第6章数列正如所有的函数都是由初等函数组合变换而成的—样,我们研究的数列也可以由等差、等比数列组合变换而成°这就是我们深人、系统研究等差、等比数列的原因°由—般到特殊、由特殊到一般的数学思想是数学研究的主要思想方法之—°数列可以看成一类特殊的函数,也可以看成函数的＿种应用°数列的表示方法:@列举法;◎图像法;◎解析法;@递推法°在求解数列问题时要注意运用函数思想、方程思想和整体消元思想’设而不求°6.1等差、等比数列的定义与性质6.｜.｜定义等差数列:从第二项起’每—项与它相邻的前＿项的差为同—个常数的数列°包含3个关键点:从第二项起;每—项与它相邻的前—项的差;该差都是同＿个常数’定义为公差°等比数列:从第二项起,每＿项与它相邻的前＿项的商为同一个不为零的常数的数列°包含3个关键点:从第二项起;每＿项与它相邻的前—项的商;该商都是同—个不为零的常数,定义为公比°6.｜.2通项通项直接由定义导出°等差数列的通项:根据等差数列的定义’采用累加法获得°令等差数列｛α″）的首项为αl’公差为α’根据等差数列的定义,有α2-α1＝dα3一α2＝创·132高中数学知识体系通讲α4-α3＝αα删1-α″—2＝αα＂-α＂1＝〃以上川-1个式子每相邻两个含—组互为相反数的项’将这′′-1个式子依次累加’得α＂-α1＝（″-1）·d≡＞α＂＝α1＋（Ⅺ-1）.〃若有奇数项成等差数列且和为定值时,可设中间三项为α-〃,α’α＋d;若有偶数项成等差数列且和为定值时,可设中间两项为α-α,α＋d’其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元°有若干项成等比数列且积为定值时’设元方法与等差数列类似°等比数列的通项:根据等比数列的定义’采用累乘法获得°令等比数列｛α″）的首项为αl,公比为q,根据等比数列的定义,有~~业山α3α2α4α3α＝q＝qα″-1＿＝qα″-2α″α门-1＿＝q以上＂-1个式子每相邻两个含—组互为倒数的项,将这＂-1个式子累乘’得尘叼~~α购6｜.3性质由等差、等比数列的定义推导而得的下述性质通常称为“下标和性质定理”,具有厂泛的应用°对于等差数列,若′′!＋Ⅺ≡p＋q,则α咖＋α＂＝αp＋αq°解析因为α咖＋α″＝2αl＋（m＋〃-2）〃’α′＋αq＝2α1＋（p＋q-2）α’且″!＋′′＝p＋q’所以有α顺＋α″＝α′＋αq°对于等比数列,若m＋′!＝′＋S’则α枷·α″＝α′·α‘°第6章数列。133解析因为α咖.α″＝α;·q顾＋＂2’α′·α＄＝α§·q′十｀2’且m＋′0＝′＋S’所以有αm·α门＝α厂·αS◎［典例1】已知方程（x』ˉ2憋＋阶＂）（x‘—2x＋＂）二0的四个根组成—个首项为寸的等差数列’则m-川｜＝解析设四个根分别为xl,x2’x3,x4,由已知方程根与系数的关系’显然有xl＋x4＝2』…』二2,不妨令x!＝＋,则川.＝f.故公差刨二÷,趣二÷,则x』二;.不妨令x｜.x｜＝″Ⅱ＝x』.x＂二″,则｜′＂＿″｜＝昔.【典例2】给定正数p,q’α,b,c’其中P≠q’若P’α’q成等比数列’p,b,c,q成等差数列,判断＿元二次方程hx2-2αx＋c＝0的根的情况。解析考虑到题设等比数列、等差数列都与参数p,q有关,宜用p’q来把其他参数表示出来.设等差数列的公差为铡』则由等差数列的定义d＝坠亏卫’得b＝p＋d＝2p＋q3,c＝p＋M＝p＋2q3又α2＝pq,对于一元二次方程bx2＿2αx＋c＝0,有△＝4＂』—4bc＝!