高中数学不等式典型例题解析

不等式

一．不等式的性质：

cbd1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a则abc,d，

（若ab,cd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若ab0,cd0，则acbd（若ab0,0cd，ab则）； cd3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若ab0，则anbn或nanb；

11114．若ab0，ab，则；若ab0，ab，则。如

abab（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若ab,则ac2bc2； ②若ac2bc2,则ab；

11 ③若ab0,则a2abb2； ④若ab0,则；

abba ⑤若ab0,则； ⑥若ab0,则ab；

abab11 ⑦若cab0,则； ⑧若ab,，则a0,b0。 cacbab其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知1xy1，1xy3，则3xy的取值范围是______

（答：13xy7）；

c（3）已知abc，且abc0,则的取值范围是______

a1（答：2,）

2二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

1t1（1）设a0且a1,t0，比较logat和loga的大小

22

（答：当a1时，

1t1logatloga（t1时取等号）；当0a1时，221t1logatloga（t1时取等号））； 2221（2）设a2，pa，q2a4a2，试比较p,q的大小

a2（答：pq）；

（3）比较1+logx3与2logx2(x0且x1)的大小

44（答：当0x1或x时，1+logx3＞2logx2；当1x时，1+logx3＜

3342logx2；当x时，1+logx3＝2logx2）

3三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积

最大，积定和最小”这17字方针。如 （1）下列命题中正确的是

1 A、yx的最小值是2

xx23 B、y的最小值是2

2x24 C、y23x(x0)的最大值是243 x4 D、y23x(x0)的最小值是243

x（答：C）；

（2）若x2y1，则2x4y的最小值是______

（答：22）；

（3）正数x,y满足x2y1，则

11的最小值为______ xy（答：322）；

224.常用不等式有：（1）ababab2(根据目标不等式左右

2211ab222的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，abcabbcca（当且仅当abcbbm时，取等号）；（3）若ab0,m0，则（糖水的浓度问题）。如

aam如果正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是_________

（答：9,）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：

作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).

11111112 常用的放缩技巧有：nn1n(n1)nn(n1)n1n

111kk1 k1k2kk1k如（1）已知abc，求证：a2bb2cc2aab2bc2ca2 ； (2) 已知a,b,cR，求证：a2b2b2c2c2a2abc(abc)；

11xy（3）已知a,b,x,yR，且,xy，求证：； abxayb(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：abbccalglglgablcg； lglg222（5）已知a,b,cR，求证：a2b2b2c2c2a2abc(abc)；

k1k(6)若nN*，求证：(n1)21(n1)n21n；

|a||b||a||b|(7)已知|a||b|，求证：； |ab||ab|111（8）求证：12222。

23n六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次

因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如 （1）解不等式(x1)(x2)20。

（答：{x|x1或x2}）； （2）不等式(x2)x22x30的解集是____

（答：{x|x3或x1}）； 0的解集为{x|1x2}，（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)g(x)0的解集为，则不等式f(x)g(x)0的解集为______

（答：(,1)[2,)）； （4）要使满足关于x的不等式2x29xa0（解集非空）的每一个x的值

至少满足不等式x24x30和x26x80中的一个，则实数a的取值范围是______.

81（答：[7,)）

8七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通

分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如

5x1 （1）解不等式2x2x3（答：(1,1)(2,3)）；

（2）关于x的不等式axb0的解集为(1,)，则关于x的不等式axb0的解集为____________ x2（答：(,1)(2,)）.

八．绝对值不等式的解法：

1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；如解不等式|x||x1|3

（答：(,1)(2,)）

（4）两边平方：如

若不等式|3x2||2xa|对xR恒成立，则实数a的取值范围为______。

4（答：{}）

3九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是„”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如

2（1）若loga1，则a的取值范围是__________

32（答：a1或0a）；

3ax2x(aR) （2）解不等式

ax111a0时，a0时，a0时，{x|x或x0}；{x|x0}{x|x0}；（答：

aa或x0}）

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

x20的解集为如关于x的不等式axb0 的解集为(,1)，则不等式

axb__________（答：（－1,2））

十一．含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|； a、b异号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|. 如设f(x)x2x13，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1) 十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方

式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题

若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA

若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB 如（1）设实数x,y满足x2(y1)21，当xyc0时，c的取值范围是______

（答：； 21,）

31x|2|x| 42（答：xR）；



（2）不等式x4x3a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____

（答：a1）；

（3）若不等式2x1m(x21)对满足m2的所有m都成立，则x的取值范围_____

（答：（

n7131,））； 22(1)n1（4）若不等式(1)a2对于任意正整数n恒成立，则实数a的取

n值范围是_____

3（答：[2,)）；

2（5）若不等式x22mx2m10对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围.

1（答：m）

22). 能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上

fxmaxA；

若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的

fxminB.如

已知不等式x4x3a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围____

（答：a1）

3). 恰成立问题

若不等式fxA在区间D上恰成立, 则等价于不等式fxA的解集为D；

若不等式fxB在区间D上恰成立, 则等价于不等式fxB的解集为D.