1x22，则x1x24，21

0，解得x31，x3

因为f21，所以1fx30，即1

所以x1x2x34x3413，即x1x2x3的取值范围是3,，故④正确；综上：①③④正确.故答案为：①③④.三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.设关于x的不等式xa2的解集为A，不等式x2x60的解集为B.（1）求集合A，B；（2）若AB，求实数a的取值范围.【答案】（1）A{x|a2xa2}，B{x|2x3}（2）[0,1]【解析】【分析】（1）解绝对值不等式和二次不等式即可得解；（2）利用集合的包含关系得到关于a的不等式组，解之即可得解.【小问1详解】因为|xa|2，所以2xa2，则a2xa2，所以A{x|a2xa2}，因为x2x60，所以(x2)(x3)0，解得2x3，所以B{x|2x3}【小问2详解】因为AB，因为a2a2恒成立，所以A所以

，a22

，解得0a1，a23

2x3

.x1故a取值范围为[0,1].17.已知函数fx

（1）用函数单调性的定义证明：fx在1,上是增函数；（2）求函数fx在区间1,4上的值域.【答案】（1）证明见解析（2）

1

,12

【解析】【分析】（1）任取x1,x21,，且x1x2，通过计算fx1fx2的正负来判断单调性；（2）由函数fx在区间1,4上单调性求出最值即可.【小问1详解】任取x1,x21,，且x1x2，则fx1fx25x1x22x132x232x13x212x23x11，x11x21x11x21x11x21因为x1,x21,，x1x2，所以x1x20，x110，x210，所以fx1fx20，即fx1fx2，所以fx在1,上是增函数.【小问2详解】由（1）知fx在区间1,4上单调递增，所以fxminf1

1

，fxmaxf41，21

,1.2

所以函数fx在区间1,4上的值域为

18.已知二次函数fx的最小值为1，且f0f23.（1）求fx的解析式；（2）在区间3,1上，yfx的图象恒在y2x2m1的图象上方，确定实数m的取值范围.【答案】（1）fx2x4x3，xR

2（2）m5【解析】【分析】（1）利用二次函数解析式的顶点式、待定系数法分析运算即可得解.（2）由题意将图象的位置关系转化为不等式，利用分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【小问1详解】解：由题意，设二次函数fxaxm1，a0，∵f0f23，2a0m13a2∴，解得：，2m1a2m13

2∴fx2x112x24x3，xR.【小问2详解】解：∵在区间3,1上，yfx的图象恒在y2x2m1的图象上方，∴2x24x32x2m1在区间3,1上恒成立，即mx23x1在区间3,1上恒成立，令gxx3x1，则在区间3,1上mgx恒成立，22

∴mgxmin，∵函数gxx3x1图象的对称轴为x

23

，开口向上，2

∴函数gxx3x1在区间3,1上单调递减，2∴gxming15，则m5，∴实数m的取值范围是,5.19.为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：P

3m

xR,0x8．若不建隔热4x5层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．（1）求m的值及用x表示S；（2）当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．【答案】（1）m15，S

1800

8x（0x8）；4x5（2）当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用S取得最小值110万元.【解析】【分析】（1）利用给定条件，求出m的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.（2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.【小问1详解】设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：P则3m

9，解得m15，53m

，而当x0时，P9，4x5显然建造费用为8x，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：S40P8x40

【小问2详解】由（1）知S

451800

8x8x（0x8）.4x54x5180018008x24x5104x54x52180024x51026010110，4x51800

24x5，即x6.25时取等号，4x5当且仅当所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用S取得最小值110万元．x1x2S，20.已知fx是定义域为R的函数，若对任意x1,x2R，均有fx1fx2S，则称fx是S关联.（1）判断和证明函数fx2x1是否是0,关联?是否是0,1关联?（2）若fx是3关联，当x0,3时，fxx2x，解不等式：2fx3.2【答案】（1）fx是0,关联，不是0,1关联（2）x13x5【解析】【分析】（1）根据关联定义直接判断即可；（2）先根据关联定义确定函数fx满足的性质，再结合x0,3时的解析式画出函数图像，结合图像即可求解.【小问1详解】任取x1,x2R，若x1x20,，则fx1fx22x1x20,所以fx是0,关联；若x1x20,1，则fx1fx22x1x20,2，所以fx不是0,1关联.【小问2详解】由题意知，当x1x23时，fx1fx23，即fx3fx3，由于当x0,3时，fxx2x，所以画出fx的图像如图，2当x0,3时，令fxx2x2得x13，2

令fxx2x0得x0或x2，2

结合图像求出点A13,2，B5,3，