2009年7月自学考试00023高等数学(工本)真题试卷及参考答案

高等数学(工本) 试卷

(课程代码 00023)

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．以(-1，2，-3)为球心，2为半径的球面方程为( ) A．(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=4 C．(x+1)2+(y-2)2+(z+3)2=4

B．(x+1)2+(y-2)2+(z+3)2=2 D．(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=2

2．设函数f (x，y)在点(x0，y0)处偏导数存在，并且取得极大值，则有( ) A．fx(x0，y0)>0，fy(x0，y0)>0 C．fx(x0，y0)>0，fy(x0，y0)<0

3．设L是圆周x2+y2=2，则对弧长的曲线积分A．42π C．82π 4．微分方程

dyx+y=是( ) dxx−yB．fx(x0，y0)<0，fy(x0，y0)<0 D．fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0

(xL2+y2)ds=( )

B．4π D．8π

A．可分离变量的微分方程 C．一阶线性齐次微分方程

B．齐次微分方程

D．一阶线性非齐次微分方程

5．下列无穷级数中条件收敛的无穷级数是( ) A．

(−1)n=1n−15()n 614n+23B．

(−1)n=1n+11n

C．

n=1(−1)n−1 D．

n=1(−1)n+1n4n+52

二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

yz=__________. 6．设函数z=arctan，则

xx7．设区域D：x2+y2≤9，则二重积分

D9−x2−y2dxdy的值等于__________.

8．已知(5x4+λxy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy是某个函数u(x，y)的全微分，则常数λ=__________. 9．已知二阶常系数线性齐次微分方程y+py+10y=0的通解为y=e3x(C1cosx+C2sinx)，则常

数p=__________.

10．设f(x)是周期为2π的周期函数，它在−π,π)上表达式为

11x+,−πx0,S(x)是f(x)傅里叶级数的和函数，则S()=__________. f(x)=221,0xπ,三、计算题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

11．求过点P1(4，2，1)，P2(2，3，0)和P3(0，1，0)的平面方程. y2z2212．设函数z=cos+3x−2y，求.

xxy13．已知方程x2+y2+z2-ez=0确定了函数z=z(x，y)，求14．求函数f(x，y)=exy的梯度gradf(x，y).

2zz，. xy15．在曲面z=xy上求一点，使得曲面在该点的法线垂直于平面2x+2y+2z=3，并求此法线方

程.

16．计算二重积分I=

四边形闭区域。 17．计算三重积分I=

区域.

18．计算对弧长的曲线积分

的直线段.

19．计算对坐标的曲线积分(6xy2−y3)dx+(6x2y−3xy2−8x)dy，其中L是由x=1和y=1

Lxedxdy，其中D是顶点分别为(1，3)，(2，3)，(1，4)，(2，4)的

2yDΩ(x2+y2)dxdydz，其中是由曲面x2+y2=1，z=0及z=1所围成的闭

(x+y−1)ds，其中L是直线y=-x上由点(-1，1)到点(1，-1)

L所围成区域的正向边界曲线.

1dy+y=20．求微分方程x的通解. dx1+x2(−1)n−12n−1x21．求幂级数的和函数. 2−1nn=122．判断无穷级数

1111+++…++… 1+21+2+31+2+3++n的敛散性.

四、综合题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 23．求函数f(x，y)=xy(x2+y2-1)的极值.

24．设曲线y=y(x)在其上点(x，y)处的切线斜率为2xy，并且过点(0，1)，求该曲线的方程.

x25．将函数f(x)=展开成(x-2)的幂级数.

4−x