（′q—2p＋q′÷2q）二—:（′—q）』＜03故方程无实根°【典例3】在某两个正数x’y之间插人—个正数α,使x’α,y成等比数列;若另外插人两个正数b’c’使x,b,c’y成等差数列,求证:（α＋1）2≤（b＋1）（c＋1）°解析由等差数列的定义,令γ—‘＝‘—b＝b—x＝刨,d二1子＝b二誓上｀c＝≤旦1,α二√可＝（α＋l）』＝川y＋2√页y＋l,得（b＋1）（c＋1）＝2L丝±—I2）＋5匹I＋（x＋y）＋19≥xy＋2√了y＋1＝（α＋1）2得证°6.｜.4前列项和数列的通项α″与前问项的和S＂的关系为｜Sl,门＝1αⅧ≡｜S＂—S腮—1,＂≥2·134·高中数学知识体系通讲数列前′!项的和S″和通项α″是数列中两个重要的量,在运用它们的关系式α″＝S″-S″ˉl时,＿定要注意条件″≥2,求通项时—定要验证α1是否适合°等差数列的前″项和可利用下标和性质定理由倒序相加法推导而得°解析令等差数列｛α″）的首项为αl’公差为d’根据等差数列前门项和的定义’有S″＝α1＋α2＋α3＋…＋α″—2＋α″ˉ1＋α＂S″＝α＂＋α″ˉ1＋α＂ˉ2＋…＋α3＋α2＋αl由下标和性质定理’上下两式对应项之和都相等,即α1＋α〃＝α2＋α″-1＝α3＋α″-2＝…＝α″1＋α2＝α〃＋α1故2S″＝川（α1＋α″）＝S″＝Ⅺ（α1＋α″）2又α＂＝αl＋（Ⅲ-1）。α’代人得S″≡门α1＋〃（门-1）·d2等比数列的前″项和可利用下标和性质定理由错位相减法推导而得°解析令等比数列（α″｝的首项为αl’公比为q’根据等比数列前″项和的定义,有S″＝α1＋α2＋α3＋…＋α″2＋α＂1＋α″＝α1＋α1·q＋α1·q2＋…＋α1·q″＿3＋α1·q″2＋α1°q＂1在上式中,每相邻两项相差—个公比q,从无穷项要么可求和要么可消项的思路出发,等式两边同乘以公比q,可得q·S″＝α1·q＋α1·q2＋…＋α1·q″3＋α1。q＂ˉ2＋α1·q″ˉ1＋α1·q″该式前Ⅺ-1项与前式后列-1项相同’两式相减得（1＿q）·S″＝α］-α1·q＂化简得S″＝α1（1＿q〃）-α1-α″。q1-q—I＿q使用等比数列前川项和公式时’必须弄清公比q是否有可能等于1,如果不能确定则需要讨论°重要结论对于无穷项或类似于元穷项的数列’必然:（1）可消项（经化简或变换后）:如等比数列求和的错位相减法°（2）可求和:如等差数列的倒序相加法°（3）为周期性变化（周期函数、周期数列）:利用一个周期内的性质来消项°对于无穷项或类似于无穷项的数列的求和,无外乎以上三种思路°第6章数列·135。常用的求和方法有:倒序相加、错位相减、分组求和、拆项求和等°【典例4】求下列数列的前〃项和S″:,门（川＋2）,（l）5,55’555｀5555｀…,:（10.—l）’…Ⅷ〔2）六.示I,丽百｀…｀可111］（3）α＂＝汀＋｀／7丙;（5）sm21°＋sln22°＋sm23°＋…＋sin289°。（4）α,2α2,3α3,…,′lα″,…;解析（l）叮采用分组求利,α″＝:（l0＂—l）＝:l0″—:,则Ⅱ＂＝船（l0＂—l）—:″（2）采用拆项求和,α″＝″（″＋2）二古（÷—′言2）,则‘″二÷［（＋—l＋2）＋（寸—2＋2）＋（昔—3＋2）＋~…＋（″上l″—l＋2）＋（÷—″÷2）］＝告（1＋』—″ˉ卜l′六2）二;2（″＋l）（′!