直线与双曲线

●考试目标 主词填空

1.双曲线的定义与方程

①双曲线的第一定义：已知F1、F2是平面内两个定点，P是动点，当且仅当它们满足条件|PF1|－|PF2|=±2a，正常数2a<|F1F2|时，P的轨迹是双曲线.

②双曲线的第二定义：设F为定点，l是定直线，P是动点，P、F及l共面，当且仅当它们满足条件

|PF|e(e1)e是常数,d是P到e距离时，P的轨迹是双曲线. dx2y2③中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程是221；中心在原点，焦点在y轴

aby2x2上的双曲线标准方程是221.

ab2.双曲线的几何性质

设双曲线方程为：b2x2－a2y2=a2·b2(a>0，b>0，c2=a2+b2)，其范围是x|≥a，y∈R，对称轴是坐标轴，对称中心是原点，顶点坐标是 (±a，0)，焦点坐标是 (±c，0)，离心率是

c，aa2b准线方程为x，渐近线方程是yx.

ca3.点与双曲线的位置关系

x2y2设双曲线方程为：22=1，点P的坐标是(x0，y0)，则：

abP在双曲线上的充要条件是

2x0a22y0b21，P在双曲线右支所包含的区域(不包括边界线)

内的充要条件是x0a2. b2y0b4.直线与双曲线的位置关系

设直线为l：Ax+By+C=0，双曲线方程为C：b2x2－a2y2=a2b2，联立l与c消去某一变量(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，那么：

l与c相离的充要条件是Δ<0； l与c相切的充要条件是Δ=0；

l与c相交于不同两点的充要条件是Δ>0. 5.双曲线方程的确定

求双曲线方程，若中心和对称轴已知，则在a、b、c中只须确定两个字母(因c2=a2+b2)，

常用的方法是列方程组，解关于a、b、c的方程组，从而确定系数a、b、c.

6.弦长计算

计算双曲线被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，从而|P1P2|=(x1x2)2(y1y2)2=f(k)(k为直线P1P2的斜率，若k不存在，则更易计算).

●题型示例 点津归纳

【例1】 根据下列条件求双曲线的标准方程. (1)两准线间的距离是2，焦距为6；

(2)与椭圆x2+2y2=2共准线，且离心率为2； (3)已知P点在以坐标轴为对称轴的双曲线上，点P到两焦点的距离分别为4和2，过P作实轴的垂线恰好过双曲线的一个焦点.

【解前点津】 (1)因焦点的位置有两种情形，故标准方程有两种结果，由2c=6及

x2y2a22·=2即可确定a、b、c，(2)由条件可选择方程形式为22=1，(3)有两种形式.

caba2【规范解答】 (1)由2c=6及2·=2得：a2=3，b2=c2－a2=9－3=6，故双曲线方程为

cy2x2x2y2 1或1

3636(2)由条件知双曲线的准线方程是x=±2，故得方程组：

ca2x2y2=1； 2,2，解之：a=4，c=8从而b=43，故双曲线方程为：ac1648x2y2(3)当焦点在x轴上时，设双曲线方程为：22=1，焦点为F(c，0)由条件可设P(c，

abm)(2c)2m2=4 ①

c24m=2及221 ②

ab解方程组得

a2=1，b2=2，故此时双曲线方程为

x2－

y2=1，同理可得，当焦点在y轴上22x时，双曲线方程为y2－=1.

2【解后归纳】 求双曲线的标准方程，一是要选择恰当的形式，二是利用其几何性质，列出关于a、b、c的方程，解方程组即可确定.

【例2】 已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10).

(1)求双曲线方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2； (3)求△F1MF2的面积.

【解前点津】 因e=2，所以c2=2a2=a2+b2a2=b2，故双曲线方程为等轴双曲线，因焦点位置没有确定，故可设双曲线方程为x2－y2=λ(λ≠0).

【规范解答】 (1)∵e=2，∴c2=2a2=a2+b2  a2=b2，∴双曲线方程可设为：x2－y2=λ，∵点(4，－10)在双曲线上，∴16－10=λ，即λ=6，故双曲线方程为：x2－y2=6.

(2)由(1)知：F1(－23，0)，F2(23，0)， ∴kMF1m323,kMF2m323,kMF1•kMF2m2m2， 9123∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2=6，m2=3，故kMF1•kMF2=－1，∴MF1⊥MF2. (3)△F1MF2的底|F1F2|=43，F1F2的高h=|m|=3，∴SF1MF2=6.

【解后归纳】 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线方程的统一形式可设为

m·x2+n·y2=1(mn<0).

x2y2【例3】 已知双曲线22=1的离心率e>1+2，左、右焦点分别为F1、F2，左

ab准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?

【解前点津】 从假设存在这样的P点入手，推出某种结果，然后“检验”这种结果. 【规范解答】 设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|·d，由双曲线第二定义得：

|PF1||PF2|e,即|PF2|=e·|PF1| ① d|PF1|又由双曲线的第一定义得：|PF2|－|PF1|=2a ② 从①②中解得：|PF1|=∴

2a2ae，|PF2|=，因△PF1F2中有|PF1|+|PF2|≥2c， e1e12a2ae≥2c ③ e1e1c而e=，故由③得：e2－2e－1≤0解之：1－2≤e≤1+2，

a∵e>1，∴11+2相矛盾，∴符合条件的P不存在.

