画鸵萌宠网
2019年人教版九年级《圆的专项》压轴大题专项训练题（含答案）
一．解答题
1．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE． （1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
3．如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F． （1）求证：EF与⊙O相切．
（2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面积．
4．如图，B是⊙O外一点，连接OB，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C． （Ⅰ）求证：AD平分∠BAC；
（Ⅱ）若⊙O的半径为4，OB＝7，求AC的长．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE． （1）求证：BC＝BH；
（2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长．
6．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，交AC于点D，其中DE∥OC． （1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若AD＝，且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、
CD的长．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，∠ABC＝30°，求阴影部分面积．
8．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连结BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE
（1）求证：∠C＝∠BED；
（2）若∠C＝50°，AB＝2，则的长为（结果保留π）
9．如图，AB是⊙O的一条弦，点E是AB的中点，过点E作EC⊥AO于点C，过 点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D． （1）求证：BD＝DE；
（2）若∠BDE＝60°，DE＝，求⊙O的半径．
10．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D为⊙O上一点，连结AD、OD、BD，∠A＝∠B＝30°．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若OA＝5，求OA、OD与AD围成的扇形的面积．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作EF⊥AC，垂足为E，且交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB＝8，∠A＝60°，求BD的长．
12．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E （1）求证：EM是圆O的切线； （2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度； （3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度．
13．如图，AB是△ACD的外接圆⊙O的直径，CO交AB于点，其中AC＝AD，AD的延长线交过点B的切线BM于点E．
（1）求证：CD∥BM；
（2）连接OE交CD于点G，若DE＝2，AB＝4，求OG的长．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF； （3）若CD＝1，EF＝，求AF长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝∠DOQ． （1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AQ＝AC，AD＝4时，求BP的长．
参考答案
一．解答题
1．（1）证明：如图1，连接DF， ∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，
∴AB﹣BF＝BC﹣BE， 即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠DFA＝∠DEC， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA＝90°， ∴∠DEC＝90° ∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝90°， ∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AH，
∵AD是⊙O的直径， ∴∠AHD＝∠DFA＝90°， ∴∠DFB＝90°， ∵AD＝AB，DH＝， ∴DB＝2DH＝2，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2， ∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，
∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2， ∴∴AD＝5．
∴⊙O的半径为．
2．解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上， ∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠BDE+∠FDE＝90°，
，
即∠BDF＝90°， ∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径， ∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝2×4＝8， ∴
∵点D是AC的中点， ∴
，
＝4，
∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°， ∴
在Rt△BCD中，在Rt△BED中，BE＝
，
＝＝
＝2
， ＝5，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE， ∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°， ∴△FDE∽△DBE， ∴∴
，即．
，
3．（1）证明：如图1，连接OE， ∵OD＝OE，
∴∠D＝∠OED，
∵AD＝AG， ∴∠D＝∠G， ∴∠OED＝∠G， ∴OE∥AG，
∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵EF∥AB，
∴∠BAF+∠AFE＝180°， ∴∠AFE＝90°，
∵OE∥AG，
∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°， ∴OE⊥EF，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H， ∵AC＝4，
∴CH＝，
∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°， ∴四边形OEFH是矩形， ∴， 在Rt△OHC中，
OC＝＝∵OA＝AC＝OC＝4，
∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°，
∴S扇形OAC＝
＝
．
＝4，
4．（Ⅰ）证明：连OD，如图， ∵BD是⊙O的切线， ∴OD⊥BD， ∵AC⊥BD， ∴OD∥AC． ∴∠2＝∠3， ∵OA＝OD， ∴∠1＝∠3． ∴∠1＝∠2， 即AD平分∠BAC； （Ⅱ）解：∵OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC， ∴解得 AC＝
，即．
．
5．（1）证明：连接OE，如图， ∵AC为切线， ∴OE⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵∠C＝90°， ∴OE∥BC， ∴∠1＝∠3， ∵OB＝OE， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∵EH＝EC，
在Rt△BEH和Rt△BEC中
∴Rt△BEH≌Rt△BEC（HL）， ∴BC＝BH；
（2）在Rt△ABC中，BC＝设OE＝r，则OA＝5﹣r， ∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC， ∴
＝
，即
，
＝，
＝，解得r＝
，
＝3，
∴AO＝5﹣r＝
在Rt△AOE中，AE＝∴CE＝AC﹣AE＝4﹣＝．
6．（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵DE∥OC，
∴∠DEB＝∠COB，∠DOC＝∠ODE．