＋2）1112′0＋3（3）分母有理化后可消项’因α＂＝√7『＋√″可＝√″＋T—√万故1S＂＝√Ⅲ-√T＋√百-√回＋…＋√7『—干—I-√万＝√万—干丁-1（4）差比组合数列,可采用错位相减法进行求和’则S川＝α＋2α2＋3α3＋…＋川α″α·S″＝α2＋2α3＋3α4＋…＋川α＂＋1两式相减得（1-α）·S＂＝α＋α2＋α3＋α4＋…＋α″-Ⅺα″＋1故s＂＝帖丹）阵（5）由同角三角函数的基本关系’有sin21。＋sin289°＝sm21。＋cos21°＝1故S″＝44.5°常用的消项模型如下:136高中数学知识体系通讲111α门＝′′（Ⅺ＋1）1＝万-′′＋1α＂＝（″—1）＂（″＋1）＝古［″（″1ˉ1）″（″1＋1）］11-1「11］α川＝″（′′＋1）（〃＋2）—百［〃（′l＋1）（′′＋1）（′!＋2）」侧＂＝√″＋k｛ˉ√7『＝｛（√″十腮—√而）1α″＝万＋√″＋11＝√″＋1-√7Iˉ侧＂＝（2″＿1）〔2＂＋1）-』（2″上l2″＼l）b＂＝α门＝α…＝÷（六—六）（其巾｝″＂｝是公差为＂的等差数列）″（″＋k）＝十（舟—″＋k）11‘＂＝（〃″—l）（圃＂—!—1）＝☆（′→1α品—1）（″＞0且〃≠l）火α″∑［″ln（″＋1）ˉ（″—1）ln″］＝″ln（″＋1）门≡1tan（k＋1）·tan火＝tan（火＋1）-tan∧tan1-16.↑.5有关等差等比数列的相关结论（1）等差数列（α″）的任意连续m项的和构成的数列S砸’S2咖-S咖,S3顺-S2m’…仍为等差数列°解析Sm＝″〗·α1＋m（m-1）α2S2m＝2′″·α1＋″1（2m-1）dS3m＝3″0·α1＋3′″（3′Ⅶ-1）创2s瞥腮—S啊＝枷α!＋:炯:d—÷″′d2（S2加-S肌）＝2″lαl＋3m2α-mds狮·—s:腮＝啊α」＋:挪鳖d—昔″′d第6章数列137·故S′＂＋（S3加-S2m）＝2mα1＋3″l2α-″ld＝2（S2加-S顾）得证°（2）等比数列｛α″）的任意连续″!项的和构成的数列S咖’S2咖-Sm’S3咖-S2砸,…仍为等比数列。解析Sm＝α1（1-q′＂）,S2加＝q1（1-q2m）,S3加＝α1（1＿q3′″）1-q1-q1＿qS2m-Sm＝α1故q加（1-qm）,S3m-S2′＂＝α11-q1-qq2″!（1-q加）1-q1-q·α1,:磁（l—q憾）（J翻ˉs腮）』＝α;q』（｛1］箔）』≡α11ˉq″＝Sm·（S3m＿S2m）得证°（3）两个等差数列｛α″）与｛b″）的和差的数列｛α＂±b＂｝仍为等差数列。解析令等差数列｛α〃）’｛b″）的首项分别为α1,b1,公差分别为α1’〃2’C″≡α″＋b″,e″＝α″-b″,则C″＝［α1＋（Ⅺ-1）.d1］＋［bl＋（门-1）·＂2］＝（α1＋b1）＋（门一1）（α1＋d2）所以当况≥2时’c″-c″1＝αl＋d2’根据数列的定义,得｛c＂｝是首项为α1＋b1、公差为〃l＋α2的等差数列。e″＝［αl＋（〃-1）·dl］-［b1＋（＂-1）·d2］＝（α1＿b1）＋（＂-1）（α1-α2）所以当川≥2时,C″-en—l＝〃l-d2’根据数列的定义’得｛e″｝是首项为α1-bl、公差为α1-〃2的等差数列°（4）两个等比数列｛α删｝与｜b＂｜的积商倒数的数列（α″.b州｛.｜安｜.