复变函数讲义

三、复变函数的极限与连续

1.极限概念及性质

fzA:0,0,0定义4 zlimz0zz0,fzA。

注：复函数极限定义本质和表述与一元实函数完全相

同，但zz0的方式是任意的——同二元函数相同。

fz，limgz存在，则 运算性质 设zlimzzz00fzgz⑴zlimz0zz0limfzlimgz；

zz0zz0fzgz⑵zlimz0limfzfzzz0⑶zlimlimgz0。 z0gzzzlimgz0zz0zz0limfzlimgz；

定理1 设fzuvi,Au0iv0,z0x0iy0，则

limfzAlimux,yu0,limvx,yv0。 zzxxxx0yy00yy00证明 利用定义见教材。 2.连续概念及性质

fzfz0。定义5 函数fz在点z0处连续：zlim若fzz0 在区域D上处处连续，称fz在区域D 上连续。 z  例6 证明：argz在原点及负实轴上不连续。  证明 当z0时，argz无定义，故不连续； z 当z0时，zx0：

argz，对负实轴上的点limargzzx若y0zxyiargz，而limzx若y0zxyiargz不存在，故。limzx不连续；

综上讨论知，argz在原点及负实轴上不连续。 定理2 函数fzuvi在点

ux,y,vx,y在点x0,y0处连续。

z0x0iy0处连续

运算性质 连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）及复合函数仍为连续函数。

例7 指出函数fzlnx2y2ix3y的连续区域。 解 要使其实部与虚部连续，则需x2y20x,y不同时为0。

从而，函数的连续域为z平面除z0外的区域。

第二章 解析函数

§1 解析函数的概念与充要条件

一、导数与微分

1.定义及运算

wlimlim定义 设z0Df,若z0z0zfz0zfz0,则称

zfz在点z0处可导,其值称为fz在z0处的导数,记为

fz0或

dw

。 dzzz0

fz在区域D内可导fz在区域D内处处可导。

1例1 证明:12。

zz证明

fzzfz1limlimz0z0zz1zz111zlim2z0zzzzz。

由导数的定义式,与一元函数完全相同，借鉴例1,

可以证明,实函数的求导公式及其运算法则，如四则求导法则、复合求导法则、反函数求导法则等对于复变函数均成立。

例2 设fzz32z1512，求fz。

z解

fz5z32z13z22442z22353z2z2z1z4z3。

但是，z0或zz0zz0:方向任意，方式无穷。使

得复函数多不可导。

例3 讨论fzz的可导性. 解 fzzxyi，

fzzfzxxiyyxyi limlimz0zx0y0xiylimxiy1,沿实轴zy0，x0xiy1,沿虚轴zx0y0。

从而，fzz处处不可导。

2.可导、可微与连续的关系 性质 可导必连续,但反之不然.

证明 对z0, 设fz0存在,则fz0zfz0limfz0, z0zfz0zfz0fz0lim0 z0zfz0zfz0fz0zz （*）

limfz0zfz0,即fz在点z0处连续。

z0反之,如

fzzlimfz0zlimx0xiy0yx0iy0z0z0x0y0,即

fzz处处连续,但由例3的讨论知道，fzz处处不

可导。

定义2 设wfz在点z0处可导，则由（*）式知

wfz0zoz

成立，称fz0z为fz在点z0处的微分,记为dw=fz0z。此时也称fz在z0处可微。由定义知道，可导可微。特别地，dz1z,又记dwfz0dz。fz在区域D内可微fz在区域D内处处可微。

3.可微或可导的充分必要条件

定理1 函数fzuvi在点z0x0iy0处可微或可导ux,y,vx,y在点x0,y0可微且满足柯西——黎曼（C—R）方程：uv,uv。

xyyx证明见教材。特别注意在证明过程中，有结论uvi。 fzxx注：1.判断u,v可微用其充分条件：一阶偏导连续;

2.C—R方程

u,vx,yuxvxuyvy00

uvuv,xyyx的记忆法：

。

例4 讨论函数wz2的可导性。

解 wz2x2y2,ux2y2,v0，于是，

ux2x,uy2y;vxvy0，

易见，仅当xy0时，uxvy,uyvx且一阶偏导连续，

从而，函数wz2在z0处可导，除此之外，处处不可导。

例5 证明函数fzx2y2xi2xyy在复平面上处处可导，并求fz。

证明 ux2y2x,v2xyy，

ux2x1,uy2y;vx2y,vy2x1，显然，对

x,y，恒有

uxvy,uyvx且一阶偏导连续，于是，函数fz在复平面上处处可导；

且fzuxivx2x12iy2z1即为所求。 二、解析概念与运算性质

1.定义

定义3 若fz在点z0及其某邻域内处处可导，则称fz在点z0处解析，否则称点z0为fz的奇点。fz在区域D内解析fz在区域D内点点解析，此时称fz是区域D内的解析函数。