【解后归纳】 对于一般的探索命题，常从假设存在入手，利用定理和题设条件加以推理，若推出矛盾，则假设不成立，否则，假设的命题成立.

【例4】 是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由.

(1)渐近线方程为x±2y=0；

(2)点A(5，0)到双曲线上动点P的距离的最小值为6.

【解前点津】 讨论焦点所在位置，从而确定双曲线方程形式，对条件(2)，转化为求函数最值问题.

【规范解答】 假设存在同时满足题中两条件的双曲线.

x2y2(1)若双曲线焦点在x轴上，可设双曲线方程为221，因渐近线为

aby2x21b1by=±xx，∴，双曲线方程可化为：22=1.

2a2a4bb设动点P的坐标为(x，y)，则 |AP|=(x5)2y25(x4)25b2(x≥2b或x≤－2b). 4由条件②，若2b≤4即b≤2，则当x=4时，|AP|min=5b26b21，这是不可能的.

若2b>4即b>2时，则当x=2b时，|AP|min=|2b－5|=6，解之 b=

5656(其中<2应舍去). 22x2(56)2此时存在双曲线方程为： y256221

y2x2 (2)若双曲线焦点在y轴上，可设双曲线方程为22=1(x∈R)，

b4b∴|AP|=

5(x4)2b25，∵x∈R，∴当x=4时，|AP|min=b256， 4y2－

x2 =1.

4【解后归纳】 给出双曲线的渐近线，并不能确定焦点的方位，故要讨论双曲线的两种形式.

∴b2=1，此时存在双曲线方程为

●对应训练 分阶提升 一、基础夯实

1.若双曲线的两条渐近线是y=±

3x，焦点是F1(－26，0)，F2(26，0)，那么它的两条2准线间的距离是 ( ) A.

8418926 B.26 C.26 D.26 13132313

2.曲线2x2－y2+6=0上的一点P到一个焦点的距离为4，则P点到较远的准线的距离为

( )

A.

46464或4 64 B.333C.26 D.26或264

x2y243.与椭圆=1有相同焦点且以y=±x为渐近线的双曲线方程是 ( ) 49243x2y2x2y2A.=1 B.1 169916y2x2y2x2C.1 D.1 169916x2y24.设圆过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线916中心的距离是 ( ) 481632A. B. C. D. 3332x2y2x2y25.双曲线=1与椭圆=1，一定有 ( ) 952511A.两离心率之积为1 B.相同的两条准线 C.相同的两个焦点 D.实轴长=长轴长

6.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等份，则它的离心率为 ( ) 6 D.23 27.准线方程为x+y=1，相应的焦点为(1，1)的等轴双曲线方程是 ( )

11A.x2－xy－y2= B.x2+xy－y2=

2211C.xy=－ D.xy=

228.平面内动点P到两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数2a，则动点P的轨迹是 ( ) A.双曲线 B.双曲线或两条射线 C.两条射线 D.椭圆

9.设θ是第三象限角，方程x2+y2sinθ=cosθ表示 ( ) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线

A.2 B.3 C.

x2y210.设双曲线22=1(0ab3c，则双曲线的离心率为 ( ) 422A.2 B.3 C.2 D.

3二、思维激活

直线l 的距离为

x2y211.对于双曲线22=1(a>0，b>0，c=a2b2)而言，它的准线与渐近线的交点到中心

ab的距离等于 ，它的虚轴的端点到顶点的距离等于 .

x2y212.双曲线=1上有点P，F1、F2是双曲线的焦点，且∠F1PF2=，则△F1PF2的面1693积是

.

x2y2b13.过双曲线22=1的焦点F(c，0)作渐近线y=x的垂线，则垂足的坐标是 .

aabx2y214.已知双曲线22=1(a>0，b>0)的左右两个顶点分别为A、B，过双曲线右焦点F且与

abx 轴垂直的直线交双曲线于两点P、Q，若∠APB=arctan三、能力提高

15如图，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|， 点E分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C、 F、E三点，且以A、B为焦点，当求双曲线离心率的取值范围.

3，b=1，则a= . 223时， 34x2y216.A、B两点分别在双曲线22=1的两条渐近线上，O为原点，且|OA|·|OB|=a2+b2=c2，

ab求线段AB中点M的轨迹方程.

17.在△ABC中，BC固定，顶点A移动，设|BC|=a，当三角形三内角满足：|sinC－sinB|=时，求点A的轨迹方程.

18.设－2(2)当m变化时，求△ABO的重心轨迹方程.

