GM(1,1)预测

GM预测

模型的建立

设原始数列为x0(x0(1),x0(2),,x0(n))，把这些数列依次累加：

kx(k)(1)xi1(0)(i),k1,2,,n;r1

其中，x(1)(k)称为x0的1次累加生成数列。

定义x(1)的灰导数为

d(k)x(0)(k)x(1)(k)x(1)(k1)

令z(r)为x(r)的均值数列，即

z(1)(k)0.5x(1)0.5x(1)(k1)

本模型于是定义灰微分方程模型GM（1，1）为

x(0)(k)az(1)(k)b

上式中，称x(0)(k)为灰导数，a为发展系数，z(1)(k)为白化背景值，b为灰作用量。

3,,n代入GM（1，n）模型，得： 将时刻k2,x(0)(2)az(1)(2)bx(0)(3)az(1)(3)b

x(0)(n)az(1)(n)b令

z(1)(2)1(1)z(2)1YN(x(0)(2),x(0)(3),,x(0)(n))T,u(a,b)T,B

z(1)(2)1其中，称YN为数据向量，u为参数向量，B为数据矩阵，则GM（1，n）模型可以表示为矩阵YNBu。

参数向量u可用最小二乘法求取，如果BTB奇异，则u(BTB)1BTYN 3,,n视为连续变量t，对于GM灰微分方程，将灰导数x(0)(k)的时刻k2,dx(1)(t)(1)(0)(1)则x视为时间x(t)，于是x(k)对应于导数量级，白化背景值z(1)(k)dt(t)。于是建立白微分方程： 对应于导数x（1）dx(1)(t)ax(1)(t)b dt解为：

x(1)(t)(x(0)(t1)于是得到预测值表达式：

ba(0)b)e aax(1)(k1)(x(0）(k)即：

bakb)e,k1,2,,n-1 aax(0)(k1)(x(1)(k1)x(1)(k),k1,2,,n-1

预测下一个数据时，令k+1=n-1有：

bx(0)(n1)(x(0)(n))(e-an-e-a(n1))

a程序1为较通用的程序，单个数据预测（模型和程序在原有基础上进行了微调） 程序1：GM（1，1）预测 运行环境：Matlab2011a clear han1=[ ]; %数据，建议十行以上的数据 han1(end,:)=[]; m=size(han1,2); x0=mean(han1,2); %平均每行的数据 x1=cumsum(x0); %累加x0 alpha=0.5; n=length(x0); %x0中元素个数 z1=alpha*x1(2:n)+(1-alpha)*x1(1:n-1)%x1的邻值生成数列 Y=x0(2:n); B=[-z1,ones(n-1,1)]; ab=B\\Y %a,b的值 c=ab(2)/ab(1) xhat=(x0(1)-c)*(exp(-ab(1)*n)-exp(-ab(1)*(n-1)))%预测值方程 数据预测： 结果： 预测下一个数据时，将11.4063加入han1矩阵即可