0

注：1.fz在点z0处解析fz在点z0处可导，但反之不然； 0

2.fz在区域D内解析fz在区域D内可导；即解析是函数的区域性质。 0

3.解析函数必有解析点，可以有奇点。如解析函数12wz等均非解析函数。fz有奇点z0，但是fzz，

z2.性质

例6 研究函数fzz2的解析性。 z21z212zz24zz21解 z1时，fz，fz在2222z1z1除点z1外处处可导，即fz在其定义域内可导或解

析。而z1是其两个奇点。

由例6及其解析的定义注2，易知，解析函数有运

算性质：

解析函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数仍为解析函数。

三、解析函数的充要条件与应用

由解析的定义注2及可导的充分必要条件知道： 定理2 函数fzuvi在区域D内解析ux,y,vx,y在D内可微且满足柯西——黎曼（C—R）方程：uvuv,。

xyyx1.判断解析——正问题

例7 判断下列函数的解析性：

⑴fzxiy2；⑵fzexcosyisiny

解 ⑴ux,vy2ux1,uy0;vx0,vy2y， 当2y1，即y1时，满足C—R条件且一阶偏导

2连续，从而fzxiy2在直线y1上处处可导，但由

2解析定义知，fzxiy2在复平面内处处不解析；

⑵uexcosy,vexsiny，

uxexcosy,uyexsiny;vxexsiny,vyexcosy， uxvy,uyvx且一阶偏导连续，于是，函数fz在复平面上处处解析。

并且fzexcosyisinyfz。

2.应用解析——反问题和逆问题 例8 求常数a,b，使得函数fzxayi3xby在复平面内处处解析。

解 uxay,v3xbyux1,uya;vx3,vyb，

又fz解析，由C—R条件uxvy,uyvx知，b1,a3即为所求。

例9 若fz解析且argfz常数，证明：fz常数。 证明 设fzuvi,argfz常数，

vtanargfzk，即vku

uvxkux,vykuy。又fz解析，uxvy,uyvx，

从而，

vxkvyk2uyk2vx，即1k2vx0vx0，

于是，有uyvyux0,fzuiv常数。 3.重要结论

推论1 若fz0fzC（常数）。 证明 “”显然；

“” fzuvi解析，fzuiv0，从而，

xxuv0。 xx再由C—R条件，常数；

uu0uux,yxyuvuv,知xyyxvv0vvx,yxy，常

数，即fzuviC常数。

推论2 若fz解析，则fz可表示为复变量z的表达式。 证明

zzzzzzzzwfzux,yivx,yu,,iv22i22i解析，uv,uv，于是，

xyyxvxvy wuxuyi

zxzyzxzyz

1u1u1v1v1uviuvi2xy2yx02x2iy2x2iy

从而，wfzwz,z仅是z的函数。

推论3 若函数fzuiv解析，且fz0，则曲线L1:ux,yC1与曲线L2:vx,yC2互相正交。

证明 由隐函数求导公式知，二曲线在交点处的切线斜率：

uvuvk1yx，k2yx k1k2xx

uyvyuyvy于是， fzuiv解析，k1k21。uxvy,uyvx，

从而，曲线L1:ux,yC1与曲线L2:vx,yC2互相正交。

§2 初等解析函数及其基本性质

一、基本初等函数

1.指数函数

expzexcosyisiny，记expzez ez是周期为2kikZ的周期函数。

2.对数函数

LnzlnziArgz——定义式。

Lnz的主值，记为lnz，即lnzlnziargz

Lnzlnziargz2ki——计算式。

3.复数乘幂ab及其计算

定义3 复数a,b构成的乘幂：abebLna，其中a0。

可以分析讨论知道，其取值情况有：

⑴当次幂bZ为整数时, ab有唯一值；

abebLnaeblna2kieblna2bkieblnae2bkieblna。

⑵当次幂bpQ为有理数时, ab有q个不同的

q值；

aebbLnaeplnaiargz2kiqeplnaqeipargz2kq

eplnaqpargz2kpargz2k cosisinqq当k0,1,2,,q1时，由正、余弦的周期性，得到ab的q个

不同值。

⑶当次幂b为无理数或虚数时, ab有无穷多值.