｜六｜仍为等比数列·解析令等比数列｛α＂｝与（b″）的首项分别是αl’b1’公比分别是ql,q2’A″＝α″.b″.B＂二发,C佩二六’得A.＝（′』b』）.（q｜q″—｜’‘＂-贵.（贵厂』’C″-六.（六）鹏』l38高中数学知识体系通讲由等比数列的定义易得｛A″｝,｛B″）,｛C″）均为等比数列°（5）解决等差数列和等比数列的问题时’通常考虑两类方法:@基本量法’即运用条件转化为关于αl和d（q）的方程;◎巧妙运用等差数列和等比数列的性质,＿般运用性质可以化繁为简’减少运算量°［典例5］设s.和r鹏分别为两个等差数列的前″项和’昔对仟意″eN｛都有兴器:,则第—个数列的第13项与第己个数列的第13项的比是解析设5Ⅷ和T侧对应的数列通项分别为α.’b.｀则所求为瓮’由等差数列的性质’有25（α1＋α25）α132α13α1＋α2522S253×25＋5406.｜.6四类思想方法由等差、等比数列的通项及前况项和的推导求解过程,可以得到四种常用的解决数列问题的方法°（1）累加法:由等差数列通项求法而得°形如α″＋l-α″＝／（＂）且／（〃）可求和的问题适用累加法°（2）倒序相加法:由等差数列前＂项和求解而得°如果—个数列为（α″｝,与首末项等距的两项之和等于首末两项之和或等于同—个常数,可把正序与倒序的两个和式相加’即可得到＿个常数列的和’这—求和方法称为倒序相加法°（3）累乘法:由等比数列通项求法而得°形如α″＋l＝／（″）α″且／（Ⅲ）可消项的问题适用累乘法°（4）错位相减法:由等比数列前〃项和求解而得°错位相减法适用于差比组合数列。【典例6】已知α″＝川2,求其前Ⅺ项和S″°＝＞（门＋1）3-川3＝3川2＋3川＋1解析本题可由立方和公式结合累加法求解。由（门＋1）3＝∏3＋3′12＋3Ⅺ＋1得（几＋1）3-川3＝3门2＋3川＋1门3-（门-1）3＝3（门-1）2＋3（Ⅺ-1）＋1第6章数列·13933-（3-1）3＝3（3-1）2＋3（3-1）＋123＿（2-1）3＝3（2-1）2＋3（2＿1）＋］以上门个式子累加化简得S″＝Ⅺ（Ⅺ＋1）（2门＋1）66.2.常见的递雅数列递推数列是数列考查的重点之—。所有的递推数列模型都是由规律的等差数列和等比数列的思想衍化而来的°常见的递推数列有以下类型:（1）二项—次式（形如α＂＋l＝p.α″＋q（p·q≠0且p≠1））解析对于形如α″＋1＝p·α″＋q的递推数列,如果没有q’那么它就是—个标准的等比数列,如果p＝1’那么它就是＿个标准的等差数列°考虑用等差数列的模型处理,递推项系数不同’不符合等差数列的定义,难以实施°因此考虑用等比数列的模型处理’那就必须将其变形为＿个新的等比数列°如果没有q’α″＋1,α″之间的分配本来是“和谐”的,现在相当于由于q的引人而导致“分配不均”的情况出现’因此问题的关键是处理参数q的影响’如果能将q的影响归化至α″,α″＋l中,则问题迎刃而解°假定就q这多余的“意外之财”’α″,α″十1达成—致,平均分配获得∧,则上式可以变形为α″＋1＋∧＝p·（α″＋∧）与原式进行比较易得q＝∧·（p-1）＝＞∧＝—坠p-1此时令b″＝α″＋∧’即b厕＝α′!＋∧＝α′n＋p-1,qb″＋1b″＝p｜b′｜｝是首项为b』＝α｜＋卢公比为p的等比数列’且bⅧ＝（＂!＋′11）p腮」＝≥α〃＝bⅧ—川＝（侧」＋p—1）.p鹏—!