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(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中没有零点的是( ) A．f(x)＝log2x－7 B．f(x)＝x－1 1
C．f(x)＝x
D．f(x)＝x2＋x
11
解析：函数f(x)＝x中，对任意自变量x的值，均有x≠0，故该函数不存在零点． 答案：C
2．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是
( )
A．①③ C．①②
B．②④ D．③④
解析：对于①③,在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求． 答案：A
3．函数f(x)＝x3－16x的零点为( ) A．(0,0)，(4,0)
B．0,4 D．－4,0,4
C．(－4,0)，(0,0)，(4,0)
解析：f(x)＝x3－16x＝0，∴x(x2－16)＝0， ∴x＝0或x2＝16，∴x＝0或x＝－4或x＝4. 故零点为－4,0,4. 答案：D
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1
4．若x0是方程()x＝x3的解，则x0属于区间( )
22
A．(，1)
311
C．(，)
32
12B．(，)
231
D．(0，)
3
111111
解析：构造函数f(x)＝()x－x3，则函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线.又f()＝()323211111111
－()3>0，f()＝()2－()3<0，所以f()·f()<0，故函数的零点所在区间为(，)，即方程32223232111()x＝x3的解x0属于区间(，)． 232
答案：C
5．当自变量x足够大时，下列函数中增长速度最快的是( ) A．y＝
1x
e 100
B．y＝100ln x D．y＝100·2x
1111C．y＝x100
解析：通过比较三类函数增长情况，得知指数函数当底数大于1时，增长速度最快．因为e>2，所以y＝
答案：A
6．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在区间是( ) A．(－2，－1) C．(0,1)
B．(－1,0) D．(1,2)
1x
e增长速度最快． 100
解析：f(0)＝－1<0，f(1)＝e＋1－2>0，∴函数在(0,1)内有零点． 答案：C
7．如图所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是( )
H
解析：当h＝时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h的增大，
2S随之减小，故排除A、B、D.
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答案：C
8．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不予以折扣；
②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；
③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．
某人两次去购物，分别付款176元和432元.如果他一次购买同样的商品，则应付款
( )
A．608元 C．582.6元
B．574.1元 D．456.8元
10＝480元.如果一次购买标价1769
解析：由题意得购物付款432元，实际标价为432×
＋480＝656元的商品,应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．
答案：C
9．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝4x－1 C．f(x)＝ex－1
B．f(x)＝(x－1)2 1
D．f(x)＝ln(x－) 2
解析：4个选项中的零点是确定的． 13
A：x＝；B：x＝1；C：x＝0；D：x＝. 42又∵g(0)＝40＋2×0－2＝－1＜0， 111
g()＝4＋2×－2<0， 444111
g()＝4＋2×－2＝1＞0， 222
11∴g(x)＝4x＋2x－2的零点在(，)上．
42
又函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，故只有f(x)＝4x－1的零点适合．
答案：A
10．某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元(可以是现金，也可以是奖励券或二者合计)，就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券；满300元，就送60元奖励券……当日花钱最多的一
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位顾客共花出现金70 040元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠( )
A．17 000元 C．17 500元
B．17 540元 D．17 580元
解析：这位顾客花的70 000元可得奖励券700×20＝14 000(元)，这位顾客只有继续把奖励券消费掉，才能得到最多优惠.当他把14 000元奖励券消费掉时，可得140×20＝2 800元奖励券，再消费又可得到28×20＝560元奖励券.560元再加上先前70 040中的40元共消费600元,应得奖励券6×20＝120元，120(元)奖励券消费掉时又得20元奖励券．
∴他总共会得到优惠
14 000＋2 800＋560＋120＋20＝17 500(元)． 答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
解析：设f(x)＝x3－6x2＋4， 显然f(0)>0，f(1)<0.
111
又f()＝()3－6×()2＋4>0，
222
1
∴下一步可断定方程的根所在的区间为(，1)．
21
答案：(，1)
2
12．如果函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点在原点，则另一个零点是________． 解析：函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点在原点，则f(0)＝0，∴m＋3＝0. ∴m＝－3,则f(x)＝x2－3x，于是另一个零点是3. 答案：3
13．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满，这样继续下去，则所倒次数x和酒精残留量y之间的函数关系式为________．
解析：第一次倒完后，y＝19； 19192
第二次倒完后，y＝19×＝1；
20201919193
第三次倒完后，y＝19××＝2；
202020
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……
19x19
第x次倒完后，x1＝20×()x.
2020－19
答案：y＝20×()x
20
14．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，此商品日销售价应定为每个________元．
解析：设每个涨价x元，则实际销售价为（10＋x）元，销售的个数为100－10x， 则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)． 因此，当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大． 答案：14
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝－8x2＋7x＋1； (2)f(x)＝x2＋x＋2； (3)f(x)＝x3＋1.
解：(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1). 1
令f(x)＝0,可解得x＝－或x＝1，
81
所以函数的零点为－和1.
8
(2)令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数解． 所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点． (3)f(x)＝x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1). 令(x＋1)(x2－x＋1)＝0，
解得x＝－1.所以函数的零点为－1.
16．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2. (1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域． 解：(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，
∴－3和2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，
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∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，① 4a＋2(b－8)－a－ab＝0.② ①－②得b＝a＋8.③
将③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0， 即a2＋3a＝0.
∵a≠0，∴a＝－3.∴b＝a＋8＝5. ∴f(x)＝－3x2－3x＋18. (2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18 13
＝－3(x＋)2＋＋18，
24
1
图象的对称轴方程是x＝－.又0≤x≤1，
2∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18， ∴函数f(x)的值域是[12,18]．
17．(本小题满分12分)A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处的D地建一核电站给A、B两城供电.为保证城市安全，核电站与城市的距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.设A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)求x的范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远的地方，才能使供电费用最小？ 解：(1)x的取值范围为[10,90]. (2)y＝0.25×20x2＋0.25×10(100－x)2 5
＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90).
2
515
(3)y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000
22＝
1510050 000(x－)2＋. 233
100当x＝ 时，y最小．
3
100
故当核电站距A城 km时，才能使供电费用最小．
3
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18．(本小题满分14分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格(单位：元)均为销售时间t(天)的函数，且销售量(单位：件)近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，1
前30天价格(单位：元)为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格(单位：元)为g(t)＝
245(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S(元)与时间t(天)的函数关系式； (2)求日销售额S的最大值． 解：(1)根据题意，得
1t＋30，1≤t≤30，t∈N，－2t＋2002
S＝
45－2t＋200，31≤t≤50，t∈N，
2－t＋40t＋6 000，1≤t≤30，t∈N，＝ －90t＋9 000，31≤t≤50，t∈N.
(2)当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6 400， 当t＝20时，S的最大值为6 400；
当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9 000为减函数， 当t＝31时，S的最大值是6 210. ∵6 210<6 400，
∴当销售时间为20天时，日销售额S取有最大值6 400．
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