例3 计算下列复数乘幂：⑴1；⑵31i2；⑶21i。 解 ⑴

1111eLn11eln12kie2kicos2kisin2kk0,1,2,.

2Ln1i3⑵31i21ie323e2ln2i2k34e4k1ln2i233e,k0,1,2

1i21i2331i2132cosisin33i；

66043332cosisin32i；

2211717132cosisin33i6624。

⑶21ie1iLn2e1iln22kieln22ki2kln2

eln22kcos2kln2isin2kln2 eln22kcosln2isinln2k0,1,2,.

二、简单初等函数

1.一般幂函数与指数函数

定义4 zeLnz；azezLna。性质由对数性质决定。 2.三角函数

eicosisin,eicosisin

eieieieicos,sin，其中R

22ieizeiz 定义5 正弦函数：sinz；余弦函数：

2ieizeizcosz。

2例4 求值：cos1i. 解 cos1iei1ie2i1iei1ei1eeie1ei22.

sinz,cosz具有与实函数sinx,cosx相同的周容易证明：

期性、奇偶性、可导(解析)、加法公式、平方关系等性质(见教材)。但是，不具有有界性：

eyeyeyeyx0时，sinyii2i2eyey， cosyi2。 .

当yz时，sinyi,cosyi. 定义6 tanzsinz,cotzcosz111,secz,cscztanzcoszsinz相应的一些运算性质见教材. 3.反三角函数

定义7 满足zsinw的复变量w称为z的反正弦函数，记为

wArcsinz。依据定义，可以求得：

ArcsinziLniz1z2. i1izLn; ;Arctanz21iz同理，可以定义并可求得：

ArccosziLnzz21 4.双曲与反双曲函数 定义

ezez8 sinhz2iezez；coshz2；tanhzsinhz.

coshz

及

ArtanhzArsinhzLnzz21其

.

反

;

双曲函

ArcoshzLnzz21数

：；

11zLn21z注:它们均为多值函数.

第三章 复变函数的积分

§1 积分的概念及性质

一、概念及其存在性

b1.引言 一元函数定积分afxdx，是函数沿一直线段 y 因为函数fx就定义在数轴——直线上，a,b上的积分。 zn 而复函数fz定义在平面上。 C ξk 推广定积分于复函数，考虑一般性，复积分应为平面 zk 上沿一曲线段 z0 zk-1 O x 的积分。 2.定义 设有向曲线CDf，任意分C成n段，分点为：

z0,z1,z2,,zn

任取kzk1zk,作和Snfkzkzk1fkzk,

k1k1nn记maxzk，若limSn总存在，则称其值为fz沿曲线C1kn0的积分，记为Cfzdz。若C为封闭曲线，则记为

Cfzdz(复变函数主要研究和确定闭曲线的积分)。

注:复积分实质上类似于高等数学中的平面(二型)曲线积分。

2.可积性及其参数计算公式

定理 若fz连续，则 ⑴Cfzdz存在，且

CfzdzCudxvdyiCvdxudy；

⑵

C:zzt,t:fzdzfztztdt。

C设

证明（描述性） ⑴CfzdzCuivdxidy

udxvdyivdxudyCudxvdyiCCvdxudy；

y ⑵Cfzdz utivtxtiytdt。分的基本计算 (3,1) i的直线例1 计算CRezdz,其中C为从点1到点 31 3 O 1 x 借高数二型线积段.

x1解 直线段C方程2t1,t:01xyt12y0t： 1z2t1ti2it1，

1从而，原式02t12idt2it2t042i。 例2 设C为由点z2沿z的曲线段, 求Czdz.

