机械振动 课后习题和答案 第三章 习题和答案

1．写出系统的刚度矩阵和质量矩阵；

2．写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。

解：1)以静平衡位置为原点，设I1,I2的转角1,2为广义坐标，画出I1,I2隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：

kk()0(kk)k0I1I11t11t2121t1t21t22 ，即： I22kt2(21)0I22kt21kt220

I1所以：M00kt1kt2,KI2kt2kt2 kt2

11系统运动微分方程可写为：MK0 ………… (a)

22或者采用能量法：系统的动能和势能分别为

1212ETI1I22 1221111Ukt112kt2(12)2(kt1kt2)12kt222kt112

2222求偏导也可以得到M,K

2021由于I12I2;kt1kt2，所以MI2 ,Kkt101111u12)设系统固有振动的解为： cost，代入（a）可得：

2u2

u1(K2M)0 ………… (b)

u22

得到频率方程：()2kt122I2kt1kt1kt12I20

24即：(2)2I24kt1I22kt120

24kt1I2(4kt1I2)242I2kt12(22)kt1 24I22I2解得：1,22

所以：1(22)kt1(22)kt1<2 ………… (c)

2I22I2

将（c）代入（b）可得：

(22)kt1I2kt12kt122I2u10

(22)kt1u2kt1kt1I22I2解得：

u11u22；12 u212u222

令u21，得到系统的振型为：

1

-0.707

0.707

1

3.2 求图所示系统的固有频率和振型。设m13m2;k33k23k1。并画出振型图。

解：1)以静平衡位置为原点，设m1,m2的位移x1,x2为广义坐标，画出m1,m2隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：

x1k1x1k2(x1x2)0m1 x2k2(x2x1)k3x20m2

k1k2m0所以：M1,Kk0m22k2

k2k3

xx系统运动微分方程可写为：M1K10 ………… (a)

x2x2或者采用能量法：系统的动能和势能分别为

1112m2x22 ETm1x22111Uk1x12k2(x1x2)2k3x22

222求偏导也可以得到M,K

3021由于m13m2;k33k23k1，所以Mm2 ,Kk20114x1u12)设系统固有振动的解为： cost，代入（a）可得：

x2u2

u1(K2M)0 ………… (b)

u22

得到频率方程：()2k232m2k2k24k2m220

24即：(2)3m214k2m227k220

214k2m2(14k2m2)243m27k22(727)k2 26m23m2解得：1,22

所以：1(727)k2(727)k2<2 ………… (c)

3m23m2

将（c）代入（b）可得：

(727)k2m2k22k233m2u10

(727)k2u2k24k2m23m2解得：

u11275u12527； u213u223

令u21，得到系统的振型为 ：

1 -3.430

1 0.09

3.3 如图所示弹簧质量系统，写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。

解：以静平衡位置为原点，设m1,m2的位移x1,x2为广义坐标，系统的动能和势能分别为

1112mx22 ETmx

2211 Ukx12k(x1x2)2mg(x1x2)

22

1021求得：Mm,Kk11 01xx系统运动微分方程可写为：M1K10 ………… (a)

x2x2

设系统固有振动的解为：

x1u1cost，代入（a）可得： x2u2

u1(K2M)0 ………… (b)

u22

得到频率方程：()2k2mkkkm20

即：(2)m243km2k20

解得：1,22(35)k

2m

所以：1(35)k(35)k<2 ………… (c)

2m2m将（c）代入（b）可得：

(35)k2kmku2m10

(35)ku2kkm2m解得：

u1151u1215； u212u222令u21，得到系统的振型为：

1.736

1

1

-2.736

3.4 如图T—3.4所示，由一弹簧是连接两个质量m1，m2构成的系统以速度v撞击制动器k1，求传到基础上的力的最大值。设v为常数且弹簧无初始变形，并设m1=m2与k1=2k。

3.5 求图所示系统的固有频率和振型，并画出振型图。设杆质量分布均匀。

3.6 求图所示系统当左边质量有初始位移A而其余初始条件均为零时的响应

3.7 如图T—3.7所示由弹簧耦合的双摆，杆长为L。

1．写出系统的刚度矩阵、质量矩阵和频率方程； 2．求出固有频率和振型；

3．讨论是值改变对固有频率的影响。

解：