∵∠ODE＝∠OED， ∴∠DOC＝∠BOC． ∵OD＝OD，OC＝OC， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°． ∴∠ODA＝90°． ∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根， ∴AB•AE＝k， 如图2，连接DB，
∵EB是⊙O的直径，
∴∠EDB＝90°，
∴∠DEB+∠EBD＝90°， ∵AD是⊙O的切线， ∴∠ADO＝90°，
∴∠ADE+∠EDO＝90°， ∵OD＝OE，
∴∠DEO＝∠EDO， ∴∠ADE＝∠EBD， ∵∠DAE＝∠BAD， ∴△ADE∽△ABD， ∴
，
∴AD2＝AE•AB， ∵， ∴，
∴x2﹣4x+3＝0， ∴x1＝3，x2＝1， ∴AE＝1，AB＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2， ∴⊙O的半径为1．
∵∠B＝90°，AC是⊙O的切线， ∴DC＝BC，
设CD＝x，在Rt△ABC中，AC＝x+∴，
，AB＝3，BC＝x，
解得：x＝． ∴．
7．（1）证明：连接OD，如图所示．： 在Rt△ADE中，点O为AE的中心， ∴DO＝AO＝EO＝AE，
∴点D在⊙O上，且∠DAO＝∠ADO． ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠DAO， ∴∠ADO＝∠CAD， ∴AC∥DO， ∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC， ∵OD为半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的直径为4， ∴AE＝4，DO＝AO＝EO＝AE＝2， ∵∠ABC＝30°，
∴∠CAD＝∠DAO＝30°， ∴CD＝AD，DE＝AE＝2，AD＝＝
＝2，
∴CD＝
，AC＝
＝
＝3，
∵tan∠ABC＝， ∴BC＝
＝
＝3
， ∴阴影部分面积＝S△ABC﹣S梯形ODCA﹣S扇形ODE＝AC•BC﹣（OD+AC）•CD﹣3
﹣
（2+3）×
﹣
＝2
﹣
．
8．（1）证明：连接AD，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AC切⊙O于点A ∴CA⊥AB，
∴∠BAC＝90°， ∴∠C+∠ABD＝90°， 而∠DAB+∠ABD＝90°， ∴∠DAB＝∠C， ∵∠DAB＝∠BED， ∴∠C＝∠BED；
（2）解：连接OD，如图， ∵∠BED＝∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠BED＝100°， ∴
的长度＝
＝
．
9．（1）证明：∵OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA， ∵EC⊥AO，
∴∠ACE＝90°， ∴∠A+∠AEC＝90°， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠OBD＝90°，
＝×3×
∴∠OBA+∠DBE＝90°， ∴∠AEC＝∠DBE， ∵∠AEC＝∠BED， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴DB＝DE；
（2）解：连接OE，
∵OA＝OB，E是AB的中点， ∴∠OEB＝90°，
∵BD＝DE，∠BDE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，∠OBE＝30°， ∴BE＝DE＝， ∴OB＝
＝
＝2．
10．解：（1）证明：∵∠ADO＝∠BAD＝30°， ∴∠DOB＝60° ∵∠ABD＝30°， ∴∠ODB＝90° ∴OD⊥BD．
∵点D为⊙O上一点， ∴BD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠DOB＝60°， ∴∠AOD＝120°． ∵OA＝5， ∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为11．（1）证明：连接OD，AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， ∵OA＝OB， ∴OD∥AC， ∵EF⊥AC， ∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠BAC＝30°， ∴BD＝AB＝
＝4．
．
12．（1）证明：连接FO， ∵CN＝AC，
∴∠CAN＝∠CNA， ∵AC∥ME，
∴∠CAN＝∠MFN， ∵∠CAN＝∠FNM，
∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN， ∵CD⊥AB，
∴∠HAN+∠HNA＝90°， ∵AO＝FO，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°， ∴EM是圆O的切线；
（2）解：连接OC，
∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a， ∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝4a，AH＝3a， ∵CA＝CN， ∴NH＝a， ∴AN＝＝＝a＝3∴a＝3，AH＝3a＝9，CH＝4a＝12， 设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，
在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9， 由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2， 解得：r＝
，
，
∴圆O的直径为25； （3）∵CH＝DH＝12， ∴CD＝24，
∵AC：CD＝5：8， ∴CN＝AC＝15， ∴DN＝24﹣15＝9，
∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA， ∴△FND∽△CNA， ∴∵AN＝3∴∴FN＝
， ， ， ．
13．（1）证明：∵AB是△ACD的外接圆⊙O的直径，BM是⊙O的切线， ∴AB⊥BM， ∵AC＝AD， ∴＝， ∴AB⊥CD， ∴CD∥BM；
（2）解：连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴BD⊥AE， ∵AB⊥BE，
∴AB2＝AD•AE，
∴（4）2＝AD（AD+2）， ∴AD＝8（负值舍去）， ∴AE＝10， ∴BE＝∴OE＝
＝＝2
，
＝2
，
∵DF⊥AB，BE⊥AB， ∴DF∥BE， ∴∴
＝＝
， ， ，
，
∴AF＝
∴OF＝AF﹣OA＝∵FG∥BE， ∴∴∴OG＝
＝＝
． ，
，
14．证明：（1）如图1，连接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°， ∴BF是圆O的直径． ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠OBE， ∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB， ∴∠OEB＝∠CBE， ∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°， ∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连结DE．
∵∠CBE＝∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H， ∴EC＝EH．
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°， ∴∠CDE＝∠HFE． 在△CDE与△HFE中，∴△CDE≌△HFE（AAS）， ∴CD＝HF．
（3）解：由（2）得CD＝HF，又CD＝1， ∴HF＝1， ∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠EHF＝∠BEF＝90°， ∵∠EFH＝∠BFE， ∴△EHF∽△BEF， ∴
，即
，
∴BF＝10，
∴OE＝BF＝5，OH＝5﹣1＝4， ∴Rt△OHE中，cos∠EOA＝， ∴Rt△EOA中，cos∠EOA＝，
∴， ∴OA＝，
∴AF＝
．
．解：（1）连接DC， ∵＝， ∴∠DCA＝∠DOA， ∵∠ADQ＝∠DOQ，
∴∠DCA＝∠ADQ， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°
∴∠DCA+∠DAC＝90°，
∵∠ADQ+∠DAC＝90°，∠ADO＝∠DAO， ∴∠ADQ+∠ADO＝90°， ∴DP是⊙O切线；
（2）∵∠C＝90°，OC为半径． ∴PC是⊙O切线， ∴PD＝PC， 连接OP，
∴∠DPO＝∠CPO， ∴OP⊥CD， ∴OP∥AD，
∵AQ＝AC＝2OA， ∴
＝
＝，
∵AD＝4， ∴OP＝6，
∵OP是△ACB的中位线， ∴AB＝12，
∵CD⊥AB，∠C＝90°， ∴BC2＝BD•BA＝96， ∴BC＝4，
15
∴BP＝2．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容