高中数学二项式定理全章总结复习 副本

第十一讲 二项式定理

课程种类：□复习 □预习 □习题 针对学员基础：□基础 □中等 □优异

讲课班级 讲课日期 学员

月 日 组

本章主要内容：

1. 二项式定理的定义； 2. 二项式定理的通项公式； 3. 二项式定理的应用 .

本章教课目的：

1. 能用计数原理证明二项式定理 ( 要点 ) ；

2. 能记着二项式定理和二项睁开式的通项公式( 要点 ) ； 3. 能解决与二项式定理相关的简单问题 ( 要点、难点 ) .

课外拓展

杨辉三角历史

北宋人贾宪约 1050 年第一使用“贾宪三角”进行高次开方运算。

13 世纪中国宋朝数学家杨辉在《详解九章算术》里议论这类形式的数表，并说明此表引自

前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。

元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》（ 1303 年）扩大了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。

意大利人称之为“塔塔利亚三角形”以纪念在 在欧洲直到 1623 年此后，法国数学家帕斯卡在 布莱士·帕斯卡的著作

Trait édu triangle arithm

16 世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。 13 岁时发现了“帕斯卡三角”。

11 世纪

étique （ 1655 年）介绍了这个三角形。帕斯卡

收集了几个对于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面宽泛，

（ 1708 年）和亚伯拉罕·棣·美弗（ 1730 年）都用帕斯卡来称号这个三角形。

Pierre Raymond de Montmort

最近几年来外国也渐渐认可这项成就属于中国，因此有些书上称这是 “中国三角形”（ Chinese triangle ）。

【知识与方法】

一．二项式定理的定义

n

在 (a b)

(a

b)( a b) ( a b) 中，每个括号都能取出 a 或 b ，因此每个括号有 2

n个

种选择， n 个括号

就是 2 n 种状况 . a 2b n 2 这一项， 表达的意思是 _________________________ ；因此， a2 bn 2 共有 ________个 .

比如： ( x 即 C73 项.

y)7 中 x3 y 4 表示的就是，有 3 个括号拿 x ，剩下的 4 个括号拿 y ，因此 x3 y4 共有 C73 C44 项，

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( a＋ b) n 的二 睁开式原来共有

_______ ，归并以后共有

_______ ，此中各 的系数 ______________

叫做二 式系数． 二．二 睁开式的通

( a＋ b) n 的二 睁开式的通 公式

__________..

注意： 1. Tr 1与 Cnr 的关系，比如第

5 ， 是

Cn4 ；

2.

二 式的睁开式是依据前 降 摆列，比如

(x 1)10 与 (1 x)10 中的第 4 是不一样的；

3. 于 n ；

a 的指数从 n 逐 减到 0，是降 摆列。 b 的指数从 0 逐 减到 n ，是升 摆列。各 的次数和等

4. 注意正确划分二 式系数与 的系数.

三．二 式系数的基天性

四．睁开式的二 式系数和

n

012

n

0

2

4

1

3

5

1.( a＋b) 睁开式的各二 式系数和： Cn＋ Cn＋ Cn＋⋯＋ Cn＝ _______.

2. 偶数 的二 式系数的和等于奇数 的二 式系数的和，即

_______. 五．睁开式的系数和

0

1

Cn ＋ Cn ＋ Cn ＋⋯＝ Cn ＋ Cn ＋ Cn ＋⋯＝

2

2

n

n

若 f ( x) ＝ a ＋ a x＋ a x ＋⋯＋ a x ，

f (1)

a2＋a4＋⋯ = f ( 1) ，偶数 系数之和

2

f ( x) 睁开式中各 系数之和

_______，奇数 系数之和 a ＋

0

a1＋ a3＋ a5＋⋯ =________________.

【例题与变式】

型一 通 公式及其 用 型一 二 式定理的原理 用 【例 1】 (2015 · 全 国卷 Ⅰ)(

x2＋ x＋y) 5 的睁开式中， x5y2 的系数 （

）

A． 10

B．20 C． 30 D． 60

【例 2】（2018?滨 州二 模 ） ( x2 【 式

2 x

3)5 的睁开式中， x 的系数 ________. 1

1)8 的睁开式中， x3 的系数 ________.