z2的上半圆周到点z2 -2 2 解

z2z2ei，此时，z2ei；这里:0， 式

于

0是，原

3i2ei23i23i4i2eid2iedee1。 003332ei例3 计算CdznnZ，其中C：zz0r，方向

zz0逆时针。

解 圆周C的方程：zz0rei,:02，从而，

原式021i2in1ireidn1ed， 0rneinr

当n1时，原式2i；

n1当时

2，原式

i11in1ee2n1i10， n1n1n1rrin102i,n1,dz于是， n0,n1.zz0rzz0二、性质

1.线性：CfzgzdzCfzdzCgzdz； 2.可加性：若CfzdzCfzdzCfzdz；

12CC1C2，则

3.反对称性：CfzdzCfzdz； 4.若L为曲线C的长度，且CfzdzCfzdsML。

fzM，则

证明 1.2.3.显然，4.的证明利用积分定义见教材。

§2 柯西——古萨定理及其应用

一、引理与基本定理

1.引理 若fz在单连域D内解析,且fz连续,则对任意简单闭曲线CD,有：Cfzdz0。 证明

uvuv,xyyxfzuiv解析,且fz连续，

且它们均连续。从而，由格林公式，

CfzdzCudxvdyiCvdxudy

vuuvdxdyixyxydxdy000。 DD

推论 若fz在一简单闭曲线C的内部及C上解析，则Cfzdz0。

例1 计算Cz3i1。

eizdz，其中曲线C2z1为正向圆周：

解 奇点zi不在闭曲线C内，在C内，被积函数fz解析，从而，

CG'sCeizdz=0。 z212.柯西——古萨基本定理

定理 若fz在单连域D内处处解析，则对任意闭曲线CD,有：Cfzdz0。 二、原函数与不定积分

1.存在性定理

由基本定理及高等数学的知识知道，必有：

若fz在单连域D内解析，则积分Cfzdz与路径无关。即此时, Cfzdz

fzdz，其中称z1为上限，z0为下限。积分fzdz称

z0z1zz0为上限z的函数,记为Fz，并有：

定理1 若fz在单连域D内处处解析,则Fz为解析函数,且Fzfz.

证明

x,yx,yzudxvdyivdxudyUiV, Fz=fzdzx,yx,yz00000fzuvi在单连域D内解析，uvuv,。 xyyxdUudxvdy,dVvdxudy，

即Uu,Uv;Vv,Vu。从而， xyxy

UVUV，于是， ,xyyxUViuivfz. Fz为解析函数,且Fz xx2.原函数概念与积分计算

定义 若Fzfz,则称Fz为fz的原函数或不定

z积分。易见zfzdz是fz的一个原函数，且任二原函数

0相差一常数。类似牛顿——莱布尼兹定理的证明，有：

定理2 若fz在单连域D内解析, Fz为fz的原函数,则

z1z0fzdzFz1Fz0Fzz1z0。

例2 计算Czdz,其中C为从点0到点1i的曲线段. 解 fzz处处解析, 从而,

1i21iz21izdzi. zdzC0202例3 求22icotzdz.

D:0Rez解 fzcotz在

内处处解析，且

,iD，从而，

22iicosz22原式dzlnsinzlnsinilnsinsinz2222lncosilncosh1

.

§2 柯西——古萨定理及其应用

一、基本定理

若fz在一简单闭曲线C的内部及C上解析，则Cfzdz0。

CG's定理 若fz在单连域D内处处解析，则对任

意闭曲线CD,有：Cfzdz0。 二、原函数与不定积分

定理 若fz在单连域D内解析, Fz为fz的原函数,则

1.引理

z1z0fzdzFz1Fz0Fzz1z0。

三、柯西——古萨定理的推广 定义 两条曲线称为连续变形曲线，如果⑴开闭不变；⑵方向不变；⑶连续扫过其存在的解析区域. 闭路变形原理 设fz在区域D内解析，闭曲线C1的任意连续变形曲线为C2，则CfzdzCfzdz，即闭曲12线连续变形不改变解析函数的积分值.

证明 如图：连Aa,Bb,则由CG'sTh知: fzdzfzdzfzdzfzdzfzdz0,

AEBbeaAAEB BbbeaaAAafbBFAfzdzfzdzfzdzfzdzfzdz0. AaafbbBBFA二式相加,得

C1AEBFAfzdzafbeafzdz0,即

fzdzfzdz0（*）

C2

C1fzdzfzdz.

C2例4 证明：Cdz其中C为任意包含点z0的2i，

zz0

闭曲线.