ˉq｀qp-1~140高中数学知识体系通讲深刻领悟’牢固掌握二项—次式问题的思想方法是处理其他递推数列问题的基础°（2）指数型（形如α＂十1＝p·α″＋q″）解析指数型与二项—次式的差异在于对q＂的处理,考虑到项数和幂指数变化的—致性’可以将其协同处理’两边同除以q″＋1’得旦』1±1＝卫·丝＋上q″＋1qq″q令b″≡器,原式转化为二项～次式;b删‖二p.b＂＋1.q令b″＋l＋∧＝p.（b″＋入）’得（p-1）.∧＝上＝∧＝（p＿1）qq1令C″＝b′』＋∧,得C＂＋1＝pC″C1＝b1＋∧＝尘＋q（p-1）q1→‘″＝［寄ˉ卜（p三l）q｝′卿」＝＞α″＝b＂·q″＝（C″-∧）·q＂＝′＂＝｜［÷＋（p」l）q｝pⅧ—｜ˉ（′二l）q｜.q＂指数型还有—种变形:α″＋1＝pα″＋／（＂）’对于这种变形’只需构造数列｛b″）,消去／（＂）带来的差异即可°（3）三项—次式（形如α″＋2＝pα″＋1＋qα″（其中p’q均为常数））解析（法1:待定系数法）同处理二项—次式的思路,先把原递推公式转化为α″＋2-Sα″＋1＝『（α″＋1-Sα″）其中』,′满足（刚二—q〔S＋′＝p令b″＝α″＋1＿sα″’则｛b″）是首项为α2-Jαl、公比为／的等比数列’α〃十l＝皿″＋b″满足指数型’可采用指数型方法进行处理·（法2:特征根法）对于由递推公式α″＋2＝pα″＋1＋qα″’α1＝α,α2＝β给出的数列｛α″）’方程x2-pX＿q＝0叫作数列｛α″）的特征方程°若xl,x2是特征方程的两个根’当x1≠X2时,数列｛α″｝的通项为α″＝Ax｛ˉl＋Bx』—l’其中A,B由α1＝α,α2＝β决定（即把α1’α2,x1’x2和′l＝1,2代人α″＝AxP—l＋Bx!1中’得到关于A’B的方程组）;当xl＝x2时’数列｛α″｝的通项为α″＝（A＋B门）x｝—l’其中A’B由αl＝α’α2＝β决定第6章数列·l4］（即把α1’α2’xl’x2和门≡1,2代人α″＝（A＋B川）xf1中,得到关于A’B的方程组）°（4）α″＋l＝pα″＋α门＋b（p≠1或0,α≠0）型解析同类型思路—α″＋1＝pα″＋A〃2＋BⅪ＋C°解题思路类似于二项＿次式’相当于将＿次函数α川＋b的影响归化到α″＋1,α″中,—般利用待定系数法构造等比数列’即令α″十l＋x（门＋1）＋y＝p（α″＋x门＋y）,与已知递推式比较,解出x,y,从而转化为｛α″＋x门＋y｝是公比为p的等比数列。（5）对数型（形如α″＋l＝pα岛（p＞0’α″＞0））解析对数型＿般是等式两边取对数后转化为二项＿次式:α″＋l＝pα＂＋q,再利用待定系数法求解°对α″＋l＝pα岛两边同时取对数得lgα″＋1＝lgpα内＝厂lgα″＋lgp令b″＝lgα＂’则b″＋l＝′b″＋lgp即为二项＿次式°（6）分式型（彤如α赋』-g〈〃（胖师）解析这种类型—般是等式两边取倒数后换元转化为α″十1＝pα″＋q°两边取倒数’得—上hL」1」。上＋且Z1α″＋l／（则）α＂／（＂）令b鹏-六.则b叫二滞.b什揣即为二项—次式.（7）特征根型（形如α耐』二器÷:）解析如果数列｛α″｝满足下列条件:已知α｜的值且对于″eN,都有…二器;（其中′,q,′.″均为常数,且ph≠q′,′≠0.α｜≠—4）.那么,可作特征方程x二黑黑｀当特征方程有且仅有—根x＂时,｜侧.≡0｝是等差数列』当特征方程有两个相异的根腮｜’x』时｀｜:器≡贵｜是等比数列.