高考数学复习考点题型解题思路与方法专题讲解21 三角函数中的范围、最值问题

三角函数中的范围、最值问题

以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键．

π53

例1 (1)若函数y＝sin2x＋acos x＋8a－2在0，2上的最大值是1，则实数a的值为

________． 3

答案2

53

解析 y＝1－cos2x＋acos x＋8a－2 a2a251

＝－cos x－2＋4＋8a－2.

π

∵0≤x≤2，∴0≤cos x≤1.

a

①若2>1，即a>2，则当cos x＝1时， 5320

ymax＝a＋8a－2＝1⇒a＝13<2(舍去)； a

②若0≤2≤1，即0≤a≤2，

aa251

则当cos x＝2时，ymax＝4＋8a－2＝1， 3

∴a＝2或a＝－4<0(舍去)；

a

③若2<0，即a<0，则当cos x＝0时，

1 / 6

5112

ymax＝8a－2＝1⇒a＝5>0(舍去)． 3

综上可得，a＝2.

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acos C＋b＝0，则tan B的最大值是________． 3答案4

解析 在△ABC中，因为3acos C＋b＝0， 所以C为钝角，

由正弦定理得3sin Acos C＋sin(A＋C)＝0， 3sin Acos C＋sin Acos C＋cos Asin C＝0， 所以4sin Acos C＝－cos A·sin C， 即tan C＝－4tan A. 因为tan A>0，

所以tan B＝－tan(A＋C)＝－

tan A＋tan C

1－tan Atan C1

4tan A＋tan A

3

＝

tan A＋tan C－3tan A

＝＝

tan Atan C－1－4tan2A－1

≤

3＝4， 24

3

13

当且仅当tan A＝2时取等号，故tan B的最大值是4. 2π

例2 (1)(2020·烟台模拟)将函数f(x)＝cos x的图象向右平移3个单位长度，再将各点的π11横坐标变为原来的ω(ω>0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在0，2上的值域为－2，1，



2 / 6

则ω的取值范围为( )

481548，，，＋∞A.33 B.33 C.3 D.3，＋∞ 答案 A

2π2π

解析 f(x)＝cos x向右平移3个单位长度，得到y＝cosx－3的图象，再将各点横坐标

2π1

ωx－变为原来的ω(ω>0)得g(x)＝cos， 3π2π2πωπ2π

当x∈0，2时，ωx－3∈－3，2－3，

1又此时g(x)的值域为－2，1，

ωπ2π2π48

∴0≤2－3≤3，∴3≤ω≤3. π

(2)若将函数f(x)＝sin2x＋4的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则

φ的最小正值是________． 3π

答案8

π

解析 方法一 将f(x)＝sin2x＋4的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝

πππ

2x－2φ＋sin该图象关于y轴对称，即g(x)为偶函数，因此4－2φ＝kπ＋2，k∈Z，4的图象，kππ3π所以φ＝－2－8(k∈Z)，故当k＝－1时，φ的最小正值为8.

π

方法二 将f(x)＝sin2x＋4的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝

πππkππ

sin2x－2φ＋4的图象，令2x－2φ＋4＝kπ＋2，k∈Z，得x＝2＋8＋φ(k∈Z)，此即为g(x)的对称轴方程，

3 / 6

kππkππ

又g(x)的图象关于y轴对称，所以有2＋8＋φ＝0，k∈Z，于是φ＝－2－8(k∈Z)，故当3π

k＝－1时，φ取最小正值8.

(1)求解

三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等．

(2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象．

ππ1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝3对称，且f 12＝0，则ω的最

小值为( )

A．2 B．4 C．6 D．8 答案 A

2πππ

解析 函数f(x)的周期T≤43－12＝π，则ω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.

2．若函数f(x)＝2sin x＋cos x在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α的值等于( ) 43221

A.5 B.5 C.5 D.5 答案 A

π1ππ0，解析 f(x)＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝2，且φ∈，由－＋2kπ≤x＋φ≤k∈Z，222＋2kπ，ππππ

得－2－φ＋2kπ≤x≤2－φ＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，增区间为－2－φ，2－φ，所以αmax

π2sin φcos φ2tan φ4π

＝2－φ，所以当α取最大值时，sin 2α＝sin 22－φ＝sin 2φ＝2＝＝. sinφ＋cos2φtan2φ＋15

4 / 6

π1

3．已知函数f(x)＝2sinωx＋6中x在任意的5个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数ω的取值范围是________． 答案 [10π，＋∞)

2π1

解析 由题意得T＝ω≤5，∴ω≥10π， ∵ω>0，∴ω≥10π.

π2πππ

4．已知函数f(x)＝sinωx＋3(ω>0)，若f(x)在0，3上恰有两个零点，且在－4，24上

单调递增，则ω的取值范围是________． 510答案2，3



π

解析 令ωx＋3＝kπ，k∈Z， 3kπ－π

得x＝3ω，k∈Z，

5π8π

∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为3ω，3ω， 5π2π3ω≤3，∴8π2π3ω>3，

5

解得2≤ω<4，

πππ

令－2＋2kπ≤ωx＋3≤2＋2kπ，k∈Z， 5π2kππ2kπ

∴－6ω＋ω≤x≤6ω＋ω，k∈Z， 5ππ令k＝0，f(x)在－6ω，6ω上单调递增，

ππ5ππ

∴－4，24⊆－6ω，6ω， 

5 / 6

ππ∴

6ω≥24，ω>0

5ππ－6ω≤－4，

10

⇒0<ω≤3，

510

综上得ω的取值范围是2≤ω≤3.

6 / 6