证明 在

C的内部作圆周

C1:zz0r，则

C1dz2i。 zz01fzzz0只有一个奇点，C,C1互为连续变形曲

线，

由原理知， Cdzdz2i. C1zzzz002i,k1,进一步，有：dzk0,k1.C为任意包含点z0Czz0的闭曲线。

注:由原理证明中的(*)式,若将C1,C2视作一条复合闭路C1C2，其正向为外线逆时针,内线顺时针,则fzdz0。进一步可由一般地： 2.复合闭路定理

定理3 设fz在多连域D内解析,简单闭曲线

)的C,C1,C2,,CnD,且以其为边界(CC1C2Cn区域也属于D,诸Ckk1,2,,n互不相交，互不包含，但均在C的内部，则

⑴fzdz0；⑵CfzdzCfzdz。

k1kn注:定理3从理论上指明了闭路积分的计算方法：

⑴若fz在闭曲线C所围域内解析，则Cfzdz0；⑵若fz在闭曲线C所围域内不解析，则Cfzdz等于绕其内单个奇点的闭路积分之和。

例5 计算C2dz，其中C由正向圆周z2zz4 2i 3与负2

向圆周z即

1构成。 解 fz21的奇点z0,z2i不在C内， 2zz4dzfz在C内解析，220. Czz4dz，其中C为正向圆周z2. z21解 fz21在C内有奇点z1，如图在Cz1例6 计算C内作 y 单独包含z1,1的闭曲线C1,C2， 于是，原式 C dzdz C1z21C2z21 1dzdz1dzdz x ()() 2C1z1C1z12C2z1C2z1 102i2i00. 2§3 柯西积分公式及其推广

一、柯西积分公式

1.定理与公式

定理1 设fz在区域D内解析，任意简单闭曲线

1fzCD，且I(C)D，对z0IC，有fz0dz—C2izz0—柯西公式。

fzfz0fzdz 证明(思路) CfzdzC0dzCzz02ifz0+C可以证明: C0

fzfz0dz0. zz0zz0fzfz0dz, zz0zz0注：1.分析意义：fz在解析域内部的值可用其边界

fd——上的积分表示，即对zD，有fz1Dz02iC

柯西型积分;

0

2.计算意义：公式可用于求闭路积分: fzdz2ifz. Czz002.应用举例 例1 设C为正向圆周z2，计算

zi1coszdz。 C2izi解 cosz在C内有奇点zi，从而，由柯西公式，

ee1cosh1。 原式=coszzicosi2例2 计算C22z1dz，其中C为正向圆周z4。

zz解 22z1在C内有奇点z0,1，作C1,C2分别单

zz包z0,1，从而，

原式=C2z1z11zdz2z1zC2z1dz2i2z12z12i z1z0zz12i2i4i。

例3 设fzCe2zd，其中C为正向圆周2，

试求f1i,f12i。

解 z2时，fz2ie2,fzie2，

z2时，fz0,fz0。 又1i22,12i2，从而，

2zzf1i2ie21i2e2,f12i0。

二、柯西积分公式的推广——导数公式

1.定理与公式

定理2 解析函数的导数仍为解析函数，且

n!fzfnz0dz， 2iCzz0n1

其中C为fz的解析域D内含z0D的任一正向简单闭曲线，且I(C)D。

证明(思路) 应用数学归纳法，先证：

fz0zfz01!fzfz0limdz 2Cz0z2izz00

注：1.分析意义：解析函数任意阶可导;