（8）α〃＋l＋α″＝p问＋q型或α腿＋l·α″＝pq″型解析这种类型一般可转化为（α2″1）与（α2厕）是等差或等比数列求解°由｜α″＋2＋α＂＋1＝p（门＋1）＋q）α＂｛1＋α＂＝p＂＋q°142高中数学知识体系通讲两式相减得α″十2-α″＝p’即隔项成等差数列;由｜α〃十2.α″十1＝pq″十1）α″汕.α＂＝pq＂两式相除得旦」1土旦＝q,即隔项成等比数列°α川注意;隔项成等差、等比的数列—般要分成项数为奇数、偶数两种情况处理°（9）α″＋l＝α＂＋／（则）型解析把原递推公式转化为α′』＋1-α″＝／（〃）’利用累加法（逐差相加法）求解。（10）α″＋l＝／（″）α″型解析这种类型的／（则）是可以消项的’将原递推公式转化为旦」1土上＝／（″）,利用累α川乘法（逐商相乘法）求解°（11）递推公式为S″与α″的关系式（或S″＝／（α″））＂狮遮…—耀刺周绷.～｛;从Ⅷ＂鬃2与′｀悲.—轨ˉ』～｛（侧｀）—／（α″＿l）消去S″（＂≥2）或与S″＝／（S″-S″＿l）（＂≥2）消去α″进行求解°（12）猜想归纳法川＝1解析先计算出前几项’根据前几项的规律猜想出通项,再用数学归纳法予以证明°（13）双数列型【典例7】已知在数列｛α〃）中’α1＝1;在数列｛b″）中’bl＝0°当门≥2时’α″＝÷（2α鹏—｜＋b顺—』）,b″二苛（‘＂—｜＋2b删—］）’求α″,b′｀.解析因为α＂＋bⅧ＝昔（2吟—!＋b旧）十÷（αⅧ—｜＋2b曰）＝α铡—｜＋b懒」所以α＂＋b″＝α″1＋b″ˉ1＝α＂—2＋b″2＝…＝α2＋b2＝α1＋b1＝1即α′!＋b′t＝1@又因为α〃—b＂＝÷（2叫—』＋b鹏』）—昔（α鹏!＋2b问）第6章数］（~—~β列143β）所以α＂—b＂＝÷（α回—b腿｜）＝（÷）』（侧″—』—纠—』）＝-（÷）鹏—｛（α｜—b｜）＝（÷）″」即α＂-b＂≡］—日］◎由@◎得］~~—∑］—日］］β］~~—∑］—日］］（14）周期性数列由递推式计算出前几项,寻找周期°2α″,0≤α鹏≤吉古≤叫＜l【典例8】（1）若数列｛α＂｝满足α＂十l＝≤,α1＝鸟,则／α2020的2α厕-19值为（2）已知数列｛α″）满足αl＝0’α″＋l＝α″＿佰（门巨N十）’则α2020＝（佰α″＋1C侗）°A.0B.-√习D鲁6解析由递推式算出前几项’进而得到它们的周期即可°（1）T＝3’α2020＝α1＝7;（2）T＝3,α2020＝α1＝0。6.3函数的二火应用之闯的矣联关于函数的三大应用（数列、不等式、导数）之｜司的关联:代数的目标就是求值°比如’离散地求个数,连续地求面积°数列求通项的目标就是为了求和’求和也是求值°不等式的应用就是为了比较大小’比较大小是为了在不能求出精确值的情况下求·144·高中数学知识体系通讲出—个逼近值°这就是不等式存在的意义°而导数却可以在连续和离散之间建立桥梁°【典例9】设／（x）＝log2x-logx2（0＜x＜1）’数列｛α″｝满足／（2′＂）＝2″（″＝1,2,…）°（1）求数列｛α″｝的通项公式;（2）判断数列（α″）的单调性°解析（1）由／（2′.）＝2〃＝α＂-上＝2〃且0＜x＜1＝0＜2α＂＜1→α〃＜0,故α门α＂＿上＝2川＝＞α剧-2′l·α″-1＝0α门→α″＝门-√门2＋1（2）因α″＝〃-√万丁干ˉT＝-″＋√万亏亏’故-11α″＋l＝（Ⅺ＋1）＋√（川＋1）2＋1＞-1Ⅺ＋√门2＋1＝α＂总结｛α″｝的单调性也可以通过构造函数8（x）＝x-√Fˉ干丁来判定。
