常见泰勒公式展开式

展开式：

展开式是诗的内在结构类型之一。在展开式中，诗的意念、意象向着纵的方向展开。

或层层展开，如杜甫的诗往往从写景开始，似无他意，但在诗的进展中突然出现诗人的情思，结尾时猛地煞住，使读者在一种惊奇兴奋的心情中忍不住重新将诗反复诵读几遍，以体会诗人的心情。他的《舟月对驿近寺》便是如此：“更深不假烛，月朗自明船。金刹青枫外，朱楼白水边。城乌啼眇眇，野鹭宿娟娟。皓首江湖客，钩帘独未眠。”或突然展开，如歌德的《游子夜歌》，写诗人在暮晚时来到吉息尔汗山顶，看着寂静的山峦和树林，自然界的宁静深深地浸入了诗人的心灵，诗人有一种与自然默契的感觉，遂在诗的结尾突然转入一个新的高度：“等待吧，不久你也将沉入宁静。”给读者心灵以强烈的震撼，从而使人深思人生的奥秘（生与死），生命从开始到终结的含意。或在结尾的高潮中突然提出一个全新的思想，但不再发挥，戛然而止，留下无限的空间，使读者继续思考，臻于余音袅袅的境界。如陶潜的《结庐在人境》，诗人从东篱下的菊花写到远山，又写到山前的飞鸟，这时突然转入一个全新的境界：“此中有真义，欲辨己忘言。”至此停笔掩卷，却留下一种言语无法表达的韵味。以上三种展开式，可谓各尽其妙。

泰勒级数：

在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。

泰勒公式：

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

历史发展：

泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。

18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook Taylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基

者。

泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。