0

2.计算意义：公式可用于求闭路积分: fz2infz0——化积分问题成微分问题 dzCzzn1n!02.应用举例 例

ez4 计算Cdz，其中C为正向圆周z3。 3z2ez解 z22!3在C内有奇点z2，从而，

ie2z2原式=2iez例5 计算解 而，

原式=2isinzz22e2i。

z-22sinzdz。

z34z24zsinz在z22内有一个奇点z2，从32z4z4zzz222isinzdz1!zz2

zcoszsinzz22iz22cos2sin2sin2cos2i42。

§4 解析函数与调和函数的关系

一、概念与结论

1.定义与定理

设gx,y具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方

2g2g程：220，则称gx,y为调和函数。若还有调和

xy函数fx,y，与gx,y满足柯西——黎曼方程，则相互称其为共轭调和函数。

定理 解析函数的实部和虚部皆为调和函数，但反之不然。

证明 设fzuiv解析，uv，uv，且

xyyxvuuv2v2u2v2uyyxx，又2， 2xxxyxyxyyy2u2u又fz解析，故二阶偏导连续，从而，220。

xy2v2v同理可证220。

xy反之，如ux,vy，易见u,v满足Laplace方程，但

是，fzxyiz处处不解析。

例1 若u,v都是区域D内的调和函数，且满足柯西黎曼方程：uv，uv，则fzux,yivx,y在区

xyyx域D内

A.是解析函数 B.不是解析函数 C.不一定是解析函数 D.不一定是连续函数

2.主要题型

对给定调和函数，求满足CR条件的共轭函数，构成解析函数。

二、应用举例

例2 证明：ux2y2为调和函数，并求其共轭及

其构成的解析函数uiv。

证明 ux2x,uxx2;uy2y,uyy2uxxuyy0，

ux2y2为调和函数；

令vu2yv2ydx2xygy，

xyvvu2xgy，又有2xgy0,gyC1 yyx从而，v2xyC1；

fzuivx2y2i2xyC1

22 x22xyiyiC1ixyiC1izC即为所求。

注：令xz,y0，得到fzuiv的关于变量z的表达式。

例3 求常数a，使得vxayx24xyy2为调和函数，并求解析函数fzuiv使f00。

解 vxx24xyy2xay2x4yy2

3x282axy4a1，vxx6x82ay， 又vyax24xyy2xay4x2y

4ax28a2xy3ay2，vyy8a2x6ay，

依题设，对x,y，vxxvyy8a8x88ay0a1；

从而，vxyx24xyy2

令uvxy3x26xy3y2u3x26xy3y2dx

x33x2y3xy2gy,u3x26xygyy，

又由uv3x26xy3y2gy3y2,gyy3C，

yx于是，ux33x2y3xy2y3C，

从而，fzx33x2y3xy2y3Cixyx24xyy2

z3iz3C1iz3C

又f00 C0，即fz1iz3。

§3 柯西积分公式及其推广

一、柯西积分公式

定理1 设fz在区域D内解析，任意简单闭曲线

1fzCD，且I(C)D，对zIC，有fzdz—

002iCzz0—柯西公式。

公式可用于求闭路积分: Cfzdz2ifz0. zz0二、柯西积分公式的推广——导数公式

定理2 解析函数的导数仍为解析函数，且

n!fzfnz0dz， 2iCzz0n1其中C为fz的解析域D内含z0D的任一正向简单闭曲线，且I(C)D。

公式可用于求闭路积分: Cfzn1dz2ifnz0—n!zz0—化积分问题成微分问题

§4 解析函数与调和函数的关系

一、概念与结论

2.主要题型

1调和函数的正问题和反问题； ○

2对给定调和函数，求满足CR条件：uv，○

xyuv的共轭调和函数，构成解析函数fzuiv。 yx

第四章 级数 §1 复数项级数

一、数项级数

1.复数项数列的极限

定义1 对复数列n及常数，

limn：对0,N,nN,n。 n定理1 设nanibn,aib，

nlimana,limbnb。 则nlimnn证明 由函数极限存在定理立得。同时注意到，在极

限存在时，有：

limnlimanibnlimanilimbn. nnnn例

n21n211 设有复数列n:nnsinnilnn2，计算2n2limn。

nlim解 limnnsin21n1n21ilimln12nn1i。

2.复数项级数

定义2 称12nn为复数项无穷级

n1数，简称级数，其中前n项和：Sn12n称为级数n的部分和，且

n1Sn，并令级数n级数n收敛limnn1n1limSn。

n定义3 设级数n收敛。若级数n收敛，则称

n1n1

级数n绝对收敛；若级数n发散，则称级数n不

n1n1n1绝对收敛或条件收敛.

定理2 级数n（绝对）收敛级数an，bn同

n1n1n1时（绝对）收敛。

证明（略）。并容易证明：

n0。性质1（必要条件） 若级数n收敛，则nlim n1性质2（充分条件） 若级数n收敛，则级数nn1n1收敛。

例2 判断下列级数的收敛性，是否绝对收敛？

nsininin34i⑴；⑵；⑶。

n12nn1nn16n解 ⑴

nnenensinin11esinin,nn，从而，

2i2i22e2原级数发散。

nnin⑵icosisin,

22n1ncosnsinn1n1n122收敛， iinn2nn1n1n1n12n1n但是，innn1



1n

发散，从而，原级数不绝对收敛或

nn1

条件收敛； n34i⑶n16n5n16收敛，从而，原级数收敛且绝

对收敛。

二、函数项级数 1.概念

定义4 设复函数列fnz，有共同的定义域D，则称

f1zf2zfnzfz

nn1为复函数项无穷级数，简称级数，其中前n项和：对某Snzf1zf2zfnz称为级数fnz的部分和。

n1点z0，若limSnz0sz0，则称级数fnz在点z0收敛且nn1fzsz。收敛点的全体称为级数fz的收敛域，

n00nn1n1在收敛域D内，对zD，fnzsz称为级数fnz的

n1n1和函数。

例3 证明：znn01z1。 1z2证明 Sn1zzzn11znz1， 1znzn易知，当zr1时，limnz而当z1时，limnnlimrnein0limSnn1； 1z0级数znn0发散。