1】（ 2018?濮 阳一 模 ） (x

x 2017

【 式

2】（ 2018?龙 岩模 拟 ）已知二 式

(1 1

x

2 x) 4 ， 睁开式的常数 （

）

A． -1

型二 括号型

B．1

C． -47

D． 49

【例 4】（ 2018?内 江三 模 ） ( x

2 ) 睁开式中的常数 （ x

4）

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A． 6

n

B．-6

C． 24

D． -24

2

1

【例 5】设 ( x－ 2)

睁开式中，第二项与第四项的系数之比为

2，则含 x 的项是 ________．

【例 6】（ 2018?成 都模 拟 ）若 (x

a ) 的睁开式中含 x 项的系数为 160，则实数 a 的值为（ x

6

2

3

）

A． 2

B． 2 C． 2 2

D． 2 2

【例 7】 (2017 · 东 北四 校 联 考 ) 若 (x6

1 ) 的睁开式中含有常数项，则正整数

x x

n

n 的最小值等于（

）

A． 3 B．4 C． 5

D． 6 ）

6

【变式 3】（ 2018?河 北区 二 模 ）二项式 ( x 2 ) 的睁开式的第二项为（ x

A． 6x4

B．

6x4

C． 12x4

D． 12x 4

）

【变式 4】（ 2018?四 川模 拟 ） (x

6

1 ) 睁开式中的常数项为（ x

A． -20 B．-15 C． 15

D． 20

【变式 5】 (2016 · 全 国卷 Ⅰ)(2 x＋ x) 5 的睁开式中， x3 的系数是 ________． ( 用数字填写答案 ) 【变式 6】（ 2018?上 海二 模 ） (x

n)1 的睁开式中的第 x

3 项为常数项，则正整数

n=_______．

3【变式 7】（ 2018? 普 陀 区 二 模 ）若 ( x

n1 ) 的 展 开 式 中 含 有 非 零 常 数 项 ，则 正 整 数 n 的 最 小 值 为

x 2

_______．

种类三 双括号型

【例 8】（ 2018? 肇庆 三 模 ） 已 知 (1 ax)(1

A． 1

x)5 的 展 开 式 中 x 2 的 系 数 为 5， 则 a=（

）

B．2

C． -1

D． -2 ）

【例 9】 （ 2018 ?信 阳二 模 ） ( x2

51)( 1 2) 的 展 开 式 的 常 数 项 是 （ x

A． 5 B．-10 C． -32

D． -42

【例 10】（ 2018 ? 泉 州模 拟 ） ( x 1) 4 (1 1 )4 的 展 开 式 中 ， 常 数 项 是 _______ ．

x 【例 11】 ( x 1)3 (1

4)1 的 展 开 式 中 ， 常 数 项 是 _______ ． x

2

【变式 8】（ 2018 ?枣 庄 二 模 ） 若 ( x a)( x

A．

1

B． 1

10 的 展 开 式 x 6 的 系 数 为 30 ， 则 a 等 于 （ 1) x

）

C． 1

D． 2

3 2

【变式 9】 （ 2018 ?咸 阳二 模 ） (x y)(x

y)8 的 展 开 式 中 ， x2 y 7 的 系 数 为 _______．

.

【变式 10】 (1 ＋2x) 3(1 － x) 4 睁开式中 x 项的系数为

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型二 睁开式中的二 式系数

【例 1】（ 2018?广 州 一 模 ）已知二 式 (2 x

2

1

) n 的全部二 式系数之和等于

128，那么其睁开式中含

x

1 x

的系数是（

A． -84

）

B．-14

C． 14 D． 84

【例 2】（ 2018?綦 江区 模 拟 ）二 式 ( 2 x

n

a ) 的睁开式中全部二 式系数和 x

n

64， 睁开式中的常数

-160 ， a=_______． 【 式

3

1】（ 2018? 宝 山 区 一 模 ）在 (

2

x

x ) 的 二 展 开 式 中 ，所 有 的 二 式 系 数 之 和1024 ，

常 数 的 等 于 _______．

【例 3】（ 2018? 唐山 一 模 ） (2 x

1)6 的 展 开 式 中 ， 二 式 系 数 最 大 的 的 系 数 是 _______ ．

n

1 ) 的 展 开 式 中 只 有 第 11 的 二 式 系 数 最 大 ，

3 x

【例 4】（ 2018 ?马 鞍 山 二 模 ） 二 式 ( 3x

展 开 式 中 x 的 指 数 整 数 的 的 个 数 （

A． 3

【 式

）

B．5

3

C． 6 D． 7

2】（ 2018?湖 北 模 拟 ）在 ( x

2

) n 的二 睁开式中，只有第

5 的二 式系数最大， 二 睁开式

x

常数 等于 _______．

【 式

3】（

2018?芜 湖模 拟 ）已知 (1

n

2 x) 睁开式中只有第

4 的二 式系数最大， (1

1

2 )(1 2x)

