数学通报２００７年第４６卷第１０期线性代数方法在初等数学中的应用张圣梅（安徽财经大学统计与应用数学学院安徽蚌埠２３３０３０）万方数据 线性代数是大学最重要的基础课程之一，它是中学代数部分内容的延伸和发展．在此利用线性代数中简单的基础知识，巧解初等数学中的复杂难题．１利用矩阵解决问题 例１一条马路上有８个车站如图所示：ａ；一ａ：一ａ３一ａ；一ａｓ一ａ。一ａ７一ａ８，今有一辆可载客ｎ人的中巴由ａ，驶向ａ８ ，沿途各站可自由上下乘客．试证：在此８站中至少有两对（四个不同的）车站Ａ， ，Ｂ，，人ｑ Ｂ２，使得既没有乘客在Ａ，站上而在Ｂ，站下（Ａ，在Ｂ，前），也没有乘客在人站上而在几站下（Ａ：在Ｂ：之前）．证明 考虑汽车从ａ４驶向ａ：时车上的载客情况这时从前面站上车到后面站下车的乘客都在车上，我们以四阶矩阵ｌａ口１６口１７ａｓｌ Ａ内ａ２６ ａ２７ｓｚａ － 一 免ａ３６口３７ｓａ ４ａａ４６ ａ４７ｓ’ａ 表示乘客的上下车情况．若有乘客从ａｉ （２＝１，２，３，４）上而到ａｊ （ ｊ＝５，６，７，８）下，则ａｉ ｊ＝１，否贝叮久，＝．０例如若限０、，．仪０．．．．，卫．．．Ａ１．＝四，１月，．旧．０！０以１『．山则Ａ表示从ａ：站上来的乘客有要从ａｓ ９ａ７站下的，另有乘客从ａ：站上要在ａ６ ， ａ。站下，还有乘客从ａ４站上要从ａｆｉ，ａ６，ａ。站下的．由于中巴最多载客ｎ人，故Ａ中其值为１的元素ａｉ，的个数不超过ｎ个，亦即ａｉ，中ａｉｊ ＝０的个数不少于５个，５＞４，他们不可能位于同一行，也不可能位于同一列上，因此，至少有两个“０’位于不同行不同列上．即至少有两对（四个不同的）车站Ａ１，Ｂ１，Ａ２，Ｂ２，使得既没有乘客在Ａ：站上而在Ｂ、站下（Ａ；在Ｂｌ前），也没有乘客在Ａ：站上而在Ｂ：站下（Ａ：在Ｂ：之前）．例２ 已知边长为４的正方形纸板被画成１６块等大小的边长为１的小方形，其中最左上角和最右下角被剪去．则还剩下如图的１４个正方块． 试证：无论如何剪裁，均不可能刚好裁成７块同大小的矩形（长为２宽为１）．证明 如图的１４个正方块，我们分别用ａ；，来表示，其中￡＝１，２，３，４，表示小正方形所在的行，ｉ＝ １，２，３，４表示小正方形所在的列．ａ；，非零表示该小方块存在．则ａｌｌ＝０且ａ４４＝０，其余元素非零。在此可用四阶矩阵０ａ１２ ａ１３ａ’ｌＡ 吸甄 － 一 ｓａ甄 入口毛２口弓３ 。 代表上图的情况． 由于长为２宽为１的矩形是有两个相连的小正方形组成，则仅有两种情况，（１）可由同行相连的两列ａｉ，和ａ ｉｊ＋１组成，（２）可由同列的相连的两行ａｉ ｊ和ａ ｊ＋．，，组成．考虑两种情况下两元素的下标和，（１）为２２＋２ｊ＋１， （２）为２ｉ＋ ２ｊ十１，均为奇数．则若能够剪裁成７块同大小的长为２宽为１的矩形，其下标和应该仍为奇数（（２ｉ＋２ｊ十１） Ｘ ７，而Ａ中非零的１４个元素下标和为：４ ｝Ｐ，ｉ＋４习ｉ一２Ｘ１一２Ｘ４＝７０是偶数．故无论如何剪裁，均不可能刚好裁成７块同大小的长为２宽为１的矩形．２利用线性组合解决问题 例３ ｎ十１个人看ｎ种不同的小册子，若每人至少看过其中的一种，则必可从这ｎ＋ｌ个人中找出万方数据２００７年第４６卷第１０期数学通报折纸与尺规作图张贺佳（广东省佛山顺德一中５２８３００）１折纸概述作图的新方法，应用这种方法甚至可以解决某些传统折纸是古代中国和日本的一种艺术形式．在折纸 方法所不能解决的数学问题．创作时，折纸能手是从一张正方形的纸开始的．２折纸公理与尺规作图２．１在欧几里得几何学中，几何作图的工具是无刻度Ｆｌ－ｖ扮｛、，二寸：一考／，的直尺和圆规，我们知道尺规可以完成下面５种基本Ｉ作图：Ｉ，／／、一卜－、／（ １）用一条直线连接两点．１、｛、‘ｌ｛一Ｊ’１、尸卜 （２）确定两条直线的交点．卜之产尺、（ ３）以定点为圆心、定长为半径作圆．：一沪、议ｊ、、（ ４）确定二个圆与一条直线的交点． ‘（５）求两个圆的交点．图１ 而在折纸过程中， 纸被折一次就可以得到一条直正方形的纸折叠之后，留在纸上的折痕显示出大 线（折痕）．折纸类似于沿折痕的镜面映射，即折纸意味量的几何对象及性质．如图１，折痕反映出的数学概念着构造直线并且将平面的一半映射到另一半．有：相似、轴对称、中心对称、全等、以及类似于几何分１９９１年日裔意大利数学家Ｈｔ ｕｒｉｒａｋｉ Ｈｕｚｉｔａ创立了形结构的迭代等等．折纸操作中所蕴含的数学概念启迪我们寻找几何 当今最为有效的一套折纸公理：下面是这６个公理与尺规作图的对照： 两组人，这两组人看过的小册子集中在一起，其种类是因为ａ＋ １笋０，且分量‘－ｕ妻０，则线性组合系数完全相同的．瓦浅，…，戍中至少有一个为正，否则ａ｝０的各个分量证明 以ｎ维列向量ａ： ＝ （ａ．１ ．ａ，２ ，， 二，ａｉｎ）Ｔ ｉ＝ａ＋ｕ Ｃ ０．现把系数为正的项留在组合式子的右边，系１，２，－＂＂，ｎ ＋ １，记第云个人的阅读记录．若他看了第１种数为负的项移至左边，略去系数为０的项后，有：ａ．，＋，＝小册子，则ａｉｊ＝１，若ａｉｊ＝。则表示不曾看过第Ｊ种小凡ａ，＋．．．．．． １２ａｊｚ＋…＋＂ａａｐ＝ｌＡａ ｓ＋／；ａａ＋…十册子．于是每个向量ａ：均为非零向量，且各分量不是０ｚｋａｊ就是１．由于该向量组ａ， ，ａ２ ，．．．，ａ，，＋，由ｎ十１个ｎ维向量式中诸凡与ｋ皆为正数， 故左右两边的线性组合组成，向量组中向量的个数大于向量的维数则向量组给出的向量均非负，其正分量正是左右两组人所阅读线性相关，因此，其中至少有一．个向量可表示为其余向的小册子记录．根据向量相等的定义，他们是完全相等量线性组合，不妨设有：ａ，＋，＝ｋｌａｌ ＋ｋ２ａ２十…＋ｋｎａｎ，的．ｋｌ，ｋ２，…，ｋ不全为零．
