机械振动课后习题和答案第三章习题和答案

1．写出系统的刚度矩阵和质量矩阵；

2．写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。

解：1)以静平衡位置为原点，设I1,I2的转角1,2为广义坐标，画出I1,I2隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：

I11kt11kt2(12)0I11(kt1kt2)1kt220，即： I22kt2(21)0I22kt21kt220

I所以：M100kt1kt2,KkI2t2kt2 kt2

11系统运动微分方程可写为：MK0 ………… (a)

22或者采用能量法：系统的动能和势能分别为

11I112I222 221111Ukt112kt2(12)2(kt1kt2)12kt222kt112

2222ET

求偏导也可以得到M,K

2021由于I12I2;kt1kt2，所以MI2,Kkt111 01u2)设系统固有振动的解为： 11cost，代入（a）可得：

2u2

u1(KM)0 ………… (b)

u222

2kt122I2得到频率方程：()kt1244kt1I22kt120 即：(2)2I2kt10 2kt1I2解得：1,2224kt1I2(4kt1I2)242I2kt1224I2(22)kt1

2I2

所以：1(22)kt1(22)kt1<2 ………… (c)

2I22I2将（c）代入（b）可得：

(22)kt1I22kt122I2kt1u10 (22)kt1u2kt1I22I2kt1解得：

u1122；u122uu 21222令u21，得到系统的振型为：

1

1

求图所示系统的固有频率和振型。设m13m2;k33k23k1。并画出振型图。

解：1)以静平衡位置为原点，设m1,m2的位移x1,x2为广义坐标，画出m1,m2隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：

m1x1k1x1k2(x1x2)0 m2x2k2(x2x1)k3x20

k1k2m10所以：M,Kk0m22k2

k2k3

x1x1系统运动微分方程可写为：MK0 ………… (a)

x2x2或者采用能量法：系统的动能和势能分别为

11m1x12m2x22 22111Uk1x12k2(x1x2)2k3x22

222ET求偏导也可以得到M,K

3021由于m13m2;k33k23k1，所以Mm2 ,Kk20114x1u12)设系统固有振动的解为： cost，代入（a）可得：

x2u2

u(K2M)10 ………… (b)

u22

2k232m2得到频率方程：()k2k20

4k22m22414k2m227k220 即：(2)3m2解得：1,22214k2m2(14k2m2)243m27k22(727)k2 26m23m2

所以：1(727)k2(727)k2<2 ………… (c)

3m23m2将（c）代入（b）可得：

(727)k22k3m223m2k2k2u10 u2(727)k24k2m23m2解得：

u11275u12527； u213u223令u21，得到系统的振型为 ：

1

1

如图所示弹簧质量系统，写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。

解：以静平衡位置为原点，设m1,m2的位移x1,x2为广义坐标，系统的动能和势能分别为

11mx12mx22 2211Ukx12k(x1x2)2mg(x1x2)

22ET1021求得：Mm ,Kk0111x1x1系统运动微分方程可写为：MK0 ………… (a)

x2x2

x1u1设系统固有振动的解为： cost，代入（a）可得：

x2u2

u1(KM)0 ………… (b)

u222

2k2mk0 得到频率方程：()2kkm即：(2)m243km2k20

解得：1,22(35)k

2m

所以：1(35)k(35)k<2 ………… (c)

2m2m将（c）代入（b）可得：

(35)kmk2ku2m10

(35)ku2kkm2m解得：

u1151u1215； u212u222令u21，得到系统的振型为：

1 1

如图T—所示，由一弹簧是连接两个质量m1，m2构成的系统以速度v撞击制动器k1，求传到基础上的力的最大值。设v为常数且弹簧无初始变形，并设m1=m2与k1=2k。

求图所示系统的固有频率和振型，并画出振型图。设杆质量分布均匀。

求图所示系统当左边质量有初始位移A而其余初始条件均为零时的响应

如图T—所示由弹簧耦合的双摆，杆长为L。

1．写出系统的刚度矩阵、质量矩阵和频率方程； 2．求出固有频率和振型；

3．讨论是值改变对固有频率的影响。

解：