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垂径定理
副标题
题号 得分 一 二 总分 一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 如图所示，的半径为13，弦AB的长度是24，，垂
足为N，则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】A
【解析】解：由题意可得，
，，， ，
，
故选A． 根据的半径为13，弦AB的长度是24，，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．
本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．
2. 如图，AB是的直径，弦于点E，，
的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为
A. B. 3cm C. D. 6cm
【答案】A
【解析】解：连接CB． 是的直径，弦于点E， 圆心O到弦CD的距离为OE；
同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，， ；
在中，
，，
．
故选A．
根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知，已知半径OC的长，即可在中求OE的长度．
本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用解答这类题一些学生不
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会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
3. 如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若
，则的半径为
A. 5
，
B. C. D. 4
【答案】C
【解析】解：连结OA，如图，设
，
，
在
，
，解得
故选C．
连结OA，如图，设
中，
，．
的半径为r，
，
的半径为r，根据垂径定理得到，再在
中利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可．
本题考查了的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
4. 如图，线段AB是的直径，弦CD丄AB，，
则等于
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】解：线段AB是的直径，弦CD丄AB，
， ， ， ．
故选：C．
利用垂径定理得出，进而求出，再利用邻补角的性质得出答案． 此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出的度数是解题关键．
二、解答题（本大题共2小题，共16.0分） 5. 如图，在四边形ABCD中，，，AD
不平行于BC，过点C作交的外接圆O于点E，连接AE．
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求证：四边形AECD为平行四边形； 连接CO，求证：CO平分．
【答案】证明：由圆周角定理得，，又，
， ，
， ，
，
四边形AECD为平行四边形； 作于M，于N， 四边形AECD为平行四边形，
，又， ， ，又，， 平分． 【解析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握平行四边形的判定定理、垂径定理、圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定和性质定理得到
，证明结论； 作于M，于N，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明．
6. 如图，AB为直径，C为上一点，点D是的中
点，于E，于F． 判断DE与的位置关系，并证明你的结论； 若，求AC的长度． 【答案】解：与相切． 证明：连接OD、AD， 点D是的中点，
，
， ，
， ， ， ， ， 与相切．
连接BC交OD于H，延长DF交由垂径定理可得：，
， ，
弦心距，
是直径，
于G，
，
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， ，
的中位线， ．
【解析】先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出，进而根据内错角相等，判定，最后根据，得出DE与相切； 先连接BC交OD于H，延长DF交于G，根据垂径定理推导可得，再根据AB是直径，推出OH是的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍． 本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线本题也可以根据与相似，求得AC的长．
是
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