2.幂级数及其收敛性

定义5 称特殊的具体函数项级数cnzn或

n0cza为幂级数。对于后者，若令za，则

nnczann0n0ncnn0n。故下面主要讨论前者cnzn（标准幂

n0级数）。

Abels定理 若当zz0时，cnznn0n收敛，则对zz0的

n0一切z，cnz必绝对收敛；反之，若当zz1时，cnznn0发散，则对zz1的一切z，cnzn发散。

n0

注：Abels定理几何意义如图： 三、幂级数的收敛半径与收敛圆

1.概念

n0 y z0 O x z 0 z1 z1 由Abels定理知，cnzn的收敛情况 必居下列情形之一：

⑴对任意正实数都收敛cnzn在复平面上处处

n0绝对收敛；

⑵除原点外，对任意正实数都发散cnzn在复平

n0面上除z0外，处处发散；

⑶存在正实数R，对aR，但对bR，cnan收敛，

n0cb发散。从而，当zR时，幂级数cz收敛且绝

nnnnn0n0对收敛；当zR时，幂级数cnznn0发散。此时，该正实

数R称为幂级数cnzn的收敛半径，以原点为心，R为

n0半径的圆：

zR称为幂级数cnznn0的收敛圆，其边界

zR称为幂级数cnznn0的收敛圆周，记为CR。

nn0显然，在ICR，cnz绝对收敛；在ECR，cnzn发

n0散——收敛半径R为幂级数cnzn的重要指标。特别地，

n0规定：⑴R；⑵R0。

2.求收敛半径

定理3 对幂级数cnzn，若limnn0cn1cnn或limncn，则

R1。

例4 求下列幂级数的收敛半径或收敛圆： ⑴n1特别地，规定：0时，R；时，R0，

n!2zn；⑵

nnez2。

innn1解 ⑴limncn1limncnnn1!2n1n1n!2nnlimnn111nn,R0；

⑵令z2t，limn时，en1inncnlimei1,R1。于是，t1nt收敛，即原级数einz2n的收敛圆为

n1z21。

四、幂级数的运算性质

1.代数运算

⑴设anzzr1，bnznzr2，取Rminr1,r2，则

nn0n0对zICR，

①anzn0nbnzanbnzn；

nn0n0nn②

an0znbznn0cnznn0，其中

cna0bna1bn1anb0。

⑵设fzanznzn0gz解析且gzr，在zR内，r，

则在zR内，fgzangzn。

n0例5 将1展成za的幂级数，并指出收敛圆和收敛

z半径。

解 1z111za，从而，当1时， aazaa1zaa

111za11nnnzan1zazan0aan0an0annn。

其收敛圆为zaa，收敛半径Ra。 2.分析运算

设szanznzR，则在zR内，

n0⑴幂级数的和函数sz解析；

n⑵可逐项微分：szanznanzn1； n0n1⑶可逐项积分：szdzanzCCn0ndzanzndz。

n0C

§2 解析函数的幂级数表示

一、泰勒级数及其展开

1.Taylor定理及说明

Ts定理 设fz在域D内解析，对z0D，则在

zDzz0Rminzz0内，有

nfzcnzz0n0fnz0,n0,1,2,，且展，其中cnn!式唯一。

称fzn0fnz0zz0nn!为fz在点z0的泰勒 z0 r 级数或泰勒展开式。

证明 在D内任意作Cr:z0r， 且ICrD，如图

设zICr，则由柯西公式，

zz0zz0f1fzd，则

z2iCrz0r1时，

11111z0zz0zz0z01zz0z0zz0zn00n

1zz0nn1n0z0

1f1fnnfzzzddzz00n0zn1zn12iC2in0C00rr

fnz01f令cnd,n0,1,2,，则 n12iCrz0n!fzcnzz0n0n

zz0。 由r的任意性知，RmaxrminzD关于展式的唯一性，可以通过两边求导证明(见

教材)。

zz0:⑴收敛半径R是展开中心z0到函数fz注: RminzD非解析点的最短距离;⑵收敛圆周zz0R上至少有一个奇点;⑶fz的泰勒级数的收敛圆zz0R是fz以z0为心的最大解析圆.