1·sinA2第2课 直线与双曲线习题解答

8(26a2)b3a222b8b2•1.A 由条件知c=26且2•，

a2cc3926926故

2226•a28(26a2)926解之a2=8a2288262·. 21326y2x2x2y22.A 化双曲线为=1即=1故a=6，b=3准线方程为 3663y=±2，e=

3666由双曲线第二定义知：4=d1最远距离为 22a2842264. d1+2·c36b4 ① a3且c2=a2+b2=25 ② 联立①②解之：a2=9，b2=16.

4.C 由条件知，圆心不在双曲线的另一个顶点上，设圆心坐标为P(x，y)，左、右焦点为

1F1，F2，左、右顶点为A1，A2，由A2(3，0)，F2(5，0)知圆心横坐标为x=(3+5)=4，故

23.B c=4924=5又y2=16×

7716x2y21616. 993c14a295.C 在双曲线中：a=3，b=5，c=14，,，

a3c14c14a225,在椭圆中：a=5，b=11，c=14，，比较即得.

a5c14a21c6.B 由2··2c得3.

c3a7.D 因双曲线是等轴双曲线，所以离心率e=2，设P(x，y)是此双曲线上有流动坐标，由双曲线的第二定义得：

(x1)2(y1)22•|xy1|2平方之：

x2+1－2x+y2+1－2y=(x2+y2+1+2xy－2x－2y)化简得xy=8.B 当2a=|F1F2|是两条射线.

1. 2y2•sinx29.D ∵sinθ<0，cosθ<0，∴=1是双曲线. coscosxy11316c2c2•c22 10.A l：11ab43aa2b2b16c2c2e222=4或4即e=2或2 解之：e22e3a3ca21e23又∵02a2，

2c∴2，∴e>2，舍去. a32a2aba2b11.取一条准线x=，取一条渐近线y=x交点为c,c它到中心的距离为 caa2c2aba22ab=a虚轴端点取为(0，b)顶点取(a，0)距离为cc2a2b2c.

12.不妨设P在左右支上，F1为左焦点，则由定义得：|PF1|－|PF2|=8，又|F1F2|=10在△PF1F2

中由余弦定理得：|PF1|2+|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°=100.

|PF1|2|PF2|2100|PF1|•|PF2|由方程组

|PF1||PF2|8得2|PF1|·|PF2|=36+|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|=36，

1|PF1|·|PF2|·sin60°=93. 2a13.渐近线的垂线方程为：y=(－)(x－c)解方程组

bbyxa2aba得垂足坐标是c,c. ay()(xc)b故△F1PF2面积为S=

x214.如图所示，因b=1，故双曲线方程为：2y2=1，

a故F(a21，0)，A(－a，0)，P(a21,因为：kPA=

1)，B(a，0)， a11(a21－a)，kPB=(a21a)

aa故由两直线的夹角公式得：

11(a21a)(a21a)3aa，解之：a=3.

1212a

x2y215.设双曲线方程为22=1，∵双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的

ab对称性知C、D关于y轴对称. 依题意，记A(－c，0)，C(坐标公式得： x0=

c1，h)，E(x0，y0)，其中c=|AB|，h是梯形的高，由定比分点22(2)•chc，∵点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线,y02(1)1hae2h2方程得：=1 ① 4b2e2·

(2)22h2h2e222·(λ+1)=1 ②由①得2－1代入②得： 244(1)bbe21232e213又得：2解之：7e10， λ=243e24e23∴双曲线离心率的取值范围是

7,10.

bbbx上，点B在直线y=－x上，则A(x1，x1)，

aaa16.设线段AB中点M(x，y)，点A在直线y=B(x2，－

bx2)，由中点坐标公式知： a① ②

1x(x1x2)2xx1x22 2ayy1•b(xx)bx1x2122a

|OA|=

x12b22cb22c22x1|x1|；|OB|=x22x2|x2|，

aaaa224ayc2∴|OA|·|OB|=2|x1·x2|=c2，∴x1x2=±a2，又①2－②2得：4x－=4x1x2，

ab2a2y2x2y22

∴x2－2=±a，∴22=±1为线段AB中点M的轨迹方程.

bab17.由正弦定理得：|c－b|=

1a，故动点A到两定点B、C距 21离之差的绝对值是常数a，由双曲线定义得：

2A在双曲线上移动，以BC中点为坐标原点，

BC的中垂线为y轴建立直角坐标系， 因半焦距为

2aa，实半轴长为，故虚轴长为 242y2x23aa2，故双曲线方程为1(y0). 2242a3a4418 (1)∵l过M(m，0)，∴不妨设l为：x=ky+m代入x2－y2=4消去x得：(ky+m)2－y2=4，依y聚项整理得：(k2－1)y2+2mky+(m2－4)=0因k2－1≠0，∴Δ=0即(2mk)2－4(k2－1)·(m2－4)=0，解之：

m22k=±1.故l为：y=±(x－m).

244myxyx2(2)分别从方程组 及2y(xm)y(xm)4m4m2424m2424m2,中求得：Amm22及B424m,24m4. mm83xm设△ABO的重心为G(x，y)，则由

23y44mm1688中消去m得：3y·4•4，化简得：x2－y2=(x<0，且y≠0).

93x3x

2