n

展

x

开式中常数 _______． 【 式 型三

4】 (a

睁开式中的系数

b)n 二 睁开式中，二 式系数最大 第

7 和第 8 ， n =_______．

【例 1】（ 2018?

石 家 庄 二模

）已 知 (1

x) n 的 展 开 式 各

系 数 之 和

256 ， 展 开 式 中 含 x2

的 系

数

_______．

【例 2】（ 2018?旭日 三 模 ）在二 式 (

x

3 x ）

)n 的睁开式中，各 系数之和

A，各 二 式系数之和

B，

且 A+B=72， 睁开式中常数 的 （

A． 6

【例 3】 (x

a

B．9

C． 12

2， 睁开式中的常数 （

D． 18

）

)( 2x 1 )5 的睁开式中各 系数的和 x x

A． -40 B．-20

C． 20 D． 40

32， a=________.

【例 4】（2015?新 Ⅱ） (a x)(1

x) 4 的睁开式中 x 的奇数次 的系数之和

【例 5】已知 (1 － 2x) 7＝a0＋ a1x＋ a2x2＋⋯＋ a7x7.

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求： (1) a1＋ a2＋⋯＋ a7；

(2) a1＋ a3＋a5＋ a7； (3) a0＋ a2＋a4＋ a6； (4) a0

a1

a2

a7 .

【例 6】（ 2018?湖 南三 模 ）若 (1

x)(1 2 x)8 a0 a1 x

a9 x9 ， x∈ R， a1 2

a2 22

a9 29 的

（ ） A． 2 9

B． 29

赣 州 一模

2

1 1 x2

C． 3 9

n

D． 39

1

【 式

1】（ 2018?

）若 ( x

B．20

3

2)

睁开式中各 系数之和

64， 睁开式中的常数 是

（

）

A． 10

【 式

C． 30

) n 的睁开式的各 系数和

D． 40

2】（ 2018?烟 台 模拟 ）已知 ( x

2

243， 睁开式中 x7 的系数 （

）

x

A． 5

【 式 a1 a2

B．40 C． 20

2)5 a0 a1 (x 1) a2 (x 1)2

D． 10

3】（ 2018?河 西区 三 模 ） ( x

a5 _______．

a5 (x 1)5 ，

1. (1

x) 7 的睁开式中 x2 的系数是（

）

4

2.

A． 42 （ 2015? A． -1

） (2 －

B．35

C． 28

3.（2015?

大 连 模 拟

8

）

D． 21

B．0 1 n

3

C． 1

D． 2

）

南 昌 质 检 ）在 ( x

) 的睁开式中， 只有第 5 的二 式系数最大， 睁开式中常数 是 （

2

x

A． -7

） A． 5

2015?

B．7 C． -28 D． 28

4. ＝（

（ 2014?石 家庄 二 模 ） ( x2＋ 1)( x＋ 1) 9＝ a0＋ a1( x＋ 2) ＋ a2( x＋ 2) 2＋⋯＋ a11( x＋ 2) 11， a1＋ a2＋⋯＋ a11

31

5

B．4

7

的睁开式中 x

C． 3 D． 2

5. （

安 徽

） ( x)

的系数是 ______． ( 用数字填写答案 )

1

x

6. （ 2015?温 州 十 校 联 考 ）已知 (1 x x )( x

2

) ( n∈ N ) 的睁开式中没有常数 ，且

n

*

2≤n≤8，

n＝

x 3

________.

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1. 实质达成状况 ：

□ 按计划达成；

□ 超额达成， 原由剖析 ________________________________________________________________________ ；

□ 未达成计划内容， 原由剖析 __________________________________________________________________.

2. 讲课及学员问题总结：

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