例1 求函数2z1在z01处的泰勒展开式的收

z1z1敛半径与收敛圆.

解 z1,zi为函数2z1的奇点，又

z1z1从而，收敛半径：R2；R1112；Rii12。

收敛圆：z12即为所求。

2.直接展开法

fnz0,n0,1,2,，将函数通过计算导数求系数cnn!展开成幂级数的方法称为直接展开法。一般适用于简

单函数的幂级数展开以及只展有限项两种情况。

例2 求ez在z0处的泰勒展开式.

解 ez在z内处处解析,在z内ez可展成

z的幂级数.

又eznez,eznzz01cn1,从而, n!z2znzne1z.

2!n!n0n!同理可得

z3z2n1z2n1n1n1z; sinzz112n1!2n1!3!n12n2nz2nznzz等等。 cosz1112n!2n!2!n03.间接展开法

通过有理运算、分析运算、恒等变形等，利用已

1知展开式，特别是znz1求函数幂级数的方法

1zn0称为间接展开法。这也是必须重点掌握的方法。

例3 将2展成z1的幂级数，并指出收敛半径。

z2解 z2为函数

R213；

2的奇点，展开中心为z01，z2nn12z1n22212z13n11z2z1331z33n0n03.

例4 将函数ln1z展成z的幂级数。

解 ln1z在除z1始的负实轴上解析，在z内解析，从而可展成z的幂级数。

1

又ln1z1nnz1zn。于是， 1zn0n0例

n1n1nzn1z或1。 ln1zdz101zn1nn1n05 求函数12在z1处的泰勒展开式，并写

1zz出收敛圆。

解 z1为函数

R112121z，从而，收敛圆为

的奇点，收敛半径为

z12； 

11z211z，

n11111z11n又, z1n1z11z2z12122n02n02n11n1nn1nz1z1或。 z1n1n1n22221z2n0n1n0二、罗伦级数及其函数展成罗伦级数

1.Laurent定理及说明

Ls定理 设fz在圆环域D：R1zz0R2内解析，

则对zD

fzcn1fzn1d,n0,1,2,， 2iC0ncnzz0n，其中

C为D内绕z的任意闭曲线，且展开式唯一。

证明见教材。

注:1.由泰勒定理知，幂级数cnzz0n中正幂项

n0

cnzz0n0n的收敛域应为:zz0R2;

而负幂项级数cnzz0n1nczzn0n1nzz01cnnn1,

其收敛域应为:

R1R1zz0R1.从而,

R1zz0R2为收敛域.

2.当给出展开环域后，即给定了所要展开的罗伦级数的形式.

3.系数cn0

0

1fzn1d2iC0只有积分式，无法直接

求得。展罗伦级数只有间接展开法。

2.函数展成罗伦级数举例 例6 将fzz2sin1在0zzz内展成罗伦级数。 可展成z内解析，

解 fzz2sin1在环域0z的罗伦级数. 111又sinzn02n1!zn2n1, 12n12n1!z!n02n1例7 求fz21分别在环域⑴

n0fzz21n1nz12n.

zzz11；⑵

y 1z12内的罗伦级数。 解 fz在环域⑴，⑵内解析（如图）1 -1 ， x 可展成z1的罗伦级数；

又fz11111, zz1zz11z12z1⑴z11，z11

2

fz111 11z121z2z1n0n1z11nn11z1n12n022n0n。

⑵1z11z121,1，

z12nn1111111z1fz1z1z11z1212z1n0z12n02

nn y 11n z1n1n1 n0z1n02 1i 例8 求fz22在2zi内的罗伦级数。 解 fz在环域2zi内解析（如图）， -i z1可展成zi的罗伦级数。

又fz从而，

1zi2zi21zi21zi，且

21。zi1111zi2izizi1z2iin

12inn12izi， zin0zin01nn1fz2izi 2zin012ni3nn1nn22in1zin4zi2n0n0zi.

3.函数展开成幂级数结论

⑴若fz在点zz0解析，则必存在实心的圆域

zz0R，使得fz在zz0处可展成泰勒级数；

⑵若fz在点zz0不解析，但在环域R1解析，则fz在zz0处可展成罗伦级数；

zz0R2内

⑶若fz在点zz0不解析，且不存在解析环域，则

fz在zz0处不能展成幂级数。如csc1在点z0处就不z能展成幂级数，

zk11csczsin1z有无穷个奇点：

1,k1,2,，以z0为极限，在点z0